Bài 1. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
Ở lớp 9, các em đã biết cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và làm quen với một vài ứng dụng của chúng. Trong chuyên đề này, các em sẽ được giới thiệu cách giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss và bằng máy tính cầm tay, cũng như những ứng dụng phong phú của chúng trong Vật lí, Hoá học, Sinh học và trong thực tế cuộc sống.
Bài 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN
Thuật ngữ, Kiến thức, kĩ năng
• Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn • Nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn • Phương pháp Gauss, • Nhận biết hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. • Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss. • Tìm nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng máy tính cầm tay.
Ông An đầu tư 240 triệu đồng vào ba quỹ khác nhau: một phần trong quỹ thị trường tiền tệ (là một loại quỹ đầu tư thị trường, tập trung vào các sản phẩm tài chính ngắn hạn như tín phiếu kho bạc, trái phiếu ngắn hạn, chứng chỉ tiền gửi,...) với tiền lãi nhận được là 3% một năm, một phần trong trái phiếu chính phủ với tiền lãi nhận được là 4% một năm và phần còn lại trong một ngân hàng với tiền lãi nhận được là 7% một năm. Số tiền ông An đầu tư vào ngân hàng nhiều hơn vào trái phiếu chính phủ là 80 triệu đồng và tổng số tiền lãi thu được sau năm đầu tiên ở cả ba quỹ là 13,4 triệu đồng. Hỏi ông An đã đầu tư bao nhiêu tiền vào mỗi loại quỹ?

$1. KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN HĐ1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất ba ẩn Xét hệ phương trình với các ẩn là x, y, z sau: $$ \begin{cases} x + y$

1. KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN
HĐ1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
Xét hệ phương trình với các ẩn là x, y, z sau:
$$ \begin{cases} x + y + z = 2 \ x + 2y + 3z = 1 \ 2x + y + 3z = -1. \end{cases} $$
a) Mỗi phương trình của hệ trên có bậc mấy đối với các ẩn x, y, z?
b) Thử lại rằng bộ ba số $(x; y; z) = (1; 3; -2)$ thoả mãn cả ba phương trình của hệ.
c) Bằng cách thay trực tiếp vào hệ, hãy kiểm tra xem bộ ba số $(1; 1; 2)$ có thoả mãn hệ phương trình đã cho không.
Đây là ba phương trình bậc nhất ba ẩn.
Bộ ba số $(1; 3; -2)$ gọi là một nghiệm của hệ.
Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là $ax + by + cz = d$, trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0.
Mỗi bộ ba số $(x_0; y_0; z_0)$ thoả mãn $ax_0 + by_0 + cz_0 = d$ gọi là một nghiệm của phương trình bậc nhất ba ẩn đã cho.
Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ gồm một số phương trình bậc nhất ba ẩn. Mỗi nghiệm chung của các phương trình đó được gọi là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Nói riêng, hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là
$$ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases} $$
trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số. Ở đây, trong mỗi phương trình, ít nhất một trong các hệ số $a_i, b_i, c_i, (i = 1, 2, 3)$ phải khác 0.
Chú ý. Trong sách này ta chỉ xét các hệ phương trình có số phương trình bằng đúng số ẩn, nên từ nay về sau ta sẽ gọi tắt là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn (hay hệ bậc nhất ba ẩn) thay cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn.
Ví dụ 1. Hệ phương trình nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số $(1; 2; -3)$ có phải là một nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.
a) $\begin{cases} 2x + 3y - 5z = 13 \ 4x - 2y - 3z = 3 \ -x + 2y + 4z^2 = -1; \end{cases}$
b) $\begin{cases} -2x + y + z = -3 \ 5x + y - 3z = 16 \ x + 2y \quad \quad = 5. \end{cases}$

Giải
Hệ phương trình ở câu a) không phải là hệ phương trình bậc nhất vì phương trình thứ ba chứa $z^2$.
Hệ phương trình ở câu b) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Thay $x = 1; y = 2; z = -3$ vào các phương trình trong hệ ta được
$$ \begin{cases} -3 = -3 \ 16 = 16 \ 5 = 5. \end{cases} $$
Bộ ba số $(1; 2; -3)$ nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ.
Do đó $(1; 2; -3)$ là một nghiệm của hệ.
Luyện tập 1. Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số $(-3; 2; -1)$ có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.
a) $\begin{cases} x + 2y - 3z = 1 \ 2x - 3y + 7z = 15 \ 3x^2 - 4y + z = -3; \end{cases}$
b) $\begin{cases} -x + y + z = 4 \ 2x + y - 3z = -1 \ 3x - 2z = -7. \end{cases}$
2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GAUSS
HD2. Hệ bậc nhất ba ẩn có dạng tam giác
Cho hệ phương trình
$$ \begin{cases} x + y - 2z = 3 \ y + z = 7 \ 2z = 4. \end{cases} $$
Từ phương trình cuối hãy tính $z$, sau đó thay vào phương trình thứ hai để tìm $y$, cuối cùng thay $y$ và $z$ tìm được vào phương trình đầu để tìm $x$.
Để giải hệ phương trình dạng tam giác, trước hết ta giải từ phương trình chứa một ẩn, sau đó thay giá trị tìm được của ẩn này vào phương trình chứa hai ẩn để tìm giá trị của ẩn thứ hai, cuối cùng thay các giá trị tìm được vào phương trình còn lại để tìm giá trị của ẩn thứ ba.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
$$ \begin{cases} x + y - 2z = 4 \ 3y + z = 2 \ -z = 1. \end{cases} $$
Giải
Từ phương trình thứ ba ta có $z = -1$. Thay $z = -1$ vào phương trình thứ hai ta có $3y - 1 = 2$ hay $y = 1$. Với $y, z$ tìm được, thay vào phương trình thứ nhất ta được $x + 1 + 2 = 4$ hay $x = 1$.
Vậy nghiệm của hệ đã cho là $(x; y; z) = (1; 1; -1)$.

$Luyện tập 2. Giải hệ phương trình $\left{\begin{array}{l}2x=3\ x+y=2\ 2x-2y+z=-1.\end{array}\right.$ HĐ3. Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp G$

Luyện tập 2. Giải hệ phương trình $\left{\begin{array}{l}2x=3\ x+y=2\ 2x-2y+z=-1.\end{array}\right.$
HĐ3. Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss
Cho hệ phương trình
$\left{\begin{array}{l}x+y-2z=3\ -x+y+6z=13\ 2x+y-9z=-5.\end{array}\right.$
a) Khử ẩn $x$ của phương trình thứ hai bằng cách cộng phương trình này với phương trình thứ nhất theo từng vế tương ứng. Viết phương trình nhận được (phương trình này không còn chứa ẩn $x$ và là phương trình thứ hai của hệ mới, tương đương với hệ ban đầu).
b) Khử ẩn $x$ của phương trình thứ ba bằng cách nhân phương trình thứ nhất với $-2$ rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng. Viết phương trình thứ ba mới nhận được. Từ đó viết hệ mới nhận được sau hai bước trên (đã khử $x$ ở hai phương trình cuối).
c) Làm tương tự đối với hệ mới nhận được ở câu b), từ phương trình thứ hai và thứ ba khử ẩn $y$ ở phương trình thứ ba. Viết hệ dạng tam giác nhận được.
d) Giải hệ dạng tam giác nhận được ở câu c). Từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), nhà toán học và vật lí người Đức, là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất trong lịch sử.
Để giải một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, ta đưa hệ đó về một hệ đơn giản hơn (thường có dạng tam giác), bằng cách sử dụng các phép biến đổi sau đây:
– Nhân hai vế của một phương trình của hệ với một số khác 0;
– Đổi vị trí hai phương trình của hệ;
– Cộng mỗi vế của một phương trình (sau khi đã nhân với một số khác 0) với vế tương ứng của phương trình khác để được phương trình mới có số ẩn ít hơn.
Từ đó có thể giải hệ đã cho. Phương pháp này được gọi là phương pháp Gauss.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
$\left{\begin{array}{l}x+y+z=2\ 7x+3y+z=4\ -5x+7y-2z=5.\end{array}\right.$
Giải
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với $(-7)$ rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử ẩn $x$ ở phương trình thứ hai)

$$$\left{ \begin{array}{l} x + y + z = 2\ - 4y - 6z = - 10\ - 5x + 7y - 2z = 5. \end{array} \right.$$ Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ này với 5 rồi$

$$$\left{ \begin{array}{l}x + y + z = 3\- y - 3z = - 1\- y - 3z = - 5.\end{array} \right.$$ Hệ vô nghiệm. Từ hai phương trình cuối, suy ra $- 1 = - 5$, điều này$

$LUYỆN TẬP 3. Giải các hệ phương trình sau: a) $\begin{cases} 2x + y - 3z = 3 \ x + y + 3z = 2 \ 3x - 2y + z = -1; \end{cases}$ b) $\begin{cases} 4x + y + 3z = -$

LUYỆN TẬP 3. Giải các hệ phương trình sau:
a) $\begin{cases} 2x + y - 3z = 3 \ x + y + 3z = 2 \ 3x - 2y + z = -1; \end{cases}$
b) $\begin{cases} 4x + y + 3z = -3 \ 2x + y - z = 1 \ 5x + 2y = 1; \end{cases}$
c) $\begin{cases} x + 2z = -2 \ 2x + y - z = 1 \ 4x + y + 3z = -3. \end{cases}$
Ví dụ 6. Giải tình huống mở đầu. Gọi $x, y, z$ (triệu đồng) lần lượt là số tiền đầu tư của ông An vào ba quỹ: thị trường tiền tệ, trái phiếu chính phủ và một ngân hàng. Khi đó
$$x + y + z = 240.$$
Vì số tiền đầu tư vào quỹ trong ngân hàng nhiều hơn quỹ trái phiếu chính phủ là $80$ triệu đồng nên ta có
$$z = y + 80, \text{hay } -y + z = 80.$$
Do tổng số tiền lãi trong một năm là $13,4$ triệu đồng nên ta có
$$0,03x + 0,04y + 0,07z = 13,4.$$
Từ đó, ta được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
$$\begin{cases} x + y + z = 240 \ -y + z = 80 \ 0,03x + 0,04y + 0,07z = 13,4. \end{cases}$$
Ta giải hệ bằng phương pháp Gauss.
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với $(-0,03)$ rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng, ta được hệ phương trình
$$\begin{cases} x + y + z = 240 \ -y + z = 80 \ 0,01y + 0,04z = 6,2. \end{cases}$$
Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ với $0,01$ rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng, ta được hệ phương trình dạng tam giác
$$\begin{cases} x + y + z = 240 \ -y + z = 80 \ 0,05z = 7. \end{cases}$$
Từ phương trình thứ ba ta có $z = 140$. Thế vào phương trình thứ hai ta được $y = 60$. Cuối cùng ta có $x = 240 - 140 - 60 = 40$.
Vậy số tiền ông An đầu tư vào ba quỹ: thị trường tiền tệ, trái phiếu chính phủ và một ngân hàng lần lượt là $40$ triệu đồng, $60$ triệu đồng, $140$ triệu đồng.
VẬN DỤNG 1. Hà mua văn phòng phẩm cho nhóm bạn cùng lớp gồm Hà, Lan và Minh hết tổng cộng $820$ nghìn đồng. Hà quên không lưu hoá đơn của mỗi bạn, nhưng nhớ được rằng số tiền trả cho Lan ít hơn một nửa số tiền trả cho Hà là $5$ nghìn đồng, số tiền trả cho Minh nhiều hơn số tiền trả cho Lan là $210$ nghìn đồng. Hỏi mỗi bạn Lan và Minh phải trả cho Hà bao nhiêu tiền?

$3. TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY HĐ4. Dùng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ: $\begin{cases} -2x-3y+z=5 \ 2x+y+2z=-3 \$

$Chọn hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, ấn $\boxed{2}$ Màn hình máy tính sẽ hiển thị như sau: Nhập các hệ số để giải hệ phương trình. Ví dụ 7. Dùng máy tính cầm ta$

Chọn hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, ấn $\boxed{2}$
Màn hình máy tính sẽ hiển thị như sau:
Nhập các hệ số để giải hệ phương trình.
Ví dụ 7. Dùng máy tính cầm tay tìm nghiệm của các hệ sau:
a) $\begin{cases} x + y + z = 7 \ 3x - 2y + 2z = 5 \ 4x - y + 3z = 10; \end{cases}$
b) $\begin{cases} x + y + 2z = 9 \ 2x - y + 3z = 9 \ 5x + 2y + 9z = 36. \end{cases}$
Giải
a) Ta ấn liên tiếp dãy các phím
$\boxed{\text{MODE}}\ \boxed{5}\ \boxed{2}\ \boxed{1}\ \boxed{=}\ \boxed{1}\ \boxed{=}\ \boxed{1}\ \boxed{=}\ \boxed{7}\ \boxed{=}$
$\boxed{3}\ \boxed{=}\ \boxed{-}\ \boxed{2}\ \boxed{=}\ \boxed{2}\ \boxed{=}\ \boxed{5}\ \boxed{=}$
$\boxed{4}\ \boxed{=}\ \boxed{-}\ \boxed{1}\ \boxed{=}\ \boxed{3}\ \boxed{=}\ \boxed{10}\ \boxed{=}$
$\boxed{=}$
Thấy hiện ra trên màn hình dòng chữ "No-Solution" như sau:
Tức là hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
b) Ta ấn liên tiếp dãy các phím
$\boxed{\text{MODE}}\ \boxed{5}\ \boxed{2}\ \boxed{1}\ \boxed{=}\ \boxed{1}\ \boxed{=}\ \boxed{2}\ \boxed{=}\ \boxed{9}\ \boxed{=}$
$\boxed{2}\ \boxed{=}\ \boxed{-}\ \boxed{1}\ \boxed{=}\ \boxed{3}\ \boxed{=}\ \boxed{9}\ \boxed{=}$
$\boxed{5}\ \boxed{=}\ \boxed{2}\ \boxed{=}\ \boxed{9}\ \boxed{=}\ \boxed{36}\ \boxed{=}$
$\boxed{=}$
Thấy hiện ra trên màn hình dòng chữ "Infinite Sol" như sau:
Tức là hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Luyện tập 4. Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm của các hệ phương trình trong Ví dụ 3, Ví dụ 4, Ví dụ 5 và Luyện tập 3.
Vận dụng 2. Tại một quốc gia, khoảng 400 loài động vật nằm trong danh sách các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Các nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm 55% các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Nhóm chim chiếm nhiều hơn 0,7% so với nhóm cá, nhóm cá chiếm nhiều hơn 1,5% so với động vật có vú. Hỏi mỗi nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm bao nhiêu phần trăm trong các loài có nguy cơ tuyệt chủng?

BÀI TẬP
1.1. Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số $(2; 0; -1)$ có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.
a) $\begin{cases} x-2z & =4 \ 2x+y-z & =5 \ -3x+2y & =-6 \end{cases}$;
b) $\begin{cases} x-2y+3z=7 \ 2x-y^2+z=2 \ x+2y & =-1. \end{cases}$
1.2. Giải các hệ phương trình sau:
a) $\begin{cases} 2x-y-z=20 \ x+y & =-5 \ x & =10 \end{cases}$;
b) $\begin{cases} x-y-3z=20 \ x & -z=3 \ x & +3z=-7. \end{cases}$
1.3. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:
a) $\begin{cases} 2x-y-z=2 \ x+y=3 \ x-y+z=2 \end{cases}$;
b) $\begin{cases} 3x-y-z=2 \ x+2y+z=5 \ -x+y=2 \end{cases}$;
c) $\begin{cases} x-3y-z=-6 \ 2x-y+2z=6 \ 4x-7y=-6 \end{cases}$;
d) $\begin{cases} x-3y-z=-6 \ 2x-y+2z=6 \ 4x-7y=3 \end{cases}$;
e) $\begin{cases} 3x-y-7z=2 \ 4x-y+z=11 \ -5x-y-9z=-22 \end{cases}$;
f) $\begin{cases} 2x-3y-4z=-2 \ 5x-y-2z=3 \ 7x-4y-6z=1. \end{cases}$
Kiểm tra lại kết quả tìm được bằng cách sử dụng máy tính cầm tay.
1.4. Ba người cùng làm việc cho một công ty với vị trí lần lượt là quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải. Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và người quản lí văn phòng là 164 triệu đồng, còn của người quản lí kho và tài xế xe tải là 156 triệu đồng. Mỗi năm, người quản lí kho lĩnh lương nhiều hơn tài xế xe tải 8 triệu đồng. Hỏi lương hằng năm của mỗi người là bao nhiêu?
1.5. Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ô tô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là 2,8 tỉ đồng. Năm nay, do lạm phát, để mua ba chiếc xe đó cần 3,018 tỉ đồng. Giá xe ô tô của hãng X tăng 8%, của hãng Y tăng 5% và của hãng Z tăng 12%. Nếu trong năm ngoái giá chiếc xe của hãng Y thấp hơn 200 triệu đồng so với giá chiếc xe của hãng X thì giá của mỗi chiếc xe trong năm ngoái là bao nhiêu?
1.6. Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau
$\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \ a_3x+b_3y+c_3z=d_3. \end{cases}$
a) Giả sử $(x_0; y_0; z_0)$ và $(x_1; y_1; z_1)$ là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình trên.
Chứng minh rằng $\left(\frac{x_0+x_1}{2}; \frac{y_0+y_1}{2}; \frac{z_0+z_1}{2}\right)$ cũng là một nghiệm của hệ.
b) Sử dụng kết quả của câu a) chứng minh rằng, nếu hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có hai nghiệm phân biệt thì nó sẽ có vô số nghiệm.

Bài 2. Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
Thuật ngữ
Hàm cung
Hàm cầu
Cân bằng cung – cầu
Kiến thức, kĩ năng
Vận dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vào giải một số bài toán vật lí, hoá học và sinh học.
Vận dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn để giải quyết một số vấn đề thực tiễn cuộc sống.
Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn được vận dụng để giải quyết rất nhiều bài toán khác nhau. Trong bài này ta sẽ gặp một số ví dụ vận dụng như vậy trong các lĩnh vực vật lí, hoá học, sinh học, kinh tế học, ... Chúng ta cũng sẽ được làm quen với một số dạng toán giải bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.
1. GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ, HOÁ HỌC VÀ SINH HỌC
ỨNG DỤNG TRONG SINH HỌC
Trong sinh học có nhiều bài toán dẫn đến việc giải hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn. Dưới đây giới thiệu hai ví dụ đơn giản trong ngành chăn nuôi và ngành sinh thái.
Bài toán sản xuất gà giống. Trong trang trại sản xuất gà giống, việc lựa chọn tỉ lệ giữa gà trống và gà mái rất quan trọng. Nếu quá nhiều gà trống thì không hiệu quả kinh tế, nếu ít gà trống quá thì ảnh hưởng đến hiệu quả sản xuất gà giống. Các nghiên cứu chỉ ra rằng tỉ lệ giữa gà trống và gà mái để sản xuất gà giống hiệu quả nhất là $1:10,5$. Một đàn gà trưởng thành có tổng số $3,000$ con, trong đó tỉ lệ giữa gà trống và gà mái là $5:3$. Cần chuyển bao nhiêu gà trống cho mục đích nuôi lấy thịt để hiệu quả cao nhất?
Trang trại sản xuất gà giống
HĐ1. Gọi $x, y, z$ lần lượt là số gà trống, số gà mái, số gà trống cần chuyển sang mục đích nuôi lấy thịt trong đàn gà.
a) Điều kiện của $x, y$ và $z$ là gì?
b) Từ giả thiết của bài toán, hãy tìm ba phương trình bậc nhất ràng buộc $x, y$ và $z$, từ đó có một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.
c) Giải hệ phương trình bậc nhất thu được. Từ đó đưa ra câu trả lời cho bài toán.

Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, ta tiến hành theo ba bước sau:
Bước 1. Lập hệ phương trình:
– Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn;
– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết;
– Lập các phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải hệ phương trình nói trên.
Bước 3. Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Việc giải nhiều bài toán trong thực tiễn dẫn đến phải đặt ẩn và giải hệ phương trình. Cách làm như vậy gọi là giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Ví dụ 1. Một khu rừng ngập mặn có diện tích là $1$ ha. Bằng kĩ thuật viễn thám, người ta ước lượng sinh khối trên mặt đất của rừng này là $87,2$ tấn/ha. Người ta đếm được trong các ô tiêu chuẩn $100$ m² có tổng số $161$ cây, trong đó số cây bần bằng $15%$ tổng số cây mắm và cây đước. Khối lượng trung bình của một cây bần là $10$ kg, cây đước là $5$ kg và cây mắm là $1$ kg. Hãy tính sinh khối của từng loài trên $1$ ha rừng.
Rừng ngập mặn
Giải
Đổi: $87,2$ tấn = $87\ 200$ kg; $1$ ha = $10\ 000$ m².
Gọi $x$, $y$, $z$ theo thứ tự là số cây bần, cây đước và cây mắm trong $1$ ha rừng ngập mặn nói trên.
$100$ m² có tổng số $161$ cây nên $10\ 000$ m² có số cây là
$$161 \cdot \frac{10\ 000}{100} = 16\ 100.$$
Do đó $x + y + z = 16\ 100$.
Số cây bần bằng $15%$ tổng số cây mắm và cây đước nên ta có
$$x = \frac{15}{100}(y + z) \text{ hay } 20x - 3y - 3z = 0.$$
Sinh khối (còn gọi là sinh khối loài) là tổng trọng lượng của sinh vật sống trong sinh quyển hoặc số lượng sinh vật sống trên một đơn vị diện tích.
(Theo Sinh học 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2017)
Khối lượng trung bình của một cây bần là $10$ kg, cây đước là $5$ kg và cây mắm là $1$ kg nên ta có
$$10x + 5y + z = 87\ 200.$$
Vậy theo bài ra ta có hệ phương trình
$$\begin{cases} x + y + z = 16\ 100 \ 20x - 3y - 3z = 0 \ 10x + 5y + z = 87\ 200. \end{cases}$$
Dùng máy tính cầm tay giải hệ ta được $x = 2\ 100$, $y = 13\ 050$, $z = 950$.
Vậy sinh khối bần là $10x = 21\ 000$ kg/ha = $21$ tấn/ha; sinh khối đước là $5y = 65\ 250$ kg/ha = $65,25$ tấn/ha và sinh khối mắm là $z = 950$ kg/ha = $0,95$ tấn/ha.

ỨNG DỤNG TRONG HOÁ HỌC
Ứng dụng đơn giản nhất của hệ phương trình bậc nhất trong môn Hoá học là để cân bằng phương trình phản ứng hoá học. Các hệ phương trình trong trường hợp này thường có vô số nghiệm và người ta thường chọn nghiệm nguyên dương nhỏ nhất. Đầu tiên ta xét phản ứng giữa khi hydrogen tác dụng với oxygen ở nhiệt độ cao để tạo thành nước.
Ví dụ 2. Cân bằng phương trình phản ứng hoá học $H_2 + O_2 \xrightarrow{t^0} H_2O$.
Giải
Giả sử x, y, z là ba số nguyên dương thoả mãn cân bằng phản ứng
$$xH_2 + yO_2 \xrightarrow{t^0} zH_2O.$$
Vì số nguyên tử hydrogen và oxygen ở hai vế phải bằng nhau nên ta có hệ
$$\begin{cases}2x = 2z \ 2y = z\end{cases} \Leftrightarrow x = z = 2y.$$
Về mặt toán học, hệ này có vô số nghiệm, tuy nhiên người ta thường chọn bộ nghiệm nguyên dương nhỏ nhất. Cụ thể, chọn $y = 1$ ta được $x = z = 2$. Từ đó ta được phương trình cân bằng
$$2H_2 + O_2 \xrightarrow{t^0} 2H_2O.$$
Ta xét một phản ứng nữa rất quan trọng trong hoá sinh là phản ứng quang hợp, tức là quá trình thu nhận và chuyển hoá năng lượng ánh sáng mặt trời của thực vật tạo ra hợp chất hữu cơ (glucose) làm nguồn thức ăn cho hầu hết sinh vật trên Trái Đất.
Ví dụ 3. Cân bằng phương trình phản ứng quang hợp (dưới điều kiện ánh sáng và chất diệp lục):
$$CO_2 + H_2O \xrightarrow{t^0} C_6H_{12}O_6 + O_2.$$
Giải
Giả sử x, y, z, t là bốn số nguyên dương thoả mãn cân bằng phản ứng
$$xC O_2 + yH_2O \to zC_6H_{12}O_6 + tO_2.$$
Vì số nguyên tử carbon, hydrogen và oxygen ở hai vế phải bằng nhau nên ta có hệ
$$\begin{cases}x = 6z \ 2y = 12z \ 2x + y = 6z + 2t\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\frac{x}{t} = 6\frac{z}{t} \ \frac{y}{t} = 6\frac{z}{t} \ 2\frac{x}{t} + \frac{y}{t} = 6\frac{z}{t} + 2.\end{cases}$$
Đặt $X = \frac{x}{t}, Y = \frac{y}{t}, Z = \frac{z}{t}$, ta được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
$$\begin{cases}X = 6Z \ Y = 6Z \ 2X + Y = 6Z + 2\end{cases} \text{hay} \begin{cases}X - 6Z = 0 \ Y - 6Z = 0 \ 2X + Y - 6Z = 2.\end{cases}$$
Quang hợp là quá trình thu nhận và chuyển hoá năng lượng ánh sáng mặt trời của thực vật, tảo và một số vi khuẩn để tạo ra hợp chất hữu cơ (đường glucose) phục vụ bản thân cũng như làm nguồn thức ăn cho hầu hết các sinh vật trên Trái Đất.
(Theo Sinh học 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2017)

$Dùng máy tính cầm tay giải hệ sau cùng, ta được $X = 1$, $Y = 1$, $Z = \frac{1}{6}$. Từ đây suy ra $x = y = t = 6z$. Chọn $z = 1$ ta được $x = y = t = 6$. Từ đó$

Dùng máy tính cầm tay giải hệ sau cùng, ta được $X = 1$, $Y = 1$, $Z = \frac{1}{6}$. Từ đây suy ra $x = y = t = 6z$.
Chọn $z = 1$ ta được $x = y = t = 6$. Từ đó ta được phương trình cân bằng
$$6CO_2 + 6H_2O \xrightarrow{\text{ánh sáng}} C_6H_{12}O_6 + 6O_2.$$
ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÍ
Nhiều bài toán tính điện trở, cường độ dòng điện trong Điện học; tính vận tốc, gia tốc trong Cơ học cũng dẫn đến giải hệ phương trình bậc nhất.
Ví dụ 4. (Bài toán tính cường độ dòng điện) Cho đoạn mạch như Hình 1.1. Biết $R_1 = 25\ \Omega$, $R_2 = 36\ \Omega$, $R_3 = 45\ \Omega$ và hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch $U = 60\ V$. Gọi $I_1$ là cường độ dòng điện của mạch chính, $I_2$ và $I_3$ là cường độ dòng điện mạch rẽ. Tính $I_1$, $I_2$ và $I_3$.
Hình 1.1
Giải
Từ sơ đồ mạch điện, ta thấy $I_1$, $I_2$ và $I_3$ là nghiệm của hệ phương trình
$$
\begin{cases}
I_1 - I_2 - I_3 = 0 \
R_1I_1 + R_2I_2 = U \
R_2I_2 - R_3I_3 = 0
\end{cases}
\quad \text{hay} \quad
\begin{cases}
I_1 - I_2 - I_3 = 0 \
25I_1 + 36I_2 = 60 \
36I_2 - 45I_3 = 0.
\end{cases}
$$
Dùng máy tính cầm tay giải hệ, ta được $I_1 = \frac{4}{3}\ A$, $I_2 = \frac{20}{27}\ A$ và $I_3 = \frac{16}{27}\ A$.
Luyện tập 1. Cân bằng phương trình phản ứng hoá học đốt cháy octane trong oxygen
$$C_8H_{18} + O_2 \to CO_2 + H_2O.$$
2. GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG CUNG – CẦU
Các nhà kinh tế học đã chỉ ra rằng, giá cả của một mặt hàng bán trên thị trường phụ thuộc vào ba yếu tố chính. Thứ nhất, phụ thuộc vào giá trị của bản thân hàng hoá đó. Thứ hai, phụ thuộc vào giá trị đồng tiền. Thứ ba, phụ thuộc vào quan hệ cung và cầu về mặt hàng đó.
Trong thị trường nhiều mặt hàng, giá cả của mặt hàng này có ảnh hưởng tới giá cả của mặt hàng khác và giá cả của hàng hoá có ảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu của thị trường. Khi phân tích hoạt động của thị trường hàng hoá, các nhà kinh tế học sử dụng hàm cung và hàm cầu để biểu thị sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu vào giá cả hàng hoá. Người ta thường phải giải bài toán cân bằng giữa cung và cầu. Bài toán này thường dẫn đến việc giải hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn.
Để đơn giản, ta xét thị trường thực phẩm gồm ba loại mặt hàng là thịt lợn, thịt bò và thịt gà. Khi thịt lợn đắt, thịt bò và thịt gà rẻ thì người tiêu dùng có xu hướng giảm mua thịt lợn, tăng mua thịt bò và thịt gà.
HD2. Kí hiệu $x$, $y$, $z$ lần lượt là giá của 1 kg thịt lợn, 1 kg thịt bò và 1 kg thịt gà, ở đây $x$, $y$, $z > 0$ và đơn vị là nghìn đồng. Kí hiệu:

$$Q_{S_1}$ là lượng thịt lợn mà người bán chấp thuận bán với giá x. $Q_{S_2}$ là lượng thịt bò mà người bán chấp thuận bán với giá y. $Q_{S_3}$ là lượng thịt gà$

$Q_{S_1}$ là lượng thịt lợn mà người bán chấp thuận bán với giá x.
$Q_{S_2}$ là lượng thịt bò mà người bán chấp thuận bán với giá y.
$Q_{S_3}$ là lượng thịt gà mà người bán chấp thuận bán với giá z.
$Q_{D_1}$ là lượng thịt lợn mà người mua chấp thuận mua với giá x.
$Q_{D_2}$ là lượng thịt bò mà người mua chấp thuận mua với giá y.
$Q_{D_3}$ là lượng thịt gà mà người mua chấp thuận mua với giá z.
a) Mức giá thịt lợn x, thịt bò y và thịt gà z phải thoả mãn điều kiện gì để người bán và người mua cùng hài lòng, tức là mức giá hợp lí nhất?
b) Viết hệ phương trình ràng buộc giữa x, y, z để người bán và người mua cùng hài lòng.
Trong kinh tế học người ta gọi:
– Các hàm $Q_{S_1}, Q_{S_2}$ và $Q_{S_3}$ phụ thuộc vào ba biến giá x, y, z là hàm cung (supply function);
– Các hàm $Q_{D_1}, Q_{D_2}$ và $Q_{D_3}$ phụ thuộc vào ba biến giá x, y, z là hàm cầu (demand function);
– Hệ phương trình $\begin{cases} Q_{S_1} = Q_{D_1} \ Q_{S_2} = Q_{D_2} \ Q_{S_3} = Q_{D_3} \end{cases}$ gọi là hệ phương trình cân bằng cung – cầu.
Ví dụ 5. Cho biết:
Hàm cung thịt lợn là $Q_{S_1} = -120 + 2x$, Hàm cầu thịt lợn là $Q_{D_1} = 190 - 3x + y - z$
Hàm cung thịt bò là $Q_{S_2} = -200 + 2y$, Hàm cầu thịt bò là $Q_{D_2} = 440 + 2x - y - z$
Hàm cung thịt gà là $Q_{S_3} = -210 + 3z$, Hàm cầu thịt gà là $Q_{D_3} = 260 - x - 2y + 4z$
Hãy giải hệ phương trình cân bằng cung – cầu.
Giải
Hệ phương trình cân bằng cung – cầu là $\begin{cases} -120 + 2x = 190 - 3x + y - z \ -200 + 2y = 440 + 2x - y - z \ -210 + 3z = 260 - x - 2y + 4z. \end{cases}$
Thu gọn ta được hệ phương trình $\begin{cases} 5x - y + z = 310 \ 2x - 3y - z = -640 \ x + 2y - z = 470. \end{cases}$
Dùng máy tính cầm tay giải hệ, ta được x = 90, y = 240, z = 100.
Vậy giá thịt lợn 90 nghìn đồng/kg, thịt bò 240 nghìn đồng/kg và thịt gà 100 nghìn đồng/kg là giá bán hợp lí nhất.
Chú ý. Trong thực tế, thị trường hàng hoá rất phức tạp vì có nhiều mặt hàng. Khi đó, hệ phương trình cân bằng cung – cầu là một hệ phương trình nhiều ẩn, nhiều phương trình và do đó rất khó giải. Ngoài ra, giá cả của hàng hoá còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác nữa, chứ không phải chỉ là quan hệ cung – cầu.

Luyện tập 2. Xét thị trường hải sản gồm ba mặt hàng là cua, tôm và cá. Kí hiệu x, y, z lần lượt là giá 1 kg cua, 1 kg tôm và 1 kg cá (đơn vị nghìn đồng). Kí hiệu $Q_{S_1}$, $Q_{S_2}$ và $Q_{S_3}$ là lượng cua, tôm và cá mà người bán bằng lòng bán với giá x, y và z. Kí hiệu $Q_{D_1}$, $Q_{D_2}$ và $Q_{D_3}$ tương ứng là lượng cua, tôm và cá mà người mua bằng lòng mua với giá x, y và z. Cụ thể các hàm này được cho bởi
$Q_{S_1} = -300 + x; \ Q_{D_1} = 1300 - 3x + 4y - z;$
$Q_{S_2} = -450 + 3y; \ Q_{D_2} = 1150 + 2x - 5y - z;$
$Q_{S_3} = -400 + 2z; \ Q_{D_3} = 900 - 2x - 3y + 4z.$
Tìm mức giá cua, tôm và cá mà người bán và người mua cùng hài lòng.
BÀI TẬP
1.7. Cho hàm cung và hàm cầu của ba mặt hàng như sau:
$Q_{S_1} = -4 + x; \ Q_{D_1} = 70 - x - 2y - 6z;$
$Q_{S_2} = -3 + y; \ Q_{D_2} = 76 - 3x - y - 4z;$
$Q_{S_3} = -6 + 3z; \ Q_{D_3} = 70 - 2x - 3y - 2z.$
Hãy xác định giá cân bằng cung – cầu của ba mặt hàng.
1.8. Em Hà so sánh tuổi của mình với chị Mai và anh Nam. Tuổi của anh Nam gấp ba lần tuổi của em Hà. Cách đây bảy năm tuổi của chị Mai bằng nửa số tuổi của anh Nam. Ba năm nữa tuổi của anh Nam bằng tổng số tuổi của chị Mai và em Hà. Hỏi tuổi của mỗi người là bao nhiêu?
1.9. Bác Việt có 330 740 nghìn đồng, bác chia số tiền này thành ba phần và đem đầu tư vào ba hình thức: Phần thứ nhất bác đầu tư vào chứng khoán với lãi thu được 4% một năm; phần thứ hai bác mua vàng thu lãi 5% một năm và phần thứ ba bác gửi tiết kiệm với lãi suất 6% một năm. Sau một năm, kể cả gốc và lãi bác thu được ba món tiền bằng nhau. Hỏi tổng số tiền cả gốc và lãi bác thu được sau một năm là bao nhiêu?
1.10. Một tuyến cáp treo có ba loại vé sau đây: vé đi lên giá 250 nghìn đồng; vé đi xuống giá 200 nghìn đồng và vé hai chiều giá 400 nghìn đồng. Một ngày nhà ga cáp treo thu được tổng số tiền là 251 triệu đồng. Tìm số vé bán ra mỗi loại, biết rằng nhân viên quản lí cáp treo đếm được 680 lượt người đi lên và 520 lượt người đi xuống.
1.11. Ba lớp 10A, 10B, 10C của một trường trung học phổ thông gồm 128 em học sinh cùng tham gia lao động trồng cây. Tính trung bình, mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây xoan và 4 cây bạch đàn; mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây xoan và 5 cây bạch đàn; mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây xoan. Cả ba lớp trồng được tổng cộng 476 cây xoan và 375 cây bạch đàn. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu em?
1.12. Cân bằng phương trình phản ứng hoá học đốt cháy methane trong oxygen
$\text{CH}_4 + \text{O}_2 \rightarrow \text{CO}_2 + \text{H}_2\text{O}.$
1.13. Cho đoạn mạch như Hình 1.2. Gọi I là cường độ dòng điện của mạch chính, $I_1$, $I_2$ và $I_3$ là cường độ dòng điện mạch rẽ. Cho biết $R_1 = 6 \ \Omega$, $R_2 = 8 \ \Omega$, $I = 3 \ A$ và $I_3 = 2 \ A$. Tính điện trở $R_3$ và hiệu điện thế U giữa hai đầu đoạn mạch.

Hình 1.2
1.14. Mỗi giai đoạn phát triển của thực vật cần phân bón với tỉ lệ N, P, K nhất định. Bác An làm vườn muốn bón phân cho một cây cảnh có tỉ lệ N : P : K cần bằng nhau. Bác An có ba bao phân bón:
Bao 1 có tỉ lệ N : P : K là 12 : 7 : 12.
Bao 2 có tỉ lệ N : P : K là 6 : 30 : 25.
Bao 3 có tỉ lệ N : P : K là 30 : 16 : 11.
Hỏi phải trộn ba loại phân bón trên với tỉ lệ bao nhiêu để có hỗn hợp phân bón với tỉ lệ N : P : K là 15 : 15 : 15?
Chú ý rằng trên mỗi bao phân người ta thường viết một tỉ lệ N : P : K nhất định. Chẳng hạn trên bao phân 1 ghi tỉ lệ N : P : K là 12 : 7 : 12 nghĩa là hàm lượng đạm N (nitơ) chiếm 12%, lân P (tức là $P_2O_5$) chiếm 7% và kali K (tức là $K_2O$) chiếm 12%, còn các loại khác chiếm $100% - (12% + 7% + 12%) = 69%$.
Em có biết?
Wassily Leontief (1906 – 1999) là nhà kinh tế học người Mỹ, gốc Nga. Ông đã đóng góp một số lí thuyết sâu sắc cho kinh tế học, trong đó mô hình kinh tế Leontief đưa ông đến với giải thưởng Nobel năm 1973. Mô hình kinh tế Leontief biểu thị sự phụ thuộc giữa các ngành sản xuất trong một nền kinh tế bởi một hệ phương trình bậc nhất: Xét một nền kinh tế gồm n ngành sản xuất hàng hoá $N_1, N_2, ..., N_n$. Để sản xuất, mỗi ngành cần tiêu thụ hàng hoá của bản thân ngành mình và các ngành khác của nền kinh tế đó. Giả sử để sản xuất ra một đơn vị hàng hoá, ngành $N_j$ cần tiêu thụ $a_{ij}$ đơn vị hàng hoá của ngành $N_i$ ($i, j \in {1, 2, ..., n}$). Vấn đề đặt ra là tính số đơn vị hàng hoá mà mỗi ngành trên cần sản xuất để sau tiêu thụ do sản xuất, ngành $N_i$ ($i \in {1, ..., n}$) có thể xuất ra ngoài nền kinh tế nói trên $b_i$ đơn vị hàng hoá.
Wassily Leontief (1906 – 1999)

$Gọi $x_1, ..., x_n$ tương ứng là số đơn vị hàng hoá mà các ngành $N_1,...,N_n$ cần sản xuất. Để sản xuất $x_j$ đơn vị hàng hoá, ngành $N_j$ cần tiêu thụ $a_{ij}$

$Bài tập cuối chuyên đề 1 1.15. Giải các hệ phương trình sau: a) $\left{\begin{array}{l}x+y+z=6 \ x+2 y+3 z=14 \ 3 x-2 y-z=-4 ;\end{array}\right.$ b) $\left{\beg$

Bài tập cuối chuyên đề 1
1.15. Giải các hệ phương trình sau:
a) $\left{\begin{array}{l}x+y+z=6 \ x+2 y+3 z=14 \ 3 x-2 y-z=-4 ;\end{array}\right.$
b) $\left{\begin{array}{l}2 x-2 y+z=6 \ 3 x+2 y+5 z=7 \ 7 x+3 y-6 z=1 ;\end{array}\right.$
c) $\left{\begin{array}{l}2 x+y-6 z=1 \ 3 x+2 y-5 z=5 \ 7 x+4 y-17 z=7 ;\end{array}\right.$
d) $\left{\begin{array}{l}5 x+2 y-7 z=6 \ 2 x+3 y+2 z=7 \ 9 x+8 y-3 z=1 .\end{array}\right.$
1.16. Tìm các số thực $A, B$ và $C$ thoả mãn $\frac{1}{x^{3}+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{B x+C}{x^{2}-x+1}$.
1.17. Tìm parabol $y=a x^{2}+b x+c$ trong mỗi trường hợp sau:
a) Parabol đi qua ba điểm $A(2 ;-1), B(4 ; 3)$ và $C(-1 ; 8)$;
b) Parabol nhận đường thẳng $x=\frac{5}{2}$ làm trục đối xứng và đi qua hai điểm $M(1 ; 0), N(5 ;-4)$.
1.18. Trong mặt phẳng toạ độ, viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A(0 ; 1), B(2 ; 3)$ và $C(4 ; 1)$.
1.19. Một đoàn xe chở 255 tấn gạo tiếp tế cho đồng bào vùng bị lũ lụt. Đoàn xe có 36 chiếc gồm ba loại: xe chở 5 tấn, xe chở 7 tấn và xe chở 10 tấn. Biết rằng tổng số hai loại xe chở 5 tấn và chở 7 tấn nhiều gấp ba lần số xe chở 10 tấn. Hỏi mỗi loại xe có bao nhiêu chiếc?
1.20. Bác An là chủ cửa hàng kinh doanh cà phê cho những người sành cà phê. Bác có ba loại cà phê nổi tiếng của Việt Nam: Arabica, Robusta và Moka với giá bán lần lượt là 320 nghìn đồng/kg, 280 nghìn đồng/kg và 260 nghìn đồng/kg. Bác muốn trộn ba loại cà phê này để được một hỗn hợp cà phê, sau đó đóng thành các gói $1 \mathrm{~kg}$, bán với giá 300 nghìn đồng/kg và lượng cà phê Moka gấp đôi lượng cà phê Robusta trong mỗi gói. Hỏi bác cần trộn ba loại cà phê này theo tỉ lệ nào?
1.21. Bác Việt có 12 ha đất canh tác để trồng ba loại cây: ngô, khoai tây và đậu tương. Chi phí trồng 1 ha ngô là 4 triệu đồng, 1 ha khoai tây là 3 triệu đồng và 1 ha đậu tương là 4,5 triệu đồng. Do nhu cầu thị trường, bác đã trồng khoai tây trên phần diện tích gấp đôi diện tích trồng ngô. Tổng chi phí trồng ba loại cây trên là 45,25 triệu đồng. Hỏi diện tích trồng mỗi loại cây là bao nhiêu?

$1.22. Cân bằng phương trình phản ứng hoá học sau $$FeS_2 + O_2 \rightarrow Fe_2O_3 + SO_2.$$ 1.23. Bạn Mai có ba lọ dung dịch chứa một loại acid. Dung dịch $A$$

CHUYÊN ĐỀ 2 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC. NHỊ THỨC NEWTON Chuyên đề này giới thiệu phương pháp quy nạp toán học (một phương pháp hiệu quả để chứng minh những mệ

1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
HĐ1. Hãy quan sát các đẳng thức sau:
$1 = 1^2$
$1 + 3 = 4 = 2^2$
$1 + 3 + 5 = 9 = 3^2$
$1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2$
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2$
......
Có nhận xét gì về các số ở vế trái và ở vế phải của các đẳng thức trên? Từ đó hãy dự đoán công thức tính tổng của $n$ số lẻ đầu tiên
$1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)$.
HĐ2. Xét đa thức $p(n) = n^2 - n + 41$.
a) Hãy tính $p(1)$, $p(2)$, $p(3)$, $p(4)$, $p(5)$ và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.
b) Hãy đưa ra một dự đoán cho $p(n)$ trong trường hợp tổng quát.
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.
Chú ý. Khẳng định $p(n)$ là số nguyên tố với mọi số tự nhiên $n \ge 1$ là một khẳng định sai. Mặc dù khẳng định này đúng với $n = 1, 2,..., 40$, nhưng nó lại sai khi $n = 41$. Thật vậy, với $n = 41$ ta có $p(41) = 41^2$ là hợp số (vì nó chia hết cho 41).
Nhận xét. Để khẳng định một mệnh đề toán học phụ thuộc số tự nhiên $n$ là đúng, ta cần phải chứng minh dù đã kiểm nghiệm nó với bao nhiêu giá trị $n$ đi nữa.
Để chứng minh tính đúng đắn của những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên $n \in \mathbb{N}^$, ta không thể thử trực tiếp với mọi số tự nhiên $n \in \mathbb{N}^$. Tuy nhiên, ta có thể tiến hành như sau:
Trước hết ta kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với $n = 1$.
Ta chứng minh rằng: từ giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên $n = k \ge 1$, suy ra nó cũng đúng với $n = k + 1$.
Như thế mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên $n \in \mathbb{N}^*$.
Phương pháp quy nạp toán học đôi khi được minh hoạ phỏng gắn liền với tác dụng tuần tự của hiệu ứng domino: Nếu
– Quân domino đầu tiên bị đổ;
– Mỗi quân domino đổ kéo theo quân domino kế tiếp bị đổ;
thì tất cả các quân domino sẽ bị đổ.
Phương pháp lập luận trên đây gọi là phương pháp quy nạp toán học (thường gọi tắt là phương pháp quy nạp).

$Chứng minh một mệnh đề toán học phụ thuộc $n \in \mathbb{N}^$, đúng với mọi $n \in \mathbb{N}^$, bằng phương pháp quy nạp toán học, gồm hai bước sau: Bước 1. Ki$

Chứng minh một mệnh đề toán học phụ thuộc $n \in \mathbb{N}^$, đúng với mọi $n \in \mathbb{N}^$, bằng phương pháp quy nạp toán học, gồm hai bước sau:
Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với $n = 1$.
Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên $n = k \geq 1$ (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng mệnh đề đúng với $n = k + 1$. Kết luận.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$, ta có
$$1+3+5+7+\cdots+(2 n-1)=n^{2}. \quad(1)$$
Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh công thức thu được sau dự đoán ở HD1.
Giải
Ta chứng minh bằng quy nạp theo $n$.
Bước 1. Với $n=1$ ta có $1=1^{2}$.
Như vậy (1) đúng cho trường hợp $n=1$.
Bước 2. Giả sử (1) đúng với $n=k$, tức là ta có
$$1+3+5+7+\cdots+(2 k-1)=k^{2} . \rightarrow \text { Giả thiết quy nạp }$$
Ta sẽ chứng minh rằng (1) cũng đúng với $n=k+1$, nghĩa là ta sẽ chứng minh
$$1+3+5+7+\cdots+(2 k-1)+[2(k+1)-1]=(k+1)^{2} .$$
Thật vậy, ta có
$$\begin{aligned} 1+3+5+7+\ldots+(2 k-1)+[2(k+1)-1] & =[1+3+5+7+\ldots+(2 k-1)]+(2 k+1) \ & =k^{2}+(2 k+1) \ & =k^{2}+2 k+1=(k+1)^{2} . \end{aligned}$$
Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$.
Luyện tập 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$, ta có
$$1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$$
Chú ý. Nếu phải chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên $n \geq p$ ($p$ là một số tự nhiên nào đó) thì:
Bước 1. Kiểm tra mệnh đề là đúng với $n=p$.
Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên $n=k \geq p$ và chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$. Kết luận.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$, ta có đẳng thức
$$\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2 n} . \quad(2)$$
Giải. Ta chứng minh (2) bằng quy nạp theo $n$.
Với $n=2$, ta có $1-\frac{1}{2^{2}}=\frac{3}{4}=\frac{2+1}{2 \cdot 2}$. Như vậy (2) đúng với $n=2$.

$Giả sử (2) đúng với $n = k$ ($k \ge 2$), tức là $$\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)...\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{k+1}{2k}.$$ Ta s$

$Khi đó ta có $$(k + 1)(k + 2)(k + 3) = (k + 3)(k + 1)(k + 2) = k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2)$$ $$= 3m + 3(k + 1)(k + 2) = 3[m + (k + 1)(k + 2)], \text{ chia$

Khi đó ta có
$$(k + 1)(k + 2)(k + 3) = (k + 3)(k + 1)(k + 2) = k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2)$$
$$= 3m + 3(k + 1)(k + 2) = 3[m + (k + 1)(k + 2)], \text{ chia hết cho } 3.$$
Vậy (3) đúng với mọi số tự nhiên $n$.
Nhận xét. Vì trong hai số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chẵn nên từ kết quả của Ví dụ 3 suy ra: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6.
» Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 3$, ta có
$$2^n > 2n + 1. \quad (4)$$
Giải
Ta chứng minh bất đẳng thức (4) bằng quy nạp theo $n$, với $n \geq 3$.
Với $n = 3$ ta có $2^3 > 7 = 2 \cdot 3 + 1$.
Vậy (4) đúng với $n = 3$.
Giả sử (4) đúng với $n = k \geq 3$, tức là ta có $2^k > 2k + 1$.
Ta cần chứng minh (4) đúng với $n = k + 1$, tức là chứng minh $2^{k+1} > 2(k + 1) + 1 = 2k + 3$.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có
$$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2 \cdot (2k + 1) = 4k + 2 = 2k + 2(k + 1) > 2k + 3 \text{ do } k \geq 3.$$
Vậy bất đẳng thức (4) đúng với mọi số tự nhiên $n \geq 3$.
» Ví dụ 5. Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng tổng các góc trong của một đa giác $n$ cạnh ($n \geq 3$) là $(n - 2) \cdot 180^\circ$.
Giải. Ta chứng minh khẳng định trên bằng quy nạp theo $n$, với $n \geq 3$.
Với $n = 3$, ta có tổng ba góc của một tam giác bằng $180^\circ = (3 - 2) \cdot 180^\circ$.
Vậy khẳng định đúng với $n = 3$.
Giả sử khẳng định đúng với $n = k \geq 3$, ta sẽ chứng minh nó đúng với $n = k + 1$.
Thật vậy, xét đa giác $k + 1$ cạnh $A_1A_2...A_kA_{k+1}$, nối hai đỉnh $A_1$ và $A_k$ ta được đa giác $k$ cạnh $A_1A_2...A_k$. Theo giả thiết quy nạp, tổng các góc của đa giác $k$ cạnh này bằng $(k - 2) \cdot 180^\circ$.
Dễ thấy tổng các góc của đa giác $A_1A_2...A_kA_{k+1}$ bằng tổng các góc của đa giác $A_1A_2...A_k$ cộng với tổng các góc của tam giác $A_{k+1}A_kA_1$, tức là bằng
$$(k - 2) \cdot 180^\circ + 180^\circ = (k - 1) \cdot 180^\circ = [(k + 1) - 2] \cdot 180^\circ.$$
Vậy khẳng định đúng với mọi đa giác $n$ cạnh, $n \geq 3$.

Vận dụng (Công thức lãi kép)
Lãi suất gửi tiết kiệm trong ngân hàng thường được tính theo thể thức lãi kép theo định kì. Theo thể thức này, nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Giả sử một người gửi số tiền $A$ với lãi suất $r$ không đổi trong mỗi kì.
a) Tính tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) $T_1$, $T_2$, $T_3$ mà người đó nhận được sau kì thứ 1, sau kì thứ 2 và sau kì thứ 3.
b) Dự đoán công thức tính tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) $T_n$ mà người đó thu được sau $n$ kì. Hãy chứng minh công thức nhận được đó bằng quy nạp.
BÀI TẬP
2.1. Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 1$.
a) $2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)$;
b) $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$.
2.2. Mỗi khẳng định sau là đúng hay sai? Nếu em nghĩ là nó đúng, hãy chứng minh nó. Nếu em nghĩ là nó sai, hãy đưa ra một phản ví dụ.
a) $p(n) = n^2 - n + 11$ là số nguyên tố với mọi số tự nhiên $n$;
b) $n^2 > n$ với mọi số tự nhiên $n \ge 2$.
2.3. Chứng minh rằng $n^3 - n + 3$ chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên $n \ge 1$.
2.4. Chứng minh rằng $n^2 - n + 41$ là số lẻ với mọi số nguyên dương $n$.
2.5. Chứng minh rằng nếu $x > -1$ thì $(1 + x)^n \ge 1 + nx$ với mọi số tự nhiên $n$.
2.6. Cho tổng $S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{n(n + 1)}$.
a) Tính $S_1$, $S_2$, $S_3$.
b) Dự đoán công thức tính tổng $S_n$ và chứng minh bằng quy nạp.
2.7. Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác $n$ cạnh ($n \ge 4$) là $\frac{n(n - 3)}{2}$.
2.8. Ta sẽ "lập luận" bằng quy nạp toán học để chỉ ra rằng: "Mọi con mèo đều có cùng màu". Ta gọi $P(n)$ với $n$ nguyên dương là mệnh đề sau: "Mọi con mèo trong một đàn gồm $n$ con đều có cùng màu".
Bước 1. Với $n = 1$ thì mệnh đề $P(1)$ là "Mọi con mèo trong một đàn gồm 1 con đều có cùng màu". Hiển nhiên mệnh đề này là đúng!
Bước 2. Giả sử $P(k)$ đúng với một số nguyên dương $k$ nào đó. Xét một đàn mèo gồm $k + 1$ con. Gọi chúng là $M_1$, $M_2$, ..., $M_{k+1}$. Bỏ con mèo $M_{k+1}$ ra khỏi đàn, ta nhận được một đàn mèo gồm $k$ con là $M_1$, $M_2$, ..., $M_k$. Theo giả thiết quy nạp, các con mèo có

$cùng màu. Bây giờ, thay vì bỏ con mèo $M_{k+1}$, ta bỏ con mèo $M_1$ để có đàn mèo gồm $k$ con là $M_2, M_3, \dots, M_{k+1}$. Vẫn theo giả thiết quy nạp thì các$

Bài 4. Nhị thức Newton Thuật ngữ Tam giác Pascal Hệ số Nhị thức Newton Kiến thức, kĩ năng Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton thông qua tam giác

Trong khai triển của $(a+b)^n$ (với $n = 1, 2, 3, 4, 5$):
Có $n + 1$ số hạng, số hạng đầu tiên là $a^n$ và số hạng cuối cùng là $b^n$.
Tổng số mũ của $a$ và $b$ trong mỗi số hạng đều bằng $n$.
Số mũ của $a$ giảm 1 đơn vị và số mũ của $b$ tăng 1 đơn vị khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải.
Từ những quan sát này ta có thể dự đoán, chẳng hạn:
$$(a+b)^6 = a^6 + ?a^5b + ?a^4b^2 + ?a^3b^3 + ?a^2b^4 + ?ab^5 + b^6.$$
Ở đây dấu “?” để chỉ các hệ số chưa biết. Để hoàn thành khai triển, ta cần xác định các hệ số này.
HD2. Tam giác Pascal
Viết các hệ số của khai triển $(a+b)^n$ với một số giá trị đầu tiên của $n$, trong bảng tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal
$(a+b)^0$, 1
$(a+b)^1$, 1, $\swarrow \searrow$, 1
$(a+b)^2$, 1, $\swarrow \searrow$, 2, $\swarrow \searrow$, 1, $\rightarrow 1+1=2$
$(a+b)^3$, 1, $\swarrow \searrow$, 3, $\swarrow \searrow$, 3, $\swarrow \searrow$, 1, $\rightarrow 1+2=3$
$(a+b)^4$, 1, $\swarrow \searrow$, 4, $\swarrow \searrow$, 6, $\swarrow \searrow$, 4 $\swarrow \searrow$ 1 $\rightarrow 1+3=4, 3+3=6$
$(a+b)^5$, 1, 5, 10, 10, 5, 1
Hàng đầu quy ước gọi là hàng 0. Hàng $n$ ứng với các hệ số trong khai triển nhị thức $(a+b)^n$.
Trong tam giác Pascal:
Mọi số (khác 1) đều là tổng của hai số ở ngay phía trên nó.
Từ tính chất này ta có thể tìm bất kì hàng nào của tam giác Pascal từ hàng ở ngay phía trên nó. Chẳng hạn ta có thể tìm hàng 6 từ hàng 5 như sau:
$(a+b)^5$, 1, $\swarrow \searrow$, 5, $\swarrow \searrow$, 10, $\swarrow \searrow$, 10, $\swarrow \searrow$ 5 $\swarrow \searrow$ 1
$(a+b)^6$, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, $\rightarrow 1+5=6, 5+10=15, 10+10=20$
Tìm các hàng 7 và 8 của tam giác Pascal.
Ví dụ 1. Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của $(a+b)^6$.
Giải
Khai triển của $(a+b)^6$ có dạng
$$(a+b)^6 = a^6 + ?a^5b + ?a^4b^2 + ?a^3b^3 + ?a^2b^4 + ?ab^5 + b^6.$$
Các hệ số trong khai triển này là các hệ số ở hàng 6 của tam giác Pascal. Do đó ta có ngay
$$(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6.$$

Ví dụ 2. Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của $(3-2x)^5$.
Giải
Ta viết khai triển của $(a+b)^5$ rồi sau đó thay $a=3, b=-2x$ vào khai triển nhận được.
Dựa vào hàng 5 của tam giác Pascal, ta có
$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5.$
Với $a=3, b=-2x$, ta được
$(3-2x)^5 = 3^5 + 5 \cdot 3^4(-2x) + 10 \cdot 3^3(-2x)^2 + 10 \cdot 3^2(-2x)^3 + 5 \cdot 3(-2x)^4 + (-2x)^5$
$\quad\quad\quad\quad = 243 - 810x + 1080x^2 - 720x^3 + 240x^4 - 32x^5.$
Luyện tập 1. a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của $(a+b)^7$.
b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của $(2x-1)^4$.
Dưới đây ta sẽ xây dựng công thức cho phép xác định trực tiếp hệ số bất kì trong khai triển $(a+b)^n$.
HD3. Tính chất của các số $C_n^k$
a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:
$(a+b)^1 = a+b = C_1^0a + C_1^1b$
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = C_2^0a^2 + C_2^1ab + C_2^2b^2$
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = C_3^0a^3 + C_3^1a^2b + C_3^2ab^2 + C_3^3b^3$
$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 = ...$
$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 = ...$
Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn, $C_4^1$ và $C_4^3$, $C_5^2$ và $C_5^3$. Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_n^k$ và $C_n^{n-k}$ ($0 \le k \le n$).
b) Dựa vào kết quả của HD3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng:
$(a+b)^0 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad C_0^0$
$(a+b)^1 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad C_1^0 \quad C_1^1$
$(a+b)^2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad C_2^0 \quad C_2^1 \quad C_2^2$
$(a+b)^3 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad C_3^0 \quad C_3^1 \quad C_3^2 \quad C_3^3$
$(a+b)^4 \quad\quad\quad\quad\quad\quad C_4^0 \quad C_4^1 \quad C_4^2 \quad C_4^3 \quad C_4^4$
$(a+b)^5 \quad\quad\quad\quad\quad C_5^0 \quad C_5^1 \quad C_5^2 \quad C_5^3 \quad C_5^4 \quad C_5^5$
Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh $C_1^0+C_1^1$ và $C_2^1$, $C_2^0+C_2^1$ và $C_3^1,...$ Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ và $C_n^k$.

$Tính chất của các số $C_{n}^{k}$: • $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ $(0 \leq k \leq n)$ (Tính chất đối xứng). • $C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k} = C_{n}^{k}$ $(1$

Tính chất của các số $C_{n}^{k}$:
• $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ $(0 \leq k \leq n)$ (Tính chất đối xứng).
• $C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k} = C_{n}^{k}$ $(1 \leq k \leq n)$ (Hệ thức Pascal).
Hãy chứng minh các công thức trên bằng cách sử dụng công thức tính số các tổ hợp.
2. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON
HĐ4. Quan sát khai triển nhị thức của $(a + b)^{n}$ với $n \in {1; 2; 3; 4; 5}$ ở HĐ3, hãy dự đoán công thức khai triển trong trường hợp tổng quát.
$$(a + b)^{n} = C_{n}^{0}a^{n} + C_{n}^{1}a^{n - 1}b + ... + C_{n}^{n - 1}ab^{n - 1} + C_{n}^{n}b^{n}. \quad (1)$$
Chứng minh
Ta chứng minh (1) bằng quy nạp theo $n$.
• Khi $n = 1$, ta có
$$(a + b)^{1} = a + b = C_{1}^{0}a + C_{1}^{1}b.$$
Vậy công thức (1) đúng khi $n = 1$.
• Giả sử (1) đúng với $n = m$, tức là ta có
$$(a + b)^{m} = C_{m}^{0}a^{m} + C_{m}^{1}a^{m - 1}b + ... + C_{m}^{m - 1}ab^{m - 1} + C_{m}^{m}b^{m}.$$
Ta sẽ chứng minh rằng (1) cũng đúng khi $n = m + 1$, tức là
$$(a + b)^{m + 1} = C_{m + 1}^{0}a^{m + 1} + C_{m + 1}^{1}a^{m}b + ... + C_{m + 1}^{m}ab^{m} + C_{m + 1}^{m + 1}b^{m + 1}. \quad (2)$$
Thật vậy, ta có
$$(a + b)^{m + 1} = (a + b)^{m}(a + b)$$
$$= (C_{m}^{0}a^{m} + C_{m}^{1}a^{m - 1}b + ... + C_{m}^{k}a^{m - k}b^{k} + ... + C_{m}^{m - 1}ab^{m - 1} + C_{m}^{m}b^{m})(a + b)$$
$$= (C_{m}^{0}a^{m} + C_{m}^{1}a^{m - 1}b + ... + C_{m}^{k}a^{m - k}b^{k} + ... + C_{m}^{m - 1}ab^{m - 1} + C_{m}^{m}b^{m})a +$$
$$+ (C_{m}^{0}a^{m} + C_{m}^{1}a^{m - 1}b + ... + C_{m}^{k}a^{m - k}b^{k} + ... + C_{m}^{m - 1}ab^{m - 1} + C_{m}^{m}b^{m})b$$
$$= C_{m}^{0}a^{m + 1} + (C_{m}^{1} + C_{m}^{0})a^{m}b + ... + (C_{m}^{k} + C_{m}^{k - 1})a^{m + 1 - k}b^{k} + ... + (C_{m}^{m} + C_{m}^{m - 1})ab^{m} + C_{m}^{m}b^{m + 1}.$$
Vì $C_{m}^{0} = 1 = C_{m + 1}^{0}$, $C_{m}^{m} = 1 = C_{m + 1}^{m + 1}$, $C_{m}^{k} + C_{m}^{k - 1} = C_{m + 1}^{k}$, nên ta có (2).
Vậy công thức nhị thức Newton là đúng với mọi số nguyên dương $n$.
Chú ý. Số hạng thứ $(k + 1)$ trong khai triển của $(a + b)^{n}$ thành dạng (1) là $T_{k + 1} = C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$.
Ví dụ 3. Viết khai triển nhị thức Newton $(a + b)^{6}$.
Giải
Ta có
$$(a + b)^{6} = C_{6}^{0}a^{6} + C_{6}^{1}a^{5}b + C_{6}^{2}a^{4}b^{2} + C_{6}^{3}a^{3}b^{3} + C_{6}^{4}a^{2}b^{4} + C_{6}^{5}ab^{5} + C_{6}^{6}b^{6}$$
$$= a^{6} + 6a^{5}b + 15a^{4}b^{2} + 20a^{3}b^{3} + 15a^{2}b^{4} + 6ab^{5} + b^{6}.$$
Như vậy, ta tìm lại được kết quả của Ví dụ 1, nhưng bằng phương pháp khác.

$Chú ý. Vì $C_6^k = C_6^{6-k}$ ($0 \le k \le 6$) nên ta chỉ cần tính $C_6^0, C_6^1, C_6^2, C_6^3$ và dùng tính chất này để suy ra $C_6^4, C_6^5, C_6^6$. Ví dụ 4.$

Chú ý. Vì $C_6^k = C_6^{6-k}$ ($0 \le k \le 6$) nên ta chỉ cần tính $C_6^0, C_6^1, C_6^2, C_6^3$ và dùng tính chất này để suy ra $C_6^4, C_6^5, C_6^6$.
Ví dụ 4. Khai triển biểu thức $(3x - 2)^4$.
Giải
Theo công thức nhị thức Newton, ta có
$(3x - 2)^4 = C_4^0(3x)^4 + C_4^1(3x)^3(-2) + C_4^2(3x)^2(-2)^2 + C_4^3(3x)(-2)^3 + C_4^4(-2)^4$
$= 81x^4 - 216x^3 + 216x^2 - 96x + 16.$
Luyện tập 2. Khai triển $(x - 2y)^6$.
Số hạng chứa $x^k$ trong khai triển của $(ax + b)^n$ là $C_n^{n-k}(ax)^k b^{n-k}$ hay $C_n^{n-k} a^k b^{n-k} x^k$.
Do đó, hệ số của $x^k$ trong khai triển của $(ax + b)^n$ là $C_n^{n-k} a^k b^{n-k}$.
Ví dụ 5. Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển của $(x + 2)^{10}$.
Giải. Số hạng chứa $x^k$ trong khai triển của $(x + 2)^{10}$ là $C_{10}^{10-k} x^k 2^{10-k}$.
Số hạng chứa $x^4$ ứng với $k = 4$, tức là số hạng $C_{10}^6 x^4 2^6$ hay $13,440x^4$.
Vậy hệ số của $x^4$ trong khai triển của $(x + 2)^{10}$ là $13,440$.
Luyện tập 3. Tìm hệ số của $x^7$ trong khai triển thành đa thức của $(2 - 3x)^{10}$.
Ví dụ 6. Tìm số nguyên dương $n$ thoả mãn
$C_n^0 3^n + C_n^1 3^{n-1} + ... + C_n^{n-1} 3 + C_n^n = 64.$
Giải. Nhận thấy vế trái của đẳng thức trên có chứa các luỹ thừa của 3 nên áp dụng khai triển nhị thức Newton cho $(x + 3)^n$ ta được
$(x + 3)^n = C_n^0 3^n + C_n^1 3^{n-1} x + ... + C_n^{n-1} 3 x^{n-1} + C_n^n x^n.$
Cho $x = 1$ ta được
$4^n = (1 + 3)^n = C_n^0 3^n + C_n^1 3^{n-1} + ... + C_n^{n-1} 3 + C_n^n = 64 = 4^3.$
Vậy số nguyên dương cần tìm là $n = 3$.
Vận dụng (Số các tập con của tập hợp có n phần tử)
a) Viết khai triển nhị thức Newton của $(1 + x)^n$.
b) Cho $x = 1$ trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này với lưu ý rằng $C_n^k$ ($0 \le k \le n$) chính là số tập con gồm $k$ phần tử của một tập hợp có $n$ phần tử.
c) Tương tự, cho $x = -1$ trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.

$BÀI TẬP 2.9. Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển: a) $(x-1)^{5}$; b) $(2 x-3 y)^{4}$. 2.10. Viết khai triển theo nhị thức Newton: a) $(x+y)^{6}$; b) $(1-2$

BÀI TẬP
2.9. Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển:
a) $(x-1)^{5}$; b) $(2 x-3 y)^{4}$.
2.10. Viết khai triển theo nhị thức Newton:
a) $(x+y)^{6}$; b) $(1-2 x)^{5}$.
2.11. Tìm hệ số của $x^{8}$ trong khai triển của $(2 x+3)^{10}$.
2.12. Biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển của $(1-3 x)^{n}$ là 90. Tìm $n$.
2.13. Từ khai triển biểu thức $(3 x-5)^{4}$ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.
2.14. Tìm hệ số của $x^{5}$ trong khai triển thành đa thức của biểu thức $x(1-2 x)^{5}+x^{2}(1+3 x)^{10}$.
2.15. Tính tổng sau đây:
$C_{2021}^{0}-2 C_{2021}^{1}+2^{2} C_{2021}^{2}-2^{3} C_{2021}^{3}+\ldots-2^{2021} C_{2021}^{2021}$.
2.16. Tìm số tự nhiên $n$ thoả mãn
$C_{2 n}^{0}+C_{2 n}^{2}+C_{2 n}^{4}+\ldots+C_{2 n}^{2 n}=2^{2021}$.
2.17. Tìm số nguyên dương $n$ sao cho
$C_{n}^{0}+2 C_{n}^{1}+4 C_{n}^{2}+\ldots+2^{n} C_{n}^{n}=243$.
2.18. Biết rằng $(2+x)^{100}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{100} x^{100}$. Với giá trị nào của $k(0 \leq k \leq 100)$ thì $a_{k}$ lớn nhất?
Em có biết?
Tam giác Pascal được đặt tên theo nhà toán học người Pháp Blaise Pascal. Ông là người có công lớn trong việc mở ra hai lĩnh vực mới trong toán học là Hình học xạ ảnh và Lí thuyết xác suất.
Thật ra tam giác Pascal đã được nghiên cứu từ nhiều thế kỉ trước đó bởi các nhà toán học Ấn Độ, Ba Tư, Trung Hoa, Đức, Ý.
Blaise Pascal (1623 –1662)
Nhị thức Newton được đặt tên theo nhà bác học người Anh Isaac Newton. Ông được biết đến như một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của mọi thời đại, đồng thời là một trong những nhà khoa học có ảnh hưởng nhất trong lịch sử khoa học.
Thật ra công thức nói tới được biết đến từ trước. Newton là người có công mở rộng công thức cho trường hợp $n$ là số thực!
Isaac Newton (1643 –1727)

$Bài tập cuối chuyên đề 2 2.19. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$, ta có $$2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + ... + (n + 1) \cdot 2^n = n \cd$

CHUYÊN ĐỀ 3. BA ĐƯỜNG CONIC VÀ ỨNG DỤNG Ta đã biết định nghĩa và phương trình chính tắc của ba đường conic. Chuyên đề này sẽ đưa em tới những hiểu biết sâu hơn

$1. HÌNH DẠNG CỦA ELIP HĐ1. Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (H.3.1). a) Tìm toạ độ các giao điểm của elip với các trục$

$Giải Gọi $M(x_0; y_0)$ là một điểm thuộc elip. Do $\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1$ nên $x_0^2 \le a^2$, $y_0^2 \le b^2$ và nếu $x_0^2 = a^2$ thì $y_0$

$Chú ý Người ta nói: Phép co về trục hoành hệ số $k$ biến đường tròn $x^2 + y^2 = a^2$ thành elip có phương trình $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{(ka)^2} = 1$. Hìn$

Chú ý
Người ta nói: Phép co về trục hoành hệ số $k$ biến đường tròn $x^2 + y^2 = a^2$ thành elip có phương trình $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{(ka)^2} = 1$.
Hình 3.5
2. BÁN KÍNH QUA TIÊU, TÂM SAI VÀ ĐƯỜNG CHUẨN
HĐ2. Cho elip có hai tiêu điểm $F_1(-c; 0)$, $F_2(c; 0)$ và độ dài trục lớn bằng $2a$ và điểm $M(x; y)$.
a) Tính $MF_1^2 - MF_2^2$.
b) Khi điểm $M$ thuộc elip ($MF_1 + MF_2 = 2a$), tính $MF_1 - MF_2$, $MF_1$, $MF_2$.
Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, với các tiêu điểm $F_1(-c; 0)$, $F_2(c; 0)$ (với $c = \sqrt{a^2 - b^2}$). Với điểm $M(x; y)$ thuộc elip, ta có $MF_1 = a + \frac{c}{a}x$, $MF_2 = a - \frac{c}{a}x$. Các đoạn thẳng $MF_1, MF_2$ được gọi là bán kính qua tiêu của $M$.
Ví dụ 3. Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. Tìm các điểm trên elip để khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm $F_1$ tương ứng đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Giải. Elip có nửa tiêu cự là $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. Với mỗi điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc elip, ta có bán kính qua tiêu của $M$ ứng với tiêu điểm $F_1$ là $MF_1 = a + \frac{c}{a}x_0$. Mặt khác $M(x_0; y_0)$ thuộc elip nên $-a \le x_0 \le a$. Do đó, $a - c \le MF_1 = a + \frac{c}{a}x_0 \le a + c$. Hơn nữa, $MF_1 = a - c \Leftrightarrow x_0 = -a, y_0 = 0$ và $MF_1 = a + c \Leftrightarrow x_0 = a, y_0 = 0$. Vậy $MF_1$ nhỏ nhất khi điểm $M$ trùng đỉnh $A_1(-a; 0)$ và $MF_1$ lớn nhất khi điểm $M$ trùng đỉnh $A_2(a; 0)$ của elip.
Chú ý
Tương tự Ví dụ 3, khoảng cách từ $M$ đến tiêu điểm $F_2$ là nhỏ nhất khi $M$ trùng đỉnh $A_2(a; 0)$ và lớn nhất khi $M$ trùng đỉnh $A_1(-a; 0)$.
Bán kính qua tiêu có độ dài lớn nhất bằng nửa tổng của độ dài trục lớn và tiêu cự, và có độ dài nhỏ nhất bằng nửa hiệu của độ dài trục lớn và tiêu cự.
Luyện tập 3. Cho elip $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$, điểm $M$ thay đổi trên elip. Hỏi khoảng cách từ $M$ tới một tiêu điểm của elip lớn nhất bằng bao nhiêu, nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Vận dụng 1. Với thông tin được đưa ra trong tình huống mở đầu, lập phương trình chính tắc của elip quỹ đạo của Trái Đất, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng tọa độ ứ

$Luyện tập 4. Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{25} = 1$. Tìm tâm sai và các đường chuẩn của elip. Tính các bán kính qua tiêu của đ$

3.4. Đường tròn phụ của hình elip là đường tròn có đường kính là trục nhỏ của elip (H.3.8). Do đó, đường tròn phụ là đường tròn lớn nhất có thể nằm bên trong một hình elip. Tìm phương trình đường tròn phụ của elip $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ và chứng minh rằng, nếu điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc elip thì điểm $N\left(\frac{b}{a}x_0; y_0\right)$ thuộc đường tròn phụ.
Hình 3.8
3.5. Với tâm sai khoảng 0,244, quỹ đạo elip của sao Diêm Vương “dẹt” hơn so với quỹ đạo của tám hành tinh trong hệ Mặt Trời (xem Em có biết? ở cuối bài). Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là khoảng $590\ 635 \cdot 10^6$ km. Tìm khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời (tiêu điểm của quỹ đạo) (theo nssdc.gsfc.nasa.gov).
3.6. Một phòng thì thầm có trần vòm elip với hai tiêu điểm ở độ cao 1,6 m (so với mặt sàn) và cách nhau 16 m. Đỉnh của mái vòm cao 7,6 m (H.3.9). Hỏi âm thanh thì thầm từ một tiêu điểm thì sau bao nhiêu giây đến được tiêu điểm kia? Biết vận tốc âm thanh là 343,2m/s và làm tròn đáp số tới 4 chữ số sau dấu phẩy.
Hình 3.9
Em có biết?
Dựa vào tính chất quang học của elip, người ta đã thiết kế các phòng thì thầm (whispering gallery), với mái vòm elip hoặc các bức tường elip để hai người đứng ở hai tiêu điểm, dù không gần nhau, vẫn có thể thì thầm được với nhau. Chẳng hạn, trong phòng thì thầm hình elip tại Bảo tàng khoa học và công nghiệp Chicago, Hoa Kì, hai người đứng ở hai tiêu điểm của elip (trước các tấm kính elip) cách nhau khoảng 13 m vẫn có thể nói chuyện thì thầm với nhau, vì khi gặp tấm kính và các bức tường, âm thanh đã phản xạ và hội tụ về vị trí nơi người nghe đứng.

Mặc dù các hành tinh trong hệ Mặt Trời chuyển động theo các quỹ đạo elip (H.3.10a) nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm, nhưng với các tâm sai rất nhỏ, nên các qu

Bài 6. Hypebol Thuật ngữ Đỉnh, trục thực, trục ảo Đường chuẩn, tâm sai Bán kính qua tiêu Hình chữ nhật cơ sở Đường tiệm cận Kiến thức, kĩ năng Xác định các yếu

$Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. Khi đó Hypebol có hai trục đối xứng là Ox, Oy, và tâm đối xứng là gốc tọa độ O. T$

Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. Khi đó
Hypebol có hai trục đối xứng là Ox, Oy, và tâm đối xứng là gốc tọa độ O.
Trục Ox (chứa hai tiêu điểm) cắt hypebol tại hai điểm $A_1(-a; 0)$, $A_2(a; 0)$ và được gọi là trục thực.
Hai điểm $A_1(-a; 0)$, $A_2(a; 0)$ được gọi là hai đỉnh.
Trục đối xứng Oy không cắt hypebol và được gọi là trục ảo.
$2a$, $2b$ tương ứng được gọi là độ dài trục thực, trục ảo.
Trong hai nhánh của hypebol, một nhánh chứa các điểm đều có hoành độ $x \ge a$ (nhánh chứa đỉnh $A_2(a; 0)$), nhánh còn lại chứa các điểm đều có hoành độ $x \le -a$ (nhánh chứa đỉnh $A_1(-a; 0)$).
Hình chữ nhật với bốn đỉnh có tọa độ là $(-a; b)$, $(-a; -b)$, $(a; -b)$, $(a; b)$ được gọi là hình chữ nhật cơ sở.
Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở được gọi là hai đường tiệm cận, và có phương trình là $y = -\frac{b}{a}x$ và $y = \frac{b}{a}x$.
Chú ý. Trong hypebol nói trên, nhánh chứa đỉnh $A_2(a; 0)$ là nhánh gồm các điểm M thỏa mãn $MF_1 - MF_2 = 2a$, nhánh chứa đỉnh $A_1(-a; 0)$ là nhánh gồm các điểm M thỏa mãn $MF_2 - MF_1 = 2a$ (với $F_1(-c; 0)$, $F_2(c; 0)$ là các tiêu điểm, $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ ).
Ví dụ 1. Cho hypebol $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$.
a) Tìm độ dài các trục, tọa độ các đỉnh.
b) Tìm các đường tiệm cận.
Giải
Từ phương trình của hypebol, ta có $a^2 = 9$, $b^2 = 16$, nghĩa là $a = 3$, $b = 4$.
a) Hypebol có độ dài trục thực là $2a = 6$, độ dài trục ảo là $2b = 8$, và hai đỉnh là $A_1(-3; 0)$, $A_2(3; 0)$.
b) Hypebol có hai đường tiệm cận là $y = -\frac{4}{3}x$ và $y = \frac{4}{3}x$.
Chú ý. Hai đường tiệm cận không cắt hypebol. Hơn nữa khi một điểm thay đổi trên hypebol thì càng xa gốc tọa độ, khoảng cách từ nó tới một trong hai đường tiệm cận càng gần bằng 0 (điều này giải thích cho việc dùng từ "tiệm cận").
Luyện tập 1. Cho hypebol $\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1$.
a) Tìm tiêu cự và độ dài các trục.
b) Tìm các đỉnh và các đường tiệm cận.

2. BÁN KÍNH QUA TIÊU, TÂM SAI VÀ ĐƯỜNG CHUẨN
HD2. Cho điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc hypebol có hai tiêu điểm $F_1(-c; 0)$, $F_2(c; 0)$, độ dài trục thực bằng $2a$.
a) Tính $MF_1^2 - MF_2^2$.
b) Giả sử $M(x_0; y_0)$ thuộc nhánh chứa đỉnh $A_2(a; 0)$, tức là $MF_1 - MF_2 = 2a$.
Tính $MF_1 + MF_2$, $MF_1$, $MF_2$.
c) Giả sử $M(x_0; y_0)$ thuộc nhánh chứa đỉnh $A_1(-a; 0)$, tức là $MF_2 - MF_1 = 2a$.
Tính $MF_1 + MF_2$, $MF_1$, $MF_2$.
Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ với các tiêu điểm $F_1(-c; 0)$, $F_2(c; 0)$ (với $c = \sqrt{a^2 + b^2}$). Với điểm $M(x; y)$ thuộc hypebol, ta có
$$MF_1 = \left| a + \frac{c}{a}x \right|, \quad MF_2 = \left| a - \frac{c}{a}x \right|.$$
Các đoạn thẳng $MF_1$, $MF_2$ được gọi là bán kính qua tiêu của điểm $M$.
Hiệu độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm thuộc hypebol có mối quan hệ gì với độ dài trục thực?
Chú ý. Mặc dù công thức độ dài bán kính qua tiêu nói trên có chứa dấu giá trị tuyệt đối, nhưng từ đó, em cũng có thể dễ dàng suy luận ngược trở lại công thức bán kính qua tiêu ứng với từng nhánh hypebol mà em đã đặt được trong HD2:
Nếu $M(x; y)$ thuộc nhánh chứa đỉnh $A_2(a; 0)$
thì $x \ge a \Rightarrow a + \frac{c}{a}x > 0$ nên $MF_1 = \left| a + \frac{c}{a}x \right| = a + \frac{c}{a}x$ và $MF_2 = \left| a - \frac{c}{a}x \right| = -a + \frac{c}{a}x$ (để ý rằng $c > a$).
Nếu $M(x; y)$ thuộc nhánh chứa đỉnh $A_1(-a; 0)$
thì $x \le -a \Rightarrow a + \frac{c}{a}x < 0$ (để ý rằng $c > a$) nên $MF_1 = \left| a + \frac{c}{a}x \right| = -\left( a + \frac{c}{a}x \right)$ và $MF_2 = \left| a - \frac{c}{a}x \right| = a - \frac{c}{a}x$.
Ví dụ 2. Cho hypebol $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{21} = 1$. Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm $M$ thuộc hypebol và có hoành độ bằng $-10$.
Giải
Ta có $a^2 = 4$; $b^2 = 21$. Suy ra $a = 2$, $b = \sqrt{21}$, và $c = \sqrt{a^2 + b^2} = 5$. Do đó, hypebol có hai tiêu điểm là $F_1(-5; 0)$, $F_2(5; 0)$. Điểm $M$ thuộc hypebol và có hoành độ $x_0 = -10$ nên
$$MF_1 = \left| a + \frac{c}{a}x_0 \right| = \left| 2 + \frac{5}{2} \cdot (-10) \right| = 23 \quad \text{và} \quad MF_2 = \left| a - \frac{c}{a}x_0 \right| = \left| 2 - \frac{5}{2} \cdot (-10) \right| = 27.$$

$Luyện tập 2. Cho hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng $6\sqrt{3}$. Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành$

Luyện tập 2. Cho hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng $6\sqrt{3}$. Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 9.
Ví dụ 3. Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. Tìm điểm M trên hypebol để khoảng cách từ M đến tiêu điểm $F_2(c; 0)$ nhỏ nhất (H.3.13).
Giải
Với mỗi điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc hypebol, ta có bán kính qua tiêu của M ứng với tiêu điểm $F_2$ là $MF_2 = \left| a - \frac{c}{a}x_0 \right|$.
Nếu $M(x_0; y_0)$ thuộc nhánh chứa đỉnh $A_2(a; 0)$ thì $x_0 \ge a$ nên $a - \frac{c}{a}x_0 < 0$ (để ý rằng $c > a$). Do đó,
$$MF_2 = \left| a - \frac{c}{a}x_0 \right| = \frac{c}{a}x_0 - a \ge \frac{c}{a}a - a = c - a.$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $x_0 = a$, tức là, khi $M(x_0; y_0)$ trùng đỉnh $A_2(a; 0)$.
Nếu $M(x_0; y_0)$ thuộc nhánh chứa đỉnh $A_1(-a; 0)$ thì $x_0 \le -a$ nên $a - \frac{c}{a}x_0 \ge a - \frac{c}{a} \cdot (-a) = a + c$. Suy ra
$$MF_2 = \left| a - \frac{c}{a}x_0 \right| \ge a + c.$$
Vậy điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc hypebol có khoảng cách tới tiêu điểm $F_2(c; 0)$ nhỏ nhất khi M trùng đỉnh $A_2(a; 0)$, và khi đó, khoảng cách bằng $c - a$.
Hình 3.13
Chú ý. Tương tự Ví dụ 3, khoảng cách từ điểm M thuộc hypebol đến tiêu điểm $F_1(-c; 0)$ nhỏ nhất khi M trùng đỉnh $A_1(-a; 0)$ và khi đó, khoảng cách bằng $c - a$.
Luyện tập 3. Cho hypebol $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$ với hai tiêu điểm $F_1(-2; 0)$, $F_2(2; 0)$. Điểm M nào thuộc hypebol mà có độ dài bán kính qua tiêu $MF_2$ nhỏ nhất? Tính khoảng cách từ điểm đó tới các tiêu điểm.
Bán kính qua tiêu có độ dài nhỏ nhất bằng nửa hiệu của độ dài tiêu cự và trục thực.
HD3. Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ với các tiêu điểm $F_1(-c; 0)$, $F_2(c; 0)$. Xét các đường thẳng $\Delta_1: x = -\frac{a^2}{c}$ và $\Delta_2: x = \frac{a^2}{c}$ (H.3.14). Với điểm M(x; y) thuộc hypebol, tính các tỉ số $\frac{MF_1}{d(M, \Delta_1)}$ và $\frac{MF_2}{d(M, \Delta_2)}$ theo a và c.

$Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ với các tiêu điểm $F_1(-c; 0)$, $F_2(c; 0)$. Khi điểm $M(x; y)$ thay đổi trên hype$

$Do đó $b^2 = c^2 - a^2 = 12^2 - 4^2 = 128$. Vậy phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{128} = 1$. Luyện tập 4. Trong mặt phẳng toạ đ$

Do đó $b^2 = c^2 - a^2 = 12^2 - 4^2 = 128$.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{128} = 1$.
Luyện tập 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hypebol $(H)$ có phương trình chính tắc, có tâm sai $e = 2$ và một đường chuẩn là $x = 8$. Lập phương trình chính tắc của $(H)$.
Ví dụ 6. Giải thích vì sao ta có thể dùng hình vẽ một hypebol $(H)$ bất kì với tâm sai $e = 3,3567$ như là một hình ảnh thu nhỏ của hypebol chứa quỹ đạo của sao chổi Borisov mà ta đã gặp ở đầu bài học.
Giải
Giả sử hình $(H)$ có độ dài trục thực bằng $2a$ mét, tiêu cự bằng $2c$ mét, và hypebol chứa quỹ đạo của sao chổi Borisov có độ dài trục thực bằng $2a'$ mét, tiêu cự bằng $2c'$ mét. Ta có, $\frac{c}{a} = 3,3567 = \frac{c'}{a'}$. Vậy, nếu đặt $k = \frac{a'}{a} = \frac{c'}{c}$ thì $(H)$ là bản vẽ thu nhỏ của hypebol chứa sao chổi Borisov, với tỉ lệ $1 : k$.
Nhận xét. Qua Ví dụ 6 ta thấy, tâm sai của hypebol (tương tự của elip) quyết định hình dạng của hypebol (elip).
Vận dụng. Một sao chổi đi qua hệ Mặt Trời theo quỹ đạo là một nhánh hypebol nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm, khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đến tâm Mặt Trời là $3 \cdot 10^8$ km và tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6 (Hình 3.15). Hãy lập phương trình chính tắc của hypebol chứa quỹ đạo, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với $10^8$ km trên thực tế.
Sao chổi
Mặt Trời
Hình 3.15
BÀI TẬP
3.7. Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$. Xác định toạ độ các đỉnh, độ dài các trục, tâm sai và phương trình các đường chuẩn của hypebol.
3.8. Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1$. Tính bán kính qua tiêu của một điểm $M$ thuộc hypebol và có hoành độ bằng 12.
3.9. Trong mặt phẳng toạ độ, hypebol $(H)$ có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của $(H)$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $(H)$ có nửa trục thực bằng 4, tiêu cự bằng 10;
b) $(H)$ có tiêu cự bằng $2\sqrt{13}$, một đường tiệm cận là $y = \frac{2}{3}x$;
c) $(H)$ có tâm sai $e = \sqrt{5}$, và đi qua điểm $(\sqrt{10}; 6)$.

3.10. Một hypebol mà độ dài trục thực bằng độ dài trục ảo được gọi là hypebol vuông. Tìm tâm sai và phương trình hai đường tiệm cận của hypebol vuông. 3.11. Chứ

Bài 7. Parabol Thuật ngữ Đỉnh, tiêu điểm, đường chuẩn, bán kính qua tiêu Tham số tiêu Tâm sai Kiến thức, kĩ năng Xác định được các yếu tố đặc trưng của đường pa

Ví dụ 1. Lập phương trình chính tắc của parabol có khoảng cách từ đỉnh tới tiêu điểm bằng 3.
Giải
Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2 = 2px, p > 0$.
Khoảng cách giữa tiêu điểm $F(\frac{p}{2}; 0)$ và đỉnh $O(0; 0)$ là 3 nên $\frac{p}{2} = 3 \Rightarrow p = 6$.
Vậy parabol có phương trình chính tắc là $y^2 = 12x$.
Luyện tập 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, parabol $(P)$ có phương trình chính tắc và đi qua điểm $A(6; 6)$. Tìm tham số tiêu và phương trình đường chuẩn của $(P)$.
2. BÁN KÍNH QUA TIÊU, TÂM SAI VÀ ĐƯỜNG CHUẨN
HD2. Cho parabol có phương trình chính tắc $y^2 = 2px$ (H.3.19).
a) Nêu toạ độ tiêu điểm $F$ và phương trình đường chuẩn $\Delta$ của parabol.
b) Cho điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc parabol. Hãy so sánh $MF$ với $d(M; \Delta)$, từ đó, tính $MF$ theo $x_0$ và $y_0$.
Cho parabol có phương trình chính tắc $y^2 = 2px, p > 0$. Khi đó:
Parabol có tiêu điểm $F(\frac{p}{2}; 0)$ và đường chuẩn $\Delta: x = -\frac{p}{2}$;
Với điểm $M(x; y)$ thuộc parabol, đoạn thẳng $MF$ được gọi là bán kính qua tiêu của $M$ và có độ dài $MF = x + \frac{p}{2}$.
Với mọi điểm $M(x; y)$ thuộc parabol, tỉ số $\frac{MF}{d(M, \Delta)}$ luôn bằng 1. Ta nói parabol có tâm sai bằng 1.
Ví dụ 2. Cho parabol có phương trình $y^2 = 4x$.
a) Tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol.
b) Tính bán kính qua tiêu của điểm $M$ thuộc parabol và có hoành độ bằng 3.
Giải
a) Từ phương trình chính tắc của parabol, ta có $2p = 4 \Leftrightarrow p = 2$.
Vậy parabol có tiêu điểm là $F(1; 0)$ và đường chuẩn là $x = -1$.
b) Theo công thức bán kính qua tiêu ta có $MF = 3 + 1 = 4$.
Luyện tập 2. Cho parabol có phương trình $y^2 = 8x$. Tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol. Tính bán kính qua tiêu của điểm $M$ thuộc parabol biết điểm $M$ có tung độ bằng 4.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng trong các điểm thuộc parabol thì đỉnh parabol có khoảng cách tới tiêu điểm nhỏ nhất và khoảng cách đó bằng một nửa tham số tiêu.
Giải
Giả sử parabol có phương trình chính tắc là $y^2 = 2px, p > 0$. Với điểm $M(x_0; y_0)$ bất kì thuộc

$parabol, ta có $x_0 \ge 0$. Do đó, theo công thức bán kính qua tiêu, ta có $MF = x_0 + \frac{p}{2} \ge \frac{p}{2}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x_0 =$

parabol, ta có $x_0 \ge 0$. Do đó, theo công thức bán kính qua tiêu, ta có $MF = x_0 + \frac{p}{2} \ge \frac{p}{2}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x_0 = 0$ (và do đó $y_0 = 0$), tức là $M$ trùng với đỉnh $O(0; 0)$ của parabol. Từ đó, ta nhận được điều phải chứng minh.
Luyện tập 3. Một sao chổi chuyển động theo quỹ đạo parabol nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm. Khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là $10^6$ km. Lập phương trình chính tắc của quỹ đạo theo đơn vị kilômét. Hỏi khi sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, thì khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là bao nhiêu kilômét?
Vận dụng. Theo các bước sau, hãy giải quyết vấn đề đã được nêu ra ở phần mở đầu bài học.
a) Tìm chiều cao của cổng mà bác Vinh đã tham quan;
b) Tìm chiều cao và chiều rộng của mô hình thu nhỏ mà bác Vinh dự định làm;
c) Tìm phương trình chính tắc của mô hình đó, theo đơn vị mét;
d) Nếu tại tiêu điểm của mô hình, bác Vinh treo một ngôi sao thì ngôi sao đó ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?
BÀI TẬP
3.13. Cho parabol có phương trình $y^2 = 12x$. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol. Tính bán kính qua tiêu của điểm $M$ thuộc parabol và có hoành độ bằng 5.
3.14. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, parabol $(P)$ có phương trình chính tắc và đi qua điểm $M(3; 3\sqrt{2})$. Tìm bán kính qua tiêu của điểm $M$ và khoảng cách từ tiêu điểm tới đường chuẩn của $(P)$.
3.15. Xét đèn có bát đáy parabol với kích thước được thể hiện trên Hình 3.20. Dây tóc bóng đèn được đặt ở vị trí tiêu điểm. Tính khoảng cách từ dây tóc tới đỉnh bát đáy.
Hình 3.20
3.16. Ăng-ten vệ tinh parabol ở Hình 3.21 có đầu thu đặt tại tiêu điểm, đường kính miệng ăng-ten là 240 cm, khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới miệng ăng-ten là 130 cm. Tính khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh ăng-ten.
Hình 3.21

Bài 8. Sự thống nhất giữa ba đường conic Thuật ngữ Đường conic Đường chuẩn, tâm sai Kiến thức, kĩ năng Nhận biết đường conic như là giao của mặt phẳng với mặt n

Giao của một mặt nón tròn xoay (H.3.23) với một mặt phẳng không đi qua đỉnh là một đường tròn hoặc đường conic. Khi một máy bay có vận tốc lớn hơn vận tốc âm th

$Cho số dương $e$, điểm $F$ và đường thẳng $\Delta$ không đi qua $F$. Khi đó, tập hợp những điểm $M$ thoả mãn $\frac{MF}{d(M,\Delta)} = e$ là một đường conic có$

$BÀI TẬP 3.17. Viết phương trình các đường chuẩn của các đường conic sau: a) $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$; b) $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$; c) $y$

BÀI TẬP
3.17. Viết phương trình các đường chuẩn của các đường conic sau:
a) $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$;
b) $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$;
c) $y^2 = 8x$.
3.18. Cho hai elip $(E_1)$: $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ và $(E_2)$: $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.
a) Tìm mối quan hệ giữa hai tâm sai của các elip đó.
b) Chứng minh rằng với mỗi điểm $M$ thuộc elip $(E_2)$ thì trung điểm $N$ của đoạn thẳng $OM$ thuộc elip $(E_1)$.
3.19. Viết phương trình của đường conic có tâm sai bằng 1, tiêu điểm $F(2; 0)$ và đường chuẩn là $\Delta$: $x + 2 = 0$.
3.20. Quỹ đạo chuyển động của sao chổi Halley là một elip, nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm, có tâm sai bằng $0,967$.
a) Giải thích vì sao ta có thể coi bất kì hình vẽ elip nào với tâm sai bằng $0,967$ là hình ảnh thu nhỏ của quỹ đạo sao chổi Halley.
b) Biết khoảng cách gần nhất từ sao chổi Halley đến tâm Mặt Trời là khoảng $88 \cdot 10^6$ km, tính khoảng cách xa nhất (theo nssdc.gsfc.nasa.gov).
Em có biết?
Sao chổi là một thiên thể gồm khí đóng băng, đá và bụi. Mặc dù chỉ rộng từ vài dặm đến hàng chục dặm, nhưng khi đi vào gần Mặt Trời, sao chổi nóng lên và phun ra khí, bụi với đầu phát sáng có thể rộng hơn cả một hành tinh và đuôi có thể kéo dài hàng triệu dặm.
(Theo solarsystem.nasa.gov)
Sao chổi rất quan trọng đối với các nhà khoa học vì chúng là những thiên thể nguyên thuỷ còn sót lại từ quá trình hình thành hệ Mặt Trời.
Đối với những sao chổi có quỹ đạo parabol hay hypebol chúng ta chỉ được thấy chúng một lần, sau đó chúng đi khỏi hệ Mặt Trời và không bao giờ quay lại.
Dựa vào các Định luật của Newton về chuyển động, người ta có thể rút ra mối quan hệ sau giữa quỹ đạo, vận tốc tại đỉnh quỹ đạo của sao chổi:
Quỹ đạo elip: $\sqrt{\frac{GM}{p}} < v < \sqrt{\frac{2GM}{p}}$.
Quỹ đạo parabol: $v = \sqrt{\frac{2GM}{p}}$.
Quỹ đạo hypebol: $v > \sqrt{\frac{2GM}{p}}$.
Trong đó, $v$ (m/s) là vận tốc tại đỉnh quỹ đạo của sao chổi, $p$ (m) là khoảng cách từ tâm Mặt Trời (tiêu điểm của quỹ đạo) tới đỉnh (gần tâm Mặt Trời) của quỹ đạo, $G = 6,67408 \cdot 10^{-11}$ m³kg⁻¹s² (hằng số hấp dẫn), $M = 1,989 \cdot 10^{30}$ kg (khối lượng Mặt Trời).
Đối với những vệ tinh được phóng từ Trái Đất ta cũng có điều tương tự về mối quan hệ giữa vận tốc và quỹ đạo.

$Bài tập cuối chuyên đề 3 3.21. Cho đường conic (S) có tâm sai $e = 2$, một tiêu điểm $F(-2; 5)$ và đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó là $\Delta: x + y - 1$

Bài tập cuối chuyên đề 3
3.21. Cho đường conic (S) có tâm sai $e = 2$, một tiêu điểm $F(-2; 5)$ và đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó là $\Delta: x + y - 1 = 0$. Chứng minh rằng điểm $M(x; y)$ thuộc đường conic (S) khi và chỉ khi $x^2 + y^2 + 4xy - 8x + 6y - 27 = 0$ (được gọi là phương trình của (S), tuy vậy không phải là phương trình chính tắc). Hỏi (S) là đường gì trong ba đường conic?
3.22. Viết phương trình đường conic có tâm sai $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$, một tiêu điểm $F(-1; 0)$ và đường chuẩn tương ứng là $\Delta: x + y + 1 = 0$. Hỏi đường conic đó là đường gì?
3.23. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) là một parabol có tiêu điểm là $F\left( -\frac{b}{2a}; \frac{1 - \Delta}{4a} \right)$ và đường chuẩn là $y = -\frac{1 + \Delta}{4a}$, trong đó $\Delta = b^2 - 4ac$.
3.24. Cho hai parabol có phương trình $y^2 = 2px$ và $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$). Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng nằm trên đường tròn (C): $x^2 + y^2 + \left( \frac{b}{a} - 2p \right)x - \frac{1}{a}y + \frac{c}{a} = 0$.
3.25. Cho elip có phương trình $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(2; 1)$ và cắt elip tại hai điểm $A, B$ sao cho $MA = MB$.
3.26. Một tàu vũ trụ nằm trong một quỹ đạo tròn và ở độ cao 148 km so với bề mặt Trái Đất (H.3.27). Sau khi đạt được vận tốc cần thiết để thoát khỏi lực hấp dẫn của Trái Đất, tàu vũ trụ sẽ đi theo quỹ đạo parabol với tâm Trái Đất là tiêu điểm; điểm khởi đầu của quỹ đạo này là đỉnh parabol quỹ đạo.
a) Viết phương trình chính tắc của parabol quỹ đạo (1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 1 km trên thực tế, lấy bán kính Trái Đất là 6 371 km).
b) Giải thích vì sao, kể từ khi đi vào quỹ đạo parabol, càng ngày, tàu vũ trụ càng cách xa Trái Đất.

Báo lỗi

Giao bài

Đang tải dữ liệu câu hỏi