Chương I MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP Chương này cung cấp những khái niệm và kí hiệu logic thường dùng, củng cố và mở rộng hiểu biết ban đầu về lí thuyết tập hợp đã được

1. MỆNH ĐỀ, MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN
a. Mệnh đề
HD1. Trong các câu ở tình huống mở đầu:
a) Câu nào đúng?
b) Câu nào sai?
c) Câu nào không xác định được tính đúng sai?
Những câu nói của An và Khoa là những khẳng định có tính đúng hoặc sai. Người ta gọi mỗi câu như vậy là một mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề). Những câu không xác định được tính đúng sai không phải là mệnh đề.
Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Chú ý. Người ta thường sử dụng các chữ cái $P$, $Q$, $R$,... để biểu thị các mệnh đề.
Ví dụ 1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? Câu nào không là mệnh đề?
a) Phương trình $3x^2 - 5x + 2 = 0$ có nghiệm nguyên;
b) $5 < 7 - 3$;
c) Có bao nhiêu dấu hiệu nhận biết hai tam giác đồng dạng?
d) Đây là cách xử lí khôn ngoan!
Những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu cầu khiến không phải là mệnh đề.
Giải
Vì phương trình $3x^2 - 5x + 2 = 0$ có nghiệm nguyên $x = 1$ nên câu a là đúng. Câu b là sai. Do đó, câu a và câu b là những mệnh đề.
Câu c là câu hỏi; câu d là câu cảm thán, nêu lên ý kiến của người nói. Do đó, không xác định được tính đúng sai. Vậy các câu c và d không phải là mệnh đề.
Chú ý. Những mệnh đề liên quan đến toán học (các mệnh đề ở câu a và câu b trong Ví dụ 1) được gọi là mệnh đề toán học.
Luyện tập 1. Thay dấu "?" bằng dấu "✓" vào ô thích hợp trong bảng sau:
Câu, Không là mệnh đề, Mệnh đề đúng, Mệnh đề sai
13 là số nguyên tố., ?, ?, ?
Tổng độ dài hai cạnh bất kì của một tam giác nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại., ?, ?, ?
Bạn đã làm bài tập chưa?, ?, ?, ?
Thời tiết hôm nay thật đẹp!, ?, ?, ?

b. Mệnh đề chứa biến
Xét câu “$n$ chia hết cho 2” (với $n$ là số tự nhiên).
Ta chưa khẳng định được tính đúng sai của câu này, do đó nó chưa phải là một mệnh đề.
Tuy nhiên, nếu thay $n$ bằng số tự nhiên cụ thể thì câu này cho ta một mệnh đề. Chẳng hạn:
Với $n = 5$ ta được mệnh đề “5 chia hết cho 2”. Đây là mệnh đề sai.
Với $n = 10$ ta được mệnh đề “10 chia hết cho 2”. Đây là mệnh đề đúng.
Ta nói rằng câu “$n$ chia hết cho 2” là một mệnh đề chứa biến.
❓ Xét câu “$x > 5$”. Hãy tìm hai giá trị thực của $x$ để từ câu đã cho, ta nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.
2. MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH
HD2. Quan sát biển báo trong hình bên.
Khoa nói: “Đây là biển báo đường dành cho người đi bộ”.
An không đồng ý với ý kiến của Khoa.
Hãy phát biểu ý kiến của An dưới dạng một mệnh đề.
Để phủ định một mệnh đề $P$, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ của mệnh đề $P$. Ta kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$ là $\overline{P}$.
Mệnh đề $P$ và mệnh đề $\overline{P}$ là hai phát biểu trái ngược nhau. Nếu $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai, còn nếu $P$ sai thì $\overline{P}$ đúng.
Ví dụ 2. Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:
$P$: “17 là số chính phương”;
$Q$: “Hình hộp chữ nhật không phải là hình lăng trụ đứng tứ giác”.
Giải
Mệnh đề phủ định của $P$ là $\overline{P}$: “17 không phải là số chính phương”.
Mệnh đề phủ định của $Q$ là $\overline{Q}$: “Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng tứ giác”.
Luyện tập 2. Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.
$P$: “2 022 chia hết cho 5”;
$Q$: “Bất phương trình $2x + 1 > 0$ có nghiệm”.
Vận dụng. Cho mệnh đề $Q$: “Châu Á là châu lục có diện tích lớn nhất trên thế giới”. Phát biểu mệnh đề phủ định $\overline{Q}$ và xác định tính đúng sai của hai mệnh đề $Q$ và $\overline{Q}$.

3. MỆNH ĐỀ KÉO THEO, MỆNH ĐỀ ĐẢO
a. Mệnh đề kéo theo
HĐ3. Cặp từ quan hệ nào sau đây phù hợp với vị trí bị che khuất trong câu ghép ở hình bên?
A. Nếu ... thì ...
B. Tuy ... nhưng ...
[icon] sử dụng rượu bia khi tham gia giao thông [icon] có thể bị xử phạt hành chính hoặc xử lí hình sự tuỳ theo mức độ vi phạm.
HĐ4. Cho hai câu sau:
P: "Tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$";
Q: "Tam giác $ABC$ có $AB^2 + AC^2 = BC^2$".
Hãy phát biểu câu ghép có dạng "Nếu $P$ thì $Q$".
Mệnh đề "Nếu $P$ thì $Q$" được gọi là một mệnh đề kéo theo và kí hiệu là $P \Rightarrow Q$.
Chú ý. Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai. Do đó ta chỉ cần xét tính đúng sai của mệnh đề $P \Rightarrow Q$ khi $P$ đúng. Khi đó, nếu $Q$ đúng thì $P \Rightarrow Q$ đúng, nếu $Q$ sai thì $P \Rightarrow Q$ sai.
Ví dụ 3. Cho tứ giác $ABCD$, xét hai câu sau:
P: "Tứ giác $ABCD$ có tổng số đo hai góc đối diện bằng $180^\circ$";
Q: "$ABCD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn".
Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và cho biết tính đúng sai của mệnh đề đó.
Giải
$P \Rightarrow Q$: "Nếu tứ giác $ABCD$ có tổng số đo hai góc đối diện bằng $180^\circ$ thì $ABCD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn".
Mệnh đề kéo theo này là mệnh đề đúng.
Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng $P \Rightarrow Q$. Khi đó ta nói:
$P$ là giả thiết của định lí, $Q$ là kết luận của định lí, hoặc
"$P$ là điều kiện đủ để có $Q$" hoặc "$Q$ là điều kiện cần để có $P$".
b. Mệnh đề đảo
HĐ5. Xét hai câu sau:
P: "Phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt";
Q: "Phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac > 0$".
a) Hãy phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
b) Hãy phát biểu mệnh đề $Q \Rightarrow P$.

$Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$. Nhận xét. Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng. Ví dụ 4. H$

Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
Nhận xét. Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.
Ví dụ 4. Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề: "Nếu tam giác ABC là tam giác đều thì tam giác ABC là tam giác cân" và xác định tính đúng sai của mệnh đề đảo này.
Giải
Mệnh đề đảo là: "Nếu tam giác ABC là tam giác cân thì tam giác ABC là tam giác đều".
Mệnh đề đảo này là sai.
Luyện tập 3. Cho các mệnh đề $P$: "a và b chia hết cho c";
$Q$: "$a + b$ chia hết cho c".
a) Hãy phát biểu định lí $P \Rightarrow Q$. Nếu giả thiết, kết luận của định lí và phát biểu định lí này dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.
b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$ rồi xác định tính đúng sai của mệnh đề đảo này.
4. MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG
HD6. Hãy xác định tính đúng sai của mệnh đề sau:
"Một số tự nhiên chia hết cho 5 nếu số đó có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 và ngược lại".
Mệnh đề ở HD6 có thể phát biểu dưới dạng: "Một số tự nhiên chia hết cho 5 nếu và chỉ nếu số đó có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5".
Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" được gọi là một mệnh đề tương đương và kí hiệu là $P \Leftrightarrow Q$.
Nhận xét. Nếu cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng thì mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$ đúng. Khi đó ta nói "P tương đương với Q" hoặc "P là điều kiện cần và đủ để có Q" hoặc "P khi và chỉ khi Q".
Ví dụ 5. Cho hai mệnh đề:
P: "Tứ giác ABCD là hình vuông";
Q: "Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau".
Hãy phát biểu mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$ và xác định tính đúng sai của mệnh đề tương đương này.
Giải
Mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$: "Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau". Mệnh đề tương đương này đúng vì cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng.
Luyện tập 4. Phát biểu điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 2.

$5. MỆNH ĐỀ CÓ CHỨA KÍ HIỆU $\forall, \exists$ Câu "Mọi số thực đều có bình phương không âm" là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau: $P$: "$\forall x \i$

5. MỆNH ĐỀ CÓ CHỨA KÍ HIỆU $\forall, \exists$
Câu "Mọi số thực đều có bình phương không âm" là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau:
$P$: "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0$".
Câu "Có một số hữu tỉ mà bình phương của nó bằng 2" là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau:
$Q$: "$\exists x \in \mathbb{Q}, x^2 = 2$".
Kí hiệu $\forall$ đọc là "với mọi"; kí hiệu $\exists$ đọc là "tồn tại".
Em hãy xác định tính đúng sai của hai mệnh đề trên.
Luyện tập 5. Phát biểu bằng lời mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.
$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \leq 0$.
Dưới đây ta xét mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu $\forall, \exists$.
Mọi số tự nhiên nhân với 1 đều bằng chính nó.
$1 \cdot 1 = 1$
$2 \cdot 1 = 2$
$3 \cdot 1 = 3$
$4 \cdot 1 = 4$
...
Không đúng. Có một số tự nhiên nhân với 1 không bằng chính nó.
Mệnh đề "Có một số tự nhiên nhân với 1 không bằng chính nó" là phủ định của mệnh đề "Mọi số tự nhiên nhân với 1 đều bằng chính nó".
Như vậy mệnh đề phủ định của $P$: "$\forall n \in \mathbb{N}, n \cdot 1 = n$" là mệnh đề $\overline{P}$: "$\exists n \in \mathbb{N}, n \cdot 1 \neq n$".
Ví dụ 6
Viết mệnh đề phủ định của mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của nó.
$P$: "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 = 0$".
Giải
Mệnh đề $P$ có thể phát biểu là: "Tồn tại một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0".
Phủ định của mệnh đề $P$ là: "Không tồn tại một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0", tức là: "Mọi số thực đều có bình phương cộng với 1 khác 0".
Ta có thể viết mệnh đề phủ định của $P$ là $\overline{P}$: "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \neq 0$". Mệnh đề phủ định này đúng.
Luyện tập 6
Trong tiết học môn Toán, Nam phát biểu: "Mọi số thực đều có bình phương khác 1".
Mai phát biểu: "Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1".
a) Hãy cho biết bạn nào phát biểu đúng.
b) Dùng kí hiệu $\forall, \exists$ để viết lại các phát biểu của Nam và Mai dưới dạng mệnh đề.

BÀI TẬP
1.1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới;
b) Bạn học trường nào?
c) Không được làm việc riêng trong giờ học;
d) Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang.
1.2. Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:
a) $\pi > \frac{10}{3}$;
b) Phương trình $3x + 7 = 0$ có nghiệm;
c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0;
d) 2 022 là hợp số.
1.3. Cho hai câu sau:
P: “Tam giác ABC là tam giác vuông”;
Q: “Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại”.
Hãy phát biểu mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$ và xác định tính đúng sai của mệnh đề này.
1.4. Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của chúng.
P: “Nếu số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 5 thì n chia hết cho 5”;
Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau”.
1.5. Với hai số thực a và b, xét các mệnh đề P: “$a^2 < b^2$” và Q: “$0 < a < b$”.
a) Hãy phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu a.
c) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề ở câu a và câu b.
1.6. Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó.
Q: “$\exists n \in \mathbb{N}, n$ chia hết cho $n + 1$”.
1.7. Dùng kí hiệu $\forall, \exists$ để viết các mệnh đề sau:
P: “Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó”;
Q: “Có một số thực cộng với chính nó bằng 0”.
Em có biết?
Logic mệnh đề lần đầu tiên được phát triển một cách có hệ thống bởi nhà triết học Hy Lạp Aristotle hơn 2 300 năm trước và được thảo luận bởi nhà toán học người Anh George Boole vào năm 1854 trong cuốn sách “The Laws of Think”.
Aristotle
George Boole

Bài 2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp THUẬT NGỮ Tập hợp, tập con, tập hợp bằng nhau, tập rỗng Hợp, giao, hiệu của hai tập hợp, phần bù của một tập con Bi

$HD2. Cho tập hợp: $C = {\text{châu Á; châu Âu; châu Đại Dương; châu Mỹ; châu Nam Cực; châu Phi}}$. a) Hãy chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp$

HD2. Cho tập hợp:
$C = {\text{châu Á; châu Âu; châu Đại Dương; châu Mỹ; châu Nam Cực; châu Phi}}$.
a) Hãy chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp $C$.
b) Tập hợp $C$ có bao nhiêu phần tử?
Có thể mô tả một tập hợp bằng một trong hai cách sau:
Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp;
Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
$a \in S$: phần tử $a$ thuộc tập hợp $S$.
$a \notin S$: phần tử $a$ không thuộc tập hợp $S$.
Ví dụ 1. Cho $D = {n \in \mathbb{N} | n \text{ là số nguyên tố}, 5 < n < 20}$.
a) Viết tập hợp $D$ bằng cách liệt kê các phần tử. Tập hợp $D$ có bao nhiêu phần tử?
b) Dùng kí hiệu $\in, \notin$ để viết câu trả lời cho câu hỏi sau: Trong các số 5; 12; 17; 18, số nào thuộc tập $D$, số nào không thuộc tập $D$?
Giải
a) $D = {7; 11; 13; 17; 19}$. Tập hợp $D$ có 5 phần tử.
b) $5 \notin D; 12 \notin D; 17 \in D; 18 \notin D$.
Chú ý. Số phần tử của tập hợp $S$ được kí hiệu là $n(S)$. Chẳng hạn, tập hợp $A$ trong HD1 có số phần tử là 7, ta viết $n(A) = 7$.
Số nào thuộc tập nghiệm của phương trình $x^2 + 1 = 0$?
Không có số nào vì phương trình vô nghiệm!
Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, kí hiệu là $\emptyset$.
Chẳng hạn:
– Tập hợp các nghiệm của phương trình $x^2 + 1 = 0$ là tập rỗng;
– Tập hợp những người sống trên Mặt Trời là tập rỗng.
Luyện tập 1. Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình
$x^2 - 24x + 143 = 0$.
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $13 \in S$; b) $11 \notin S$; c) $n(S) = 2$.
b. Tập hợp con
HD3. Gọi $H$ là tập hợp các bạn tham gia Chuyên đề 2 trong tinh huống mở đầu có tên bắt đầu bằng chữ H. Các phần tử của tập hợp $H$ có là phần tử của tập hợp $B$ trong HD1 không?

$Nếu mọi phần tử của tập hợp $T$ đều là phần tử của tập hợp $S$ thì ta nói $T$ là một tập hợp con (tập con) của $S$ và viết là $T \subset S$ (đọc là $T$ chứa tro$

Giải Ta có: $C = {0; 6; 12; 18; 24}$; $D = {0; 6; 12; 18; 24}$. Vậy $C = D$. Luyện tập 2. Giả sử $C$ là tập hợp các hình bình hành có hai đường chéo vuông góc;

$b. Các tập con thường dùng của $\mathbb{R}$ HD6. Cho hai tập hợp $C = {x \in \mathbb{R} \mid x \ge 3}$ và $D = {x \in \mathbb{R} \mid x > 3}$. Các mệnh đề sau đ$

$Tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp $S$ và $T$ gọi là giao của hai tập hợp $S$ và $T$, kí hiệu là $S \cap T$. $$S \cap T = {x \mid x \in S \text{ và }$

Tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp $S$ và $T$ gọi là giao của hai tập hợp $S$ và $T$, kí hiệu là $S \cap T$.
$$S \cap T = {x \mid x \in S \text{ và } x \in T}.$$
Hình 1.6
» Ví dụ 6
a) Cho hai tập hợp $C = {4; 7; 27}$ và $D = {2; 4; 9; 27; 36}$. Hãy xác định tập hợp $C \cap D$.
b) Cho hai tập hợp $E = [1; +\infty)$ và $F = (-\infty; 3]$. Hãy xác định tập hợp $E \cap F$.
Giải
a) Giao của hai tập hợp $C$ và $D$ là $C \cap D = {4; 27}$.
b) Giao của hai tập hợp $E$ và $F$ là $E \cap F = [1; 3]$.
» Luyện tập 5. Cho các tập hợp $C = [1; 5]$, $D = [-2; 3]$. Hãy xác định tập hợp $C \cap D$.
b. Hợp của hai tập hợp
» HĐ8. Trở lại tình huống mở đầu, hãy xác định tập hợp các thành viên tham gia Chuyên đề 1 hoặc Chuyên đề 2.
Tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp $S$ hoặc thuộc tập hợp $T$ gọi là hợp của hai tập hợp $S$ và $T$, kí hiệu là $S \cup T$.
$$S \cup T = {x \mid x \in S \text{ hoặc } x \in T}.$$
Hình 1.7
» Ví dụ 7
a) Cho hai tập hợp: $C = {2; 3; 4; 7}$ và $D = {-1; 2; 3; 4; 6}$. Hãy xác định tập hợp $C \cup D$.
b) Cho hai tập hợp $E = (-1; 2]$ và $F = [0; 3]$. Hãy xác định tập hợp $E \cup F$.
Giải
a) Hợp của hai tập hợp $C$ và $D$ là $C \cup D = {-1; 2; 3; 4; 6; 7}$.
b) Hợp của hai tập hợp $E$ và $F$ là $E \cup F = (-1; 3]$.
» Ví dụ 8. Trở lại câu hỏi trong tình huống mở đầu. Gọi $A$ là tập hợp những thành viên tham gia Chuyên đề 1, $B$ là tập hợp những thành viên tham gia Chuyên đề 2.
Ta có: $A \cup B = {\text{Nam; Hương; Chi; Tú; Bình; Ngân; Khánh; Hân; Hiền; Lam}}$.
Tập $A \cup B$ có 10 phần tử, tức là có 10 thành viên tham gia một hoặc hai chuyên đề.
Số thành viên vắng mặt trong cả hai chuyên đề là: $12 - 10 = 2$ (thành viên).
» Luyện tập 6. Hãy biểu diễn tập hợp $A \cup B$ bằng biểu đồ Ven, với $A, B$ được cho trong HD1.

c. Hiệu của hai tập hợp HD9. Trở lại tình huống mở đầu, hãy xác định tập hợp các thành viên chỉ tham gia Chuyên đề 1 mà không tham gia Chuyên đề 2. Hiệu của hai

BÀI TẬP
1.8. Gọi $X$ là tập hợp các quốc gia tiếp giáp với Việt Nam. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp $X$ và biểu diễn tập $X$ bằng biểu đồ Ven.
1.9. Kí hiệu $E$ là tập hợp các quốc gia tại khu vực Đông Nam Á.
a) Nêu ít nhất hai phần tử thuộc tập hợp $E$.
b) Nêu ít nhất hai phần tử không thuộc tập hợp $E$.
c) Liệt kê các phần tử thuộc tập hợp $E$. Tập hợp $E$ có bao nhiêu phần tử?
1.10. Hãy viết tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp:
$$A = {0; 4; 8; 12; 16}.$$
1.11. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng?
$$A = {x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 6 = 0}; \quad B = {x \in \mathbb{Z} \mid x^2 - 6 = 0}.$$
1.12. Cho $X = {a; b}$. Các cách viết sau đúng hay sai? Giải thích kết luận đưa ra.
a) $a \subset X$;
b) ${a} \subset X$;
c) $\emptyset \in X$.
1.13. Cho $A = {2; 5}$, $B = {5; x}$, $C = {2; y}$. Tìm $x$ và $y$ để $A = B = C$.
1.14. Cho $A = {x \in \mathbb{Z} \mid x < 4}$; $B = {x \in \mathbb{Z} \mid (5x - 3x^2)(x^2 + 2x - 3) = 0}$.
a) Liệt kê các phần tử của hai tập hợp $A$ và $B$.
b) Hãy xác định các tập hợp $A \cap B$, $A \cup B$ và $A \setminus B$.
1.15. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.
a) $(-4; 1] \cap [0; 3)$;
b) $(0; 2] \cup (-3; 1]$;
c) $(-2; 1] \cap (1; +\infty)$;
d) $\mathbb{R} \setminus (-\infty; 3]$.
1.16. Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động 35 người phiên dịch tiếng Anh, 30 người phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có 16 người phiên dịch được cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Hãy trả lời các câu hỏi sau:
a) Ban tổ chức đã huy động bao nhiêu người phiên dịch cho hội nghị đó?
b) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Anh?
c) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp?

Bài tập cuối chương I A – TRẮC NGHIỆM 1.17. Câu nào sau đây không là mệnh đề? A. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. B. $3 < 1$. C. $4 - 5 = 1$. D. B

$1.24. Cho $A = {x \in \mathbb{N} \mid x < 7}$; $B = {1; 2; 3; 6; 7; 8}$. Xác định các tập hợp sau: $A \cup B; A \cap B; A \setminus B$. 1.25. Cho hai tập hợp $A$

Bài 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Các bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn xuất hiện trong nhiều bài toán kinh tế, như là những ràng buộc trong các bài toán sản xuất, bài toán phân phối hàng hoá,... Chương này cung cấp cách biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ.
Bài 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
THUẬT NGỮ
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Biết biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ.
Vận dụng kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải quyết bài toán thực tiễn.
Nhân ngày Quốc tế Thiếu nhi 1-6, một rạp chiếu phim phục vụ các khán giả một bộ phim hoạt hình. Vé được bán ra có hai loại:
Loại 1 (dành cho trẻ từ 6-13 tuổi): 50 000 đồng/vé;
Loại 2 (dành cho người trên 13 tuổi): 100 000 đồng/vé.
Người ta tính toán rằng, để không phải bù lỗ thì số tiền vé thu được ở rạp chiếu phim này phải đạt tối thiểu 20 triệu đồng.
Hỏi số lượng vé bán được trong những trường hợp nào thì rạp chiếu phim phải bù lỗ?
1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
HĐ1. Trong tình huống mở đầu, gọi $x$ là số vé loại 1 bán được và $y$ là số vé loại 2 bán được. Viết biểu thức tính số tiền bán vé thu được (đơn vị nghìn đồng) ở rạp chiếu phim đó theo $x$ và $y$.
a) Các số nguyên không âm $x$ và $y$ phải thoả mãn điều kiện gì để số tiền bán vé thu được đạt tối thiểu 20 triệu đồng?
b) Nếu số tiền bán vé thu được nhỏ hơn 20 triệu đồng thì $x$ và $y$ thoả mãn điều kiện gì?

Mỗi hệ thức liên hệ giữa x và y thu được trong HD1a và HD1b được gọi là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:
$ax + by \le c$ ($ax + by \ge c$, $ax + by < c$, $ax + by > c$)
trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.
Ví dụ 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
$2x + 3y < 1$; $\quad\quad\quad\quad 2x^2 + 3y < 1$.
Giải
Bất phương trình $2x + 3y < 1$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bất phương trình $2x^2 + 3y < 1$ không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa $x^2$.
HD2. Cặp số $(x; y) = (100; 100)$ thoả mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào trong hai bất phương trình thu được ở HD1? Từ đó cho biết rạp chiếu phim có phải bù lỗ hay không nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2.
Trả lời câu hỏi tương tự với cặp số $(x; y) = (150; 150)$.
Cặp số $(x_0; y_0)$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by \le c$ nếu bất đẳng thức $ax_0 + by_0 \le c$ đúng.
Ví dụ 2. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x + 2y > 5$. Cặp số nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên?
a) $(x; y) = (3; 4)$; $\quad\quad\quad\quad\quad\quad$ b) $(x; y) = (0; -1)$.
Giải
a) Vì $3 + 2 \cdot 4 = 11 > 5$ nên cặp số $(3; 4)$ là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
b) Vì $0 + 2 \cdot (-1) = -2 < 5$ nên cặp số $(0; -1)$ không phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
Luyện tập 1. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x + 2y \ge 0$.
a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên.
b) Với $y = 0$, có bao nhiêu giá trị của x thoả mãn bất phương trình đã cho?
Nhận xét. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.
2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ
HD3. Cho đường thẳng d: $2x - y = 4$ trên mặt phẳng toạ độ Oxy (H.2.1). Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
a) Các điểm $O(0; 0)$, $A(-1; 3)$ và $B(-2; -2)$ có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d không?
Tính giá trị của biểu thức $2x - y$ tại các điểm đó và so sánh với 4.
b) Trả lời câu hỏi tương tự như câu a với các điểm $C(3; 1)$, $D(4; -1)$.

$Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình $ax + by \le c$ được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó. Người ta$

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình $ax + by \le c$ được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.
Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có phương trình $ax + by = c$ chia mặt phẳng toạ độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng bờ d:
– Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có toạ độ $(x; y)$ thoả mãn $ax + by > c$;
– Nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ d) gồm các điểm có toạ độ $(x; y)$ thoả mãn $ax + by < c$.
Bờ d gồm các điểm có toạ độ $(x; y)$ thoả mãn $ax + by = c$.
Ví dụ 3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x + y \ge 100$ trên mặt phẳng toạ độ.
Giải (H.2.2)
Ta biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x + y \ge 100$ như sau:
Bước 1. Vẽ đường thẳng d: $x + y = 100$ trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Bước 2. Lấy một điểm bất kì không thuộc d trên mặt phẳng rồi thay vào biểu thức $x + y$. Chẳng hạn, lấy $O(0;0)$, ta có: $0 + 0 < 100$.
Do đó miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc toạ độ (miền không bị gạch).
Hình 2.2
Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by \le c$.
• Vẽ đường thẳng d: $ax + by = c$ trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
• Lấy một điểm $M_0(x_0; y_0)$ không thuộc d.
• Tính $ax_0 + by_0$ và so sánh với c.
• Nếu $ax_0 + by_0 < c$ thì nửa mặt phẳng bờ d chứa $M_0$ là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu $ax_0 + by_0 > c$ thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa $M_0$ là miền nghiệm của bất phương trình.
• Nếu $c \ne 0$, ta thường chọn $M_0$ chính là gốc toạ độ.
• Nếu $c = 0$, ta thường chọn $M_0$ có toạ độ $(1; 0)$ hoặc $(0; 1)$.
Ví dụ 4. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $5x - 7y \le 0$ trên mặt phẳng toạ độ.
Giải (H.2.3)
Bước 1. Vẽ đường thẳng d: $5x - 7y = 0$ trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Bước 2. Lấy điểm $M_0 (0; 1)$ không thuộc d và thay $x = 0$, $y = 1$ vào biểu thức $5x - 7y$ ta được: $5 \cdot 0 - 7 \cdot 1 = -7 < 0$.
Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm $M_0$ (miền không bị gạch).
Chú ý. Miền nghiệm của bất phương trình $ax + by < c$ là miền nghiệm của bất phương trình $ax + by \le c$ bỏ đi đường thẳng $ax + by = c$ và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.
Hình 2.3
Luyện tập 2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $2x + y < 200$ trên mặt phẳng toạ độ.

$Ví dụ 5. Giải bài toán ở tình huống mở đầu. Giải Gọi $x$ là số lượng vé loại 1 bán được ($x \in \mathbb{N}$) và $y$ là số lượng vé loại 2 bán được ($y \in \math$

Ví dụ 5. Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Giải
Gọi $x$ là số lượng vé loại 1 bán được ($x \in \mathbb{N}$) và $y$ là số lượng vé loại 2 bán được ($y \in \mathbb{N}$) thì số tiền bán vé thu được là $50x + 100y$ (nghìn đồng). Người ta sẽ phải bù lỗ trong trường hợp số tiền bán vé nhỏ hơn 20 triệu đồng, tức là: $50x + 100y < 20,000$ hay $x + 2y < 400$.
Như vậy, việc giải quyết bài toán mở đầu dẫn đến việc đi tìm miền nghiệm của bất phương trình $x + 2y < 400$.
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn này được xác định như sau:
Vẽ đường thẳng $d$: $x + 2y = 400$.
Ta lấy gốc tọa độ $O(0; 0)$ và tính $0 + 2 \cdot 0 = 0 < 400$. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa gốc tọa độ không kể đường thẳng $d$ (H.2.4).
Vậy, nếu bán được số vé loại 1 là $x$ và số vé loại 2 là $y$ mà điểm $(x; y)$ nằm trong miền tam giác $OAB$ không kể cạnh $AB$ thì rạp chiếu phim sẽ phải bù lỗ.
Nếu điểm $(x; y)$ nằm trên đoạn thẳng $AB$ thì rạp chiếu phim hoà vốn.
Hình 2.4
Miền tam giác gồm các điểm bên trong và các điểm trên ba cạnh của tam giác.
Nhận xét
Nếu bán được 150 vé loại 1 và 150 vé loại 2 thì rạp chiếu phim có lãi.
Nếu bán được 200 vé loại 1 và 100 vé loại 2 thì rạp chiếu phim hoà vốn.
Nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2 thì rạp chiếu phim phải bù lỗ.
Vận dụng. Một công ty viễn thông tính phí 1 nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và 2 nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng. Em có thể sử dụng bao nhiêu phút gọi nội mạng và bao nhiêu phút gọi ngoại mạng trong một tháng nếu em muốn số tiền phải trả ít hơn 200 nghìn đồng?
BÀI TẬP
2.1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
a) $2x + 3y > 6$;
b) $2^2x + y \leq 0$;
c) $2x^2 - y \geq 1$.
2.2. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
a) $3x + 2y \geq 300$;
b) $7x + 20y < 0$.
2.3. Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau:
Phí cố định (nghìn đồng/ngày), Phí tính theo quãng đường di chuyển (nghìn đồng/kilômét)
Từ thứ Hai đến thứ Sáu, 900, 8
Thứ Bảy và Chủ nhật, 1 500, 10
a) Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa $x$ và $y$ sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng.
b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng tọa độ.

Bài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
THUẬT NGỮ
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Biết biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ.
Vận dụng kiến thức hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải quyết bài toán thực tiễn.
Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hoà: điều hoà hai chiều và điều hoà một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá $1{,}2$ tỉ đồng.
Điều hoà hai chiều, Điều hoà một chiều
Giá mua vào, $20$ triệu đồng/$1$ máy, $10$ triệu đồng/$1$ máy
Lợi nhuận dự kiến, $3{,}5$ triệu đồng/$1$ máy, $2$ triệu đồng/$1$ máy
Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá $100$ máy cả hai loại. Nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy để lợi nhuận thu được là lớn nhất?
1. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
HD1. Trong tình huống mở đầu, gọi $x$ và $y$ lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Tính số tiền vốn mà cửa hàng phải bỏ ra để nhập hai loại máy điều hoà theo $x$ và $y$.
a) Do nhu cầu của thị trường không quá $100$ máy nên $x$ và $y$ cần thoả mãn điều kiện gì?
b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá $1{,}2$ tỉ đồng nên $x$ và $y$ phải thoả mãn điều kiện gì?
c) Tính số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu được theo $x$ và $y$.
Như vậy, $x$ và $y$ trong HD1 phải thoả mãn một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cặp số $(x_0; y_0)$ là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi $(x_0; y_0)$ đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó.

$Ví dụ 1. Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x \ge 0 \ y \ge 0 \ x + y \le 150. \end{cases}$ a) Hệ trên có phải là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn kh$

Ví dụ 1. Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x \ge 0 \ y \ge 0 \ x + y \le 150. \end{cases}$
a) Hệ trên có phải là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn không?
b) Kiểm tra xem cặp số $(x; y) = (0; 0)$ có phải là một nghiệm của hệ bất phương trình trên không.
Giải
a) Hệ bất phương trình đã cho là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$.
b) Cặp số $(x; y) = (0; 0)$ thoả mãn cả ba bất phương trình của hệ nên nó là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.
Luyện tập 1. Trong tình huống mở đầu, gọi $x$ và $y$ lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Từ HĐ1, viết hệ bất phương trình hai ẩn $x$, $y$ và chỉ ra một nghiệm của hệ này.
2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ
HĐ2. Cho đường thẳng $d$: $x + y = 150$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Đường thẳng này cắt hai trục toạ độ $Ox$ và $Oy$ tại hai điểm $A$ và $B$.
a) Xác định các miền nghiệm $D_1$, $D_2$, $D_3$ của các bất phương trình tương ứng $x \ge 0$; $y \ge 0$ và $x + y \le 150$.
b) Miền tam giác $OAB$ (H.2.5) có phải là giao của các miền $D_1$, $D_2$ và $D_3$ hay không?
c) Lấy một điểm trong tam giác $OAB$ (chẳng hạn điểm $(1; 2)$) hoặc một điểm trên cạnh nào đó của tam giác $OAB$ (chẳng hạn điểm $(1; 149)$) và kiểm tra xem toạ độ của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không:
$\begin{cases} x \ge 0 \ y \ge 0 \ x + y \le 150. \end{cases}$
Phương trình của trục $Ox$ là $y = 0$ và phương trình của trục $Oy$ là $x = 0$.
Hình 2.5
Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.
Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
Ví dụ 2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ:
$\begin{cases} 7x + 4y \le 2,400 \ x + y \le 100 \ x \ge 0. \end{cases}$

$Giải (H.2.6) Bước 1. Xác định miền nghiệm $D_1$ của bất phương trình $7x + 4y \leq 2,400$ và gạch bỏ miền còn lại. Vẽ đường thẳng $d$: $7x + 4y = 2,400$. Vì $7$

Giải (H.2.6)
Bước 1. Xác định miền nghiệm $D_1$ của bất phương trình $7x + 4y \leq 2,400$ và gạch bỏ miền còn lại.
Vẽ đường thẳng $d$: $7x + 4y = 2,400$.
Vì $7 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0 < 2,400$ nên toạ độ điểm $O(0; 0)$ thoả mãn bất phương trình $7x + 4y \leq 2,400$.
Do đó, miền nghiệm $D_1$ của bất phương trình $7x + 4y \leq 2,400$ là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa gốc toạ độ $O$.
Bước 2. Tương tự, miền nghiệm $D_2$ của bất phương trình $x + y \leq 100$ là nửa mặt phẳng bờ $d'$ chứa gốc toạ độ $O$.
Bước 3. Tương tự, miền nghiệm $D_3$ của bất phương trình $x \geq 0$ là nửa mặt phẳng bờ $Oy$ chứa điểm $(1; 0)$.
Khi đó, miền không bị gạch chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch trong Hình 2.6.
Hình 2.6
Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.
Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Chú ý. Nếu trong HD2, hệ được thay bởi $\begin{cases} x \geq 0 \ y \geq 0 \ x + y < 150 \end{cases}$ thì miền nghiệm sẽ là miền tam giác $OAB$ bỏ đi cạnh $AB$.
Luyện tập 2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng toạ độ: $\begin{cases} x \geq 0 \ y > 0 \ x + y \leq 100 \ 2x + y < 120. \end{cases}$
3. ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
HD3. Xét biểu thức $F(x; y) = 2x + 3y$ với $(x; y)$ thuộc miền tam giác $OAB$ ở HD2. Toạ độ ba đỉnh là $O(0; 0)$, $A(150; 0)$ và $B(0; 150)$ (H.2.5).
a) Tính giá trị của biểu thức $F(x; y)$ tại mỗi đỉnh $O$, $A$ và $B$.
b) Nêu nhận xét về dấu của hoành độ $x$ và tung độ $y$ của điểm $(x; y)$ nằm trong miền tam giác $OAB$. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của $F(x; y)$ trên miền tam giác $OAB$.

c) Nếu nhận xét về tổng $x + y$ của điểm $(x; y)$ nằm trong miền tam giác $OAB$. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của $F(x; y)$ trên miền tam giác $OAB$.
Nhận xét. Tổng quát, người ta chứng minh được rằng giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức $F(x; y) = ax + by$, với $(x; y)$ là toạ độ các điểm thuộc miền đa giác $A_1A_2 \dots A_n$, tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác, đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.
Ví dụ 3. Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Giải
Giả sử cửa hàng cần nhập số máy điều hoà hai chiều là $x$ và số máy điều hoà một chiều là $y$. Khi đó ta có $x \ge 0, y \ge 0$.
Vì nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên $x + y \le 100$.
Số tiền để nhập hai loại máy điều hoà với số lượng như trên là: $20x + 10y$ (triệu đồng).
Số tiền tối đa để đầu tư cho hai loại máy là 1,2 tỉ đồng, nên ta có $20x + 10y \le 1200$ hay $2x + y \le 120$.
Từ đó ta thu được hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
$$\begin{cases} x \ge 0 \ y \ge 0 \ x + y \le 100 \ 2x + y \le 120. \end{cases}$$
Lợi nhuận thu được khi bán $x$ máy điều hoà hai chiều và $y$ máy điều hoà một chiều là $F(x; y) = 3,5x + 2y$.
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $F(x; y)$ khi $(x; y)$ thoả mãn hệ bất phương trình trên.
Hình 2.7
Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Miền nghiệm là miền tứ giác $OABC$ với toạ độ các đỉnh $O(0;0), A(0;100), B(20;80)$ và $C(60;0)$ (H.2.7).
Bước 2. Tính giá trị của biểu thức $F$ tại các đỉnh của tứ giác này:
$F(0;0) = 0, F(0;100) = 200, F(20;80) = 230, F(60;0) = 210.$
Bước 3. So sánh các giá trị thu được của $F$ ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là $F(20;80) = 230$.
Vậy cửa hàng cần đầu tư kinh doanh 20 máy điều hoà hai chiều và 80 máy điều hoà một chiều để lợi nhuận thu được là lớn nhất.
Giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của $F(x; y)$ đạt tại một trong các đỉnh của tứ giác $OABC$.

Vận dụng. Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính $A$ và $B$, giá mỗi chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng. Loại máy $A$ mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy $B$ mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng cho mỗi máy bán được. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hằng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại $A$ là $x$ và số máy tính loại $B$ là $y$.
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi $F$ (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán $x$ máy tính loại $A$ và $y$ máy tính loại $B$. Hãy biểu diễn $F$ theo $x$ và $y$.
c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó để lợi nhuận thu được là lớn nhất.
BÀI TẬP
2.4. Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
a) $\begin{cases} x < 0 \ y \geq 0; \end{cases}$
b) $\begin{cases} x + y^2 < 0 \ y - x > 1; \end{cases}$
c) $\begin{cases} x + y + z < 0 \ y < 0; \end{cases}$
d) $\begin{cases} -2x + y < 3^2 \ 4^2x + 3y < 1. \end{cases}$
2.5. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ:
a) $\begin{cases} y - x < -1 \ x > 0 \ y < 0; \end{cases}$
b) $\begin{cases} x \geq 0 \ y \geq 0 \ 2x + y \leq 4; \end{cases}$
c) $\begin{cases} x \geq 0 \ x + y > 5 \ x - y < 0. \end{cases}$
2.6. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipid trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipid. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipid. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng; giá 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua $x$ kilôgam thịt bò và $y$ kilôgam thịt lợn.
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi $F$ (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho $x$ kilôgam thịt bò và $y$ kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn $F$ theo $x$ và $y$.
c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình đó cần mua để chi phí là ít nhất.

$Bài tập cuối chương II A – TRẮC NGHIỆM 2.7. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn? A. $x + y > 3$. B. $x^2 + y^2 \leq 4$. C. $(x - y)$

$2.11. Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x - y < -3 \ 2y \ge -4 \end{cases}$. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho? A. (0; 0).$

2.11. Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x - y < -3 \ 2y \ge -4 \end{cases}$. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?
A. (0; 0).
B. (-2; 1).
C. (3; -1).
D. (-3; 1).
B – TỰ LUẬN
2.12. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $\frac{x + y}{2} \ge \frac{2x - y + 1}{3}$ trên mặt phẳng toạ độ.
2.13. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y < 1 \ 2x - y \ge 3 \end{cases}$ trên mặt phẳng toạ độ.
2.14. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} y - 2x \le 2 \ y \le 4 \ x \le 5 \ x + y \ge -1 \end{cases}$ trên mặt phẳng toạ độ.
Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x;y) = -x - y$ với $(x; y)$ thoả mãn hệ trên.
2.15. Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu: trái phiếu chính phủ với lãi suất 7% một năm, trái phiếu ngân hàng với lãi suất 8% một năm và trái phiếu doanh nghiệp rủi ro cao với lãi suất 12% một năm. Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng. Hơn nữa, để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp. Hỏi bác An nên đầu tư mỗi loại trái phiếu bao nhiêu tiền để lợi nhuận thu được sau một năm là lớn nhất?
2.16. Một công ty dự định chi tối đa 160 triệu đồng cho quảng cáo một sản phẩm mới trong một tháng trên các đài phát thanh và truyền hình. Biết cùng một thời lượng quảng cáo, số người mới quan tâm đến sản phẩm trên truyền hình gấp 8 lần trên đài phát thanh, tức là quảng cáo trên truyền hình có hiệu quả gấp 8 lần trên đài phát thanh.
Đài phát thanh chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 900 giây với chi phí là 80 nghìn đồng/giây. Đài truyền hình chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 360 giây với chi phí là 400 nghìn đồng/giây.
Công ty cần đặt thời gian quảng cáo trên các đài phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?
Gợi ý. Nếu coi hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài phát thanh là 1 (đơn vị) thì hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài truyền hình là 8 (đơn vị). Khi đó hiệu quả quảng cáo $x$ (giây) trên đài phát thanh và $y$ (giây) trên truyền hình là $F(x; y) = x + 8y$. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm $F(x; y)$ với $x, y$ thoả mãn các điều kiện trong đề bài.

Chương III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lượng giác được phát triển từ nhu cầu tính toán góc và khoảng cách trong rất nhiều lĩnh vực như thiên văn học, lập bản

1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính $R = 1$ nằm phía trên trục hoành (H.3.2) được gọi là nửa đường tròn đơn vị.
Cho trước một góc $\alpha$, $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$. Khi đó, có duy nhất điểm $M(x_0; y_0)$ trên nửa đường tròn đơn vị nói trên để $\widehat{xOM} = \alpha$.
Hình 3.2
HD1. a) Nêu nhận xét về vị trí của điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:
$\alpha = 90^\circ$;
$\alpha < 90^\circ$;
$\alpha > 90^\circ$.
b) Khi $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, nêu mối quan hệ giữa $\cos\alpha$, $\sin\alpha$ với hoành độ và tung độ của điểm $M$.
Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn cho một góc bất kì từ $0^\circ$ đến $180^\circ$, ta có định nghĩa sau:
Với mỗi góc $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$), gọi $M(x_0; y_0)$ là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = \alpha$. Khi đó:
sin của góc $\alpha$ là tung độ $y_0$ của điểm $M$, được kí hiệu là $\sin\alpha$;
côsin của góc $\alpha$ là hoành độ $x_0$ của điểm $M$, được kí hiệu là $\cos\alpha$;
Khi $\alpha \ne 90^\circ$ (hay là $x_0 \ne 0$), tang của $\alpha$ là $\frac{y_0}{x_0}$, được kí hiệu là $\tan\alpha$;
Khi $\alpha \ne 0^\circ$ và $\alpha \ne 180^\circ$ (hay là $y_0 \ne 0$), côtang của $\alpha$ là $\frac{x_0}{y_0}$, được kí hiệu là $\cot\alpha$.
Từ định nghĩa trên, ta có:
$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ($\alpha \ne 90^\circ$); $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ ($\alpha \ne 0^\circ$ và $\alpha \ne 180^\circ$); $\tan\alpha = \frac{1}{\cot\alpha}$ ($\alpha \notin {0^\circ; 90^\circ; 180^\circ}$).
Sau đây là bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt mà em nên nhớ.
$\alpha$ / GTLG, $0^\circ$, $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$
$\sin\alpha$, $0$, $\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $1$, $0$
$\cos\alpha$, $1$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{1}{2}$, $0$, $-1$
$\tan\alpha$, $0$, $\frac{\sqrt{3}}{3}$, $1$, $\sqrt{3}$, $|$, $0$
$\cot\alpha$, $|$, $\sqrt{3}$, $1$, $\frac{\sqrt{3}}{3}$, $0$, $|$
Bảng 3.1
Trong bảng, kí hiệu $|$ chỉ giá trị lượng giác tương ứng không xác định.

$Ví dụ 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc $135^{\circ}$. Giải (H.3.3) Gọi $M$ là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = 135^{\circ}$. Gọi $N$

Ví dụ 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc $135^{\circ}$.
Giải (H.3.3)
Gọi $M$ là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = 135^{\circ}$. Gọi $N, P$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $M$ lên các trục $Ox, Oy$.
Vì $\widehat{xOM} = 135^{\circ}$ nên $\widehat{MON} = 45^{\circ}, \widehat{MOP} = 45^{\circ}$. Vậy các tam giác $MON, MOP$ là vuông cân với cạnh huyền $OM = 1$. Từ đó, ta có $ON = OP = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Mặt khác, điểm $M$ nằm bên trái trục tung nên có toạ độ là $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
Theo định nghĩa, ta có:
$\sin 135^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$; $\cos 135^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
$\tan 135^{\circ} = -1$; $\cot 135^{\circ} = -1$.
Hình 3.3
Hình 3.4
Luyện tập 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc $120^{\circ}$ (H.3.4).
Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính (đúng hoặc gần đúng) các giá trị lượng giác của một góc và tính góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó.
Chẳng hạn, với một loại máy tính cầm tay, sau khi mở máy ta bấm phím SHIFT MODE (SETUP) rồi bấm phím 3 để chọn đơn vị đo góc là "độ". Sau đó tính giá trị lượng giác của góc hoặc tính góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó.
Tính giá trị lượng giác của một số góc:
Tính, Bấm phím, Kết quả
$\sin 48^{\circ}50'40''$, sin 4 8 °''' 5 0 °''' 4 0 °''' =, $\sin 48^{\circ}50'40'' \approx 0,7529256291$
$\cos 112^{\circ}12'45''$, cos 1 1 2 °''' 1 2 °''' 4 5 °''' =, $\cos 112^{\circ}12'45'' \approx -0,3780427715$
$\tan 15^{\circ}$, tan 1 5 =, $\tan 15^{\circ} = 2 - \sqrt{3}$
Tìm góc khi biết một giá trị lượng giác của góc đó:
Tìm x, biết, Bấm phím, Kết quả
$\sin x = 0,3456$, SHIFT sin $(\sin^{-1})$ 0 • 3 4 5 6 = °''', $x \approx 20^{\circ}13'7''$
Chú ý
Khi tìm $x$ biết $\sin x$, máy tính chỉ đưa ra giá trị $x \le 90^{\circ}$.
Muốn tìm $x$ khi biết $\cos x, \tan x$, ta cũng làm tương tự như trên, chỉ thay phím sin tương ứng bởi phím cos, tan.

2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU
Ở lớp 9, em đã biết mối quan hệ giữa tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau. Trong mục này, em hãy tìm mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau.
Đối với một góc $\alpha$ tuỳ ý ($0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}$), gọi $M$, $M'$ là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc bù nhau $\alpha$ và $180^{\circ} - \alpha$ ($\widehat{xOM} = \alpha$, $\widehat{xOM'} = 180^{\circ} - \alpha$) (H.3.5).
Hình 3.5
HD2. Nếu nhận xét về vị trí của hai điểm $M$, $M'$ đối với trục $Oy$. Từ đó, nêu các mối quan hệ giữa $\sin \alpha$ và $\sin(180^{\circ} - \alpha)$, giữa $\cos \alpha$ và $\cos(180^{\circ} - \alpha)$.
Đối với hai góc bù nhau, $\alpha$ và $180^{\circ} - \alpha$, ta có:
$\sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha$;
$\tan(180^{\circ} - \alpha) = -\tan \alpha$ ($\alpha \neq 90^{\circ}$);
$\cos(180^{\circ} - \alpha) = -\cos \alpha$;
$\cot(180^{\circ} - \alpha) = -\cot \alpha$ ($0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$).
Ví dụ 2. Tính các giá trị lượng giác của các góc $120^{\circ}, 135^{\circ}, 150^{\circ}$.
Giải
Do các góc $120^{\circ}, 135^{\circ}, 150^{\circ}$ tương ứng bù với các góc $60^{\circ}, 45^{\circ}, 30^{\circ}$ nên từ Bảng 3.1, ta cũng có bảng các giá trị lượng giác sau:
$\alpha$ / GTLG, $120^{\circ}$, $135^{\circ}$, $150^{\circ}$
$\sin \alpha$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{1}{2}$
$\cos \alpha$, $-\frac{1}{2}$, $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan \alpha$, $-\sqrt{3}$, $-1$, $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\cot \alpha$, $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, $-1$, $-\sqrt{3}$
Bảng 3.2
Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; có côsin, tang, côtang đối nhau.
Luyện tập 2. Trong Hình 3.6, hai điểm $M$, $N$ ứng với hai góc phụ nhau $\alpha$ và $90^{\circ} - \alpha$ ($\widehat{xOM} = \alpha$, $\widehat{xON} = 90^{\circ} - \alpha$). Chứng minh rằng $\Delta MOP = \Delta NOQ$. Từ đó nêu mối quan hệ giữa $\cos \alpha$ và $\sin(90^{\circ} - \alpha)$.
Hai góc phụ nhau có sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Vận dụng. Một chiếc đu quay có bán kính 75 m, tâm của vòng quay ở độ cao 90 m (H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người v

Bài 6. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
THUẬT NGỮ
Định lí côsin
Định lí sin
Công thức tính diện tích
Giải tam giác
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Hiểu định lí côsin, định lí sin, công thức tính diện tích tam giác.
Giải tam giác và giải quyết một số bài toán trong đo đạc.
Ngắm Tháp Rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta cũng có thể xác định được khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa. Em có biết vì sao?
Tháp Rùa nằm trong lòng hồ Hoàn Kiếm ở Thủ đô Hà Nội
1. ĐỊNH LÍ CÔSIN
HĐ1. Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hoà) theo hướng đông với vận tốc $20$ km/h. Sau khi đi được $1$ giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp.
a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong $1,5$ giờ kể từ khi xuất phát ($1$ km trên thực tế ứng với $1$ cm trên bản vẽ).
b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau $1,5$ giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilômét (số đo gần đúng).
c) Nếu sau khi đi được $2$ giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì có thể dùng định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?
Đối với tam giác $ABC$, ta thường kí hiệu $A$, $B$, $C$ là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; $a$, $b$, $c$ tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh $A$, $B$, $C$; $p$ là nửa chu vi; $S$ là diện tích; $R$, $r$ tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
Có hay không, một kiểu định lí Pythagore cho tam giác tuỳ ý?
HĐ2. Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính $a$ theo $b$, $c$ và giá trị lượng giác của góc $A$.
a) Tính $a^2$ theo $BD^2$ và $CD^2$.
b) Tính $a^2$ theo $b$, $c$ và $DA$.
c) Tính $DA$ theo $c$ và $\cos A$.
d) Chứng minh $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
Hình 3.8

Chú ý. Người ta chứng minh được kết quả trong HD2d đối với cả các trường hợp góc $A$ là góc vuông hoặc nhọn. Định lí côsin. Trong tam giác $ABC$: $a^2 = b^2 + c

$Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 135^\circ$, $\widehat{C} = 15^\circ$ và $b = 12$. Tính $a, c, R$ và số đo góc $B$. Giải (H.3.11) Ta có: $\widehat{$

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 135^\circ$, $\widehat{C} = 15^\circ$ và $b = 12$. Tính $a, c, R$ và số đo góc $B$.
Giải (H.3.11)
Ta có: $\widehat{B} = 180^\circ - (\widehat{A} + \widehat{C}) = 180^\circ - (135^\circ + 15^\circ) = 30^\circ$.
Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin 135^\circ} = \frac{12}{\sin 30^\circ} = \frac{c}{\sin 15^\circ} = 2R$.
Suy ra $a = \frac{12}{\sin 30^\circ} \cdot \sin 135^\circ = 12\sqrt{2}$; $c = \frac{12}{\sin 30^\circ} \cdot \sin 15^\circ = 24 \sin 15^\circ (\approx 6,21)$; $R = \frac{12}{2 \sin 30^\circ} = 12$.
Hình 3.11
Luyện tập 2. Cho tam giác $ABC$ có $b = 8$, $c = 5$ và $\widehat{B} = 80^\circ$. Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của tam giác.
3. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.
Ví dụ 3. Giải tam giác $ABC$, biết $c = 14, \widehat{A} = 60^\circ, \widehat{B} = 40^\circ$.
Giải
Ta có $\widehat{C} = 180^\circ - (\widehat{A} + \widehat{B}) = 80^\circ$.
Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{b}{\sin 40^\circ} = \frac{14}{\sin 80^\circ}$.
Suy ra $a = \frac{14 \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ} \approx 12,31$; $b = \frac{14 \sin 40^\circ}{\sin 80^\circ} \approx 9,14$.
Luyện tập 3. Giải tam giác $ABC$, biết $b = 32, c = 45, \widehat{A} = 87^\circ$.
Chú ý. Áp dụng các định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:
• Biết hai cạnh và góc xen giữa;
• Biết ba cạnh;
• Biết một cạnh và hai góc kề.
Ví dụ 4. Trở lại tình huống mở đầu, theo các bước sau, ta có thể tiến hành đo khoảng cách từ vị trí $A$ trên bờ hồ Hoàn Kiếm đến Tháp Rùa (H.3.12):
Bước 1. Trên bờ, đặt một cọc tiêu tại vị trí $A$ và một cọc tiêu tại vị trí $B$ nào đó. Đo khoảng cách $AB$.
Bước 2. Đứng tại $A$, ngắm Tháp Rùa và cọc tiêu $B$ để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.
Bước 3. Đứng tại $B$, ngắm cọc tiêu $A$ và Tháp Rùa để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.
Bước 4. Gọi $C$ là vị trí của Tháp Rùa. Áp dụng định lí sin cho tam giác $ABC$ để tính độ dài cạnh $AC$.
Hình 3.12
Vận dụng 2. Từ một khu vực có thể quan sát được hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.

4. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC Ta đã biết tính diện tích một tam giác theo chiều cao và độ dài cạnh đáy tương ứng. Liệu còn công thức nào khác để tính diệ

$Ví dụ 6. Cho tam giác $ABC$ có $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$. a) Tính $\sin A$. b) Tính diện tích $S$ bằng hai cách khác nhau. Giải (H.3.16) a) Áp dụng định lí c$

Ví dụ 6. Cho tam giác $ABC$ có $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$.
a) Tính $\sin A$.
b) Tính diện tích $S$ bằng hai cách khác nhau.
Giải (H.3.16)
a) Áp dụng định lí côsin, ta có:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{14^2 + 15^2 - 13^2}{420} = 0,6.$
Do đó $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = 0,8.$
Hình 3.16
b) Ta có $S = \frac{1}{2}bc \sin A = 84$.
Áp dụng công thức Heron, ta cũng có thể tính $S$ theo cách thứ hai như sau:
Tam giác $ABC$ có nửa chu vi là: $p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$.
Khi đó
$S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21 \cdot (21-13) \cdot (21-14) \cdot (21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84.$
Vận dụng 3. Công viên Hoà Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác $ABCDE$ như Hình 3.17. Dùng chế độ tính khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên Hoà Bình.
Hình 3.17
BÀI TẬP
3.5. Cho tam giác $ABC$ có $a = 6$, $b = 5$, $c = 8$. Tính $\cos A$, $S$, $r$.
3.6. Cho tam giác $ABC$ có $a = 10$, $\widehat{A} = 45^\circ$, $\widehat{B} = 70^\circ$. Tính $R$, $b$, $c$.
3.7. Giải tam giác $ABC$ và tính diện tích của tam giác đó, biết $\widehat{A} = 15^\circ$, $\widehat{B} = 130^\circ$, $c = 6$.
3.8. Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng $A$, đi theo hướng S70°E với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8 km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.
a) Tính khoảng cách từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu.
b) Xác định hướng từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu.
Hướng S$\alpha^\circ$E là hướng tạo với hướng nam góc $\alpha^\circ$ và tạo với hướng đông góc $90^\circ - \alpha^\circ$. Các hướng S$\alpha^\circ$W, N$\alpha^\circ$E, N$\alpha^\circ$W cũng được định nghĩa một cách tương tự.

3.9. Trên nóc một toà nhà có một cột ăng-ten cao 5 m. Từ một vị trí quan sát $A$ cao 7 m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh $B$ và chân $C$ của cột ăng-ten, v

$Bài tập cuối chương III A – TRẮC NGHIỆM 3.12. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 135^\circ$. Khẳng định nào sau đây là đúng? a) A. $S = \frac{1}{2}ca$. B. $S$

3.18. Trên biển, tàu $B$ ở vị trí cách tàu $A$ 53 km về hướng N34°E. Sau đó, tàu $B$ chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30 km/h về hướng đông, đồng thờ

Chương IV. VECTƠ Hình 4.1 cho thấy ga An Cựu cách Hoàng cung Huế 3,01 km về hướng đông nam. Hai thông tin khoảng cách và hướng cho phép ta xác định được vị trí

1. KHÁI NIỆM VECTO
» HĐ1. Một con tàu khởi hành từ đảo A, đi thẳng về hướng đông 10 km rồi đi thẳng tiếp 10 km về hướng nam thì tới đảo B (H.4.2). Nếu từ đảo A, tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo B, thì phải đi theo hướng nào và quãng đường phải đi dài bao nhiêu kilômét?
Ta có thể gắn cho quãng đường thẳng từ đảo A tới đảo B đồng thời hai yếu tố, đó là độ dài và hướng (hướng đi thẳng từ đảo A tới đảo B). Từ thực tế này, ta đi tới khái niệm toán học sau:
• Vecto là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là, trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối.
• Độ dài của vecto là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó.
Chú ý
• Vecto có điểm đầu A và điểm cuối B được kí hiệu là $\vec{AB}$, đọc là vecto AB (H.4.3).
• Để vẽ một vecto, ta vẽ đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối của nó, rồi đánh dấu mũi tên ở điểm cuối (H.4.3).
• Vecto còn được kí hiệu là $\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}, \vec{y},...$ (H.4.4).
• Độ dài của vecto $\vec{AB}, \vec{a}$ tương ứng được kí hiệu là $|\vec{AB}|, |\vec{a}|$.
» Ví dụ 1. Cho hình vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1. Tính độ dài các vecto $\vec{AC}, \vec{CA}, \vec{BD}$.
Giải
Vì cạnh của hình vuông ABCD có độ dài bằng 1 nên các đường chéo của hình vuông này có độ dài bằng $\sqrt{2}$.
Vậy $|\vec{AC}| = AC = \sqrt{2}$, $|\vec{CA}| = CA = \sqrt{2}$, $|\vec{BD}| = BD = \sqrt{2}$.
» Luyện tập 1. Cho tam giác đều ABC với cạnh có độ dài bằng a. Hãy chỉ ra các vecto có độ dài bằng a và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác ABC.
2. HAI VECTO CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU
» HĐ2. Quan sát các làn đường trong Hình 4.5 và cho biết những nhận xét sau đây là đúng.
a) Các làn đường song song với nhau.
b) Các xe chạy theo cùng một hướng.
c) Hai xe bất kì đều chạy theo cùng một hướng hoặc hai hướng ngược nhau.

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vecto được gọi là giá của vecto đó.
Hai vecto được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
Trong Hình 4.7, mỗi cặp vecto trong các vecto $\overrightarrow{AB}$, $\vec{a}$, $\vec{x}$, $\vec{y}$, $\vec{z}$ đều cùng phương, nhưng vecto $\vec{b}$ không cùng phương với mỗi vecto trên.
Hình 4.6
➤ HĐ3. Xét các vecto cùng phương trong Hình 4.7. Hai vecto $\vec{a}$ và $\overrightarrow{AB}$ được gọi là cùng hướng, còn hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{x}$ được gọi là ngược hướng. Hãy chỉ ra các vecto cùng hướng với vecto $\vec{a}$ và các vecto ngược hướng với vecto $\vec{a}$.
Hình 4.7
Đối với hai vecto cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
Chỉ khi hai vecto cùng phương, ta mới nói tới chúng cùng hướng hay ngược hướng.
Hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\vec{a} = \vec{b}$, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Chú ý
Ta cũng xét các vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (chẳng hạn $\overrightarrow{AA}$, $\overrightarrow{BB}$, $\overrightarrow{MM}$), gọi là các vecto-không.
Ta quy ước vecto-không có độ dài bằng $0$, cùng hướng (do đó cùng phương) với mọi vecto.
Các vecto-không có cùng độ dài và cùng hướng nên bằng nhau và được kí hiệu chung là $\vec{0}$.
Với mỗi điểm $O$ và vecto $\vec{a}$ cho trước, có duy nhất điểm $A$ sao cho $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ (H.4.8).
Hình 4.8
➤ Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật $ABCD$. Hãy chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa các cặp vecto: $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$. Những cặp vecto nào trong các cặp vecto trên là bằng nhau?
Giải (H.4.9)
Hai vecto $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ có cùng độ dài và cùng hướng. Do đó, hai vecto $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng nhau.
Hai vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ có cùng độ dài và ngược hướng. Do đó, hai vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ không bằng nhau.
Hai vecto $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ có cùng độ dài nhưng không cùng phương nên không cùng hướng. Do đó, hai vecto $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ không bằng nhau.
Hình 4.9
Vậy trong các cặp vecto đang xét, chỉ có cặp vecto $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ là bằng nhau ($\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$).

$Luyện tập 2. Cho hình thang cân $ABCD$ với hai đáy $AB$, $CD$, $AB < CD$ (H.4.10). Hãy chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa các cặp vectơ $\vec{AD}$$

Luyện tập 2. Cho hình thang cân $ABCD$ với hai đáy $AB$, $CD$, $AB < CD$ (H.4.10). Hãy chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa các cặp vectơ $\vec{AD}$ và $\vec{BC}$, $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$, $\vec{AC}$ và $\vec{BD}$. Có cặp vectơ nào trong các cặp vectơ trên bằng nhau hay không?
Hình 4.10
Ví dụ 3. Chứng minh rằng ba điểm phân biệt $A$, $B$, $C$ thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ cùng phương.
Giải
Giả sử ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng. Khi đó, chúng cùng thuộc một đường thẳng $d$. Vậy hai vectơ $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ có cùng giá là $d$. Suy ra chúng cùng phương.
Giả sử hai vectơ $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ cùng phương. Khi đó, chúng có cùng giá hoặc có hai giá song song với nhau. Mặt khác, giá của các vectơ trên đều đi qua $A$ nên chúng trùng nhau. Vậy $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.
Ta có thể dùng ngôn ngữ vectơ để biểu thị một số quan hệ hình học.
Nhận xét. Ba điểm phân biệt $A$, $B$, $C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ cùng phương.
Luyện tập 3. Trong các điều kiện dưới đây, chọn điều kiện cần và đủ để một điểm $M$ nằm giữa hai điểm phân biệt $A$ và $B$.
a) $\vec{AB}$ và $\vec{AM}$ ngược hướng.
b) $\vec{MA}$ và $\vec{MB}$ cùng phương.
c) $\vec{AB}$ và $\vec{AM}$ cùng hướng.
d) $\vec{MA}$ và $\vec{MB}$ ngược hướng.
Chú ý. Ta có thể dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng như lực, vận tốc, gia tốc. Hướng của vectơ chỉ hướng của đại lượng, độ dài của vectơ thể hiện cho độ lớn của đại lượng và được lấy tỉ lệ với độ lớn của đại lượng.
Ví dụ 4. Một vật $A$ được thả chìm hoàn toàn dưới đáy một cốc chất lỏng. Biết rằng trong ba cách biểu diễn lực đẩy Archimedes (Ác-si-mét) $\vec{F}$ và trọng lực $\vec{P}$ tác động lên vật $A$ ở Hình 4.11, có một cách biểu diễn đúng.
a) b) c)
Hình 4.11
Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa trọng lượng riêng của vật $A$ và trọng lượng riêng của chất lỏng trong cốc.

Giải
Lực đẩy Archimedes và trọng lực đều tác động lên vật $A$ theo phương thẳng đứng, hai lực này cùng phương nhưng ngược hướng. Do đó, Hình 4.11a không đúng. Vật $A$ chìm xuống đáy nên trọng lực $P$ (có hướng từ trên xuống) lớn hơn lực đẩy Archimedes $F$ (có hướng từ dưới lên). Do vậy, Hình 4.11c không đúng.
Vậy hình biểu diễn đúng là Hình 4.11b. Theo đó, vector biểu diễn lực $\vec{P}$ có độ dài gấp 3 lần độ dài của vector biểu diễn lực $\vec{F}$.
Độ lớn của trọng lực và lực đẩy Archimedes tác động lên $A$ là: $|\vec{P}| = d' \cdot V$, $|\vec{F}| = d \cdot V$, trong đó $V$ ($\text{m}^3$) là thể tích của vật $A$ và $d', d$ ($\text{N/m}^3$) tương ứng là trọng lượng riêng của vật $A$ và của chất lỏng. Do $|\vec{P}| = 3|\vec{F}|$ (theo H.4.11b) nên $d' = 3d$. Vậy trọng lượng riêng của vật $A$ gấp 3 lần trọng lượng riêng của chất lỏng trong cốc.
Vận dụng. Hai ca nô $A$ và $B$ chạy trên sông với các vận tốc riêng có cùng độ lớn là 15 km/h. Tuy vậy, ca nô $A$ chạy xuôi dòng còn ca nô $B$ chạy ngược dòng. Vận tốc của dòng nước trên sông là 3 km/h.
a) Hãy thể hiện trên hình vẽ, vector vận tốc $\vec{v}$ của dòng nước và các vector vận tốc thực tế $\vec{v_a}, \vec{v_b}$ của các ca nô $A, B$.
b) Trong các vector $\vec{v}, \vec{v_a}, \vec{v_b}$, những cặp vector nào cùng phương và những cặp vector nào ngược hướng?
BÀI TẬP
4.1. Cho ba vector $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều khác $\vec{0}$. Những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều cùng hướng với $\vec{0}$;
b) Nếu $\vec{b}$ không cùng hướng với $\vec{a}$ thì $\vec{b}$ ngược hướng với $\vec{a}$;
c) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng phương với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương;
d) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.
Hình 4.12
4.2. Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vector cùng phương, các cặp vector ngược hướng và các cặp vector bằng nhau.
4.3. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là một hình bình hành khi và chỉ khi $\vec{BC} = \vec{AD}$.
4.4. Cho hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Hãy chỉ ra tập hợp $S$ gồm tất cả các vector khác $\vec{0}$, có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp ${A; B; C; D; O}$. Hãy chia tập $S$ thành các nhóm sao cho hai vector thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.
4.5. Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, hãy vẽ các vector $\vec{OA}, \vec{MN}$ với $A(1; 2)$, $M(0; -1)$, $N(3; 5)$.
a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vector trên.
b) Một vật thể khởi hành từ $M$ và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vector $\vec{v} = \vec{OA}$. Hỏi vật thể đó có đi qua $N$ hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới $N$?

Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ
THUẬT NGỮ
Tổng của hai vectơ
Hiệu của hai vectơ
Vectơ đối
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Thực hiện các phép toán cộng, trừ vectơ.
Mô tả trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác bằng vectơ.
Vận dụng vectơ trong bài toán tổng hợp lực, tổng hợp vận tốc.
Một con tàu chuyển động từ bờ bên này sang bờ bên kia của một dòng sông với vận tốc riêng không đổi. Giả sử vận tốc dòng nước là không đổi và đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng đến vận tốc thực tế của tàu. Nếu không quan tâm đến điểm đến thì cần giữ lái cho tàu tạo với bờ sông một góc bao nhiêu để tàu sang bờ bên kia được nhanh nhất?
Vận tốc thực tế của con tàu trên sông đối với bờ phụ thuộc vào vận tốc riêng của tàu (đối với dòng nước) và vận tốc của dòng nước (đối với bờ). Tương tự, một vật thường chịu tác động của nhiều lực. Ta đã biết dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng đó; bài học này xây dựng các phép toán vectơ, tương thích với việc tổng hợp vận tốc, tổng hợp và phân tích lực.
1. TỔNG CỦA HAI VECTƠ
HĐ1. Với hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ cho trước, lấy một điểm $A$ và vẽ các vectơ $\overrightarrow{AB} = \vec{a}, \overrightarrow{BC} = \vec{b}$. Lấy điểm $A'$ khác $A$ và cũng vẽ các vectơ $\overrightarrow{A'B'} = \vec{a}, \overrightarrow{B'C'} = \vec{b}$. Hỏi hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A'C'}$ có mối quan hệ gì?
Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$. Lấy một điểm $A$ tuỳ ý và vẽ $\overrightarrow{AB} = \vec{a}, \overrightarrow{BC} = \vec{b}$ (H.4.13). Khi đó vectơ $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ và được kí hiệu là $\vec{a} + \vec{b}$.
Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
Hình 4.13
HĐ2. Cho hình bình hành $ABCD$. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AC}$.

$Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì $A, B, C$, ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Quy tắc hình bình hành: Nếu $ABCD$ là mộ$

Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì $A, B, C$, ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
Quy tắc hình bình hành: Nếu $ABCD$ là một hình bình hành thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$.
HĐ3. a) Trong Hình 4.14a, hãy chỉ ra vectơ $\vec{a} + \vec{b}$ và vectơ $\vec{b} + \vec{a}$.
b) Trong Hình 4.14b, hãy chỉ ra vectơ $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$ và vectơ $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.
Với ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ tuỳ ý:
Tính chất giao hoán: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$;
Tính chất kết hợp: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$;
Tính chất của vectơ-không: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}$.
Hình 4.14
Chú ý. Do các vectơ $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$ và $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ bằng nhau, nên ta còn viết chúng dưới dạng $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ và gọi là tổng của ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$. Tương tự, ta cũng có thể viết tổng của một số vectơ mà không cần dùng các dấu ngoặc.
Ví dụ 1. Cho hình vuông $ABCD$ với cạnh có độ dài bằng 1. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD}$.
Giải
Do $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DB}$.
Vậy $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}| = |\overrightarrow{DB}| = DB = \sqrt{2}$.
Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}) + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}$.
Do đó $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD}| = |\overrightarrow{AC}| = AC = \sqrt{2}$.
Luyện tập 1. Cho hình thoi $ABCD$ với cạnh có độ dài bằng 1 và $\widehat{BAD} = 120^{\circ}$. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BA}$.
2. HIỆU CỦA HAI VECTƠ
Hai đội kéo co bất phân thắng bại!
HĐ4. Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vectơ để biểu diễn hai lực cân bằng thì hai vectơ này có mối quan hệ gì với nhau?
Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\vec{a}$. Vectơ đối của $\vec{a}$ được kí hiệu là $-\vec{a}$.
Vectơ $\vec{0}$ được coi là vectơ đối của chính nó.
Chú ý. Hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng $\vec{0}$.

$Vector $\vec{a} + (-\vec{b})$ được gọi là hiệu của hai vector $\vec{a}$ và $\vec{b}$ và được kí hiệu là $\vec{a} - \vec{b}$. Phép lấy hiệu hai vector được gọi l$

Vector $\vec{a} + (-\vec{b})$ được gọi là hiệu của hai vector $\vec{a}$ và $\vec{b}$ và được kí hiệu là $\vec{a} - \vec{b}$. Phép lấy hiệu hai vector được gọi là phép trừ vector.
Chú ý. Nếu $\vec{b} + \vec{c} = \vec{a}$ thì $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{c} + \vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{c} + \vec{0} = \vec{c}$.
Với ba điểm $O, M, N$ tuỳ ý, ta có $\overline{MN} = \overline{MO} + \overline{ON} = (-\overline{OM}) + \overline{ON} = \overline{ON} - \overline{OM}$.
Quy tắc hiệu: Với ba điểm $O, M, N$, ta có $\overline{MN} = \overline{ON} - \overline{OM}$.
Ví dụ 2. Cho hình bình hành $ABCD$ và một điểm $O$ bất kì.
Chứng minh rằng $\overline{OB} - \overline{OA} = \overline{OC} - \overline{OD}$.
Giải
Áp dụng quy tắc hiệu, ta có $\overline{OB} - \overline{OA} = \overline{AB}, \overline{OC} - \overline{OD} = \overline{DC}$.
Mặt khác $\overline{AB} = \overline{DC}$ nên $\overline{OB} - \overline{OA} = \overline{OC} - \overline{OD}$.
Ví dụ 3. a) Chứng minh rằng nếu $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ thì $\overline{IA} + \overline{IB} = \vec{0}$.
b) Chứng minh rằng nếu $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì $\overline{GA} + \overline{GB} + \overline{GC} = \vec{0}$.
Giải
a) (H.4.15) Khi $I$ là trung điểm của $AB$, thì hai vector $\overline{IA}$ và $\overline{IB}$ có cùng độ dài và ngược hướng. Do đó, $\overline{IA}$ và $\overline{IB}$ đối nhau, suy ra $\overline{IA} + \overline{IB} = \vec{0}$.
Hình 4.15
b) (H.4.16) Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ thuộc trung tuyến $AI$ và $GA = 2GI$. Lấy điểm $D$ đối xứng với $G$ qua $I$. Khi đó tứ giác $GBDC$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là một hình bình hành. Ta có $GA = 2GI = GD$.
Hai vector $\overline{GA}$ và $\overline{GD}$ có cùng độ dài và ngược hướng nên chúng là hai vector đối nhau, do đó $\overline{GA} + \overline{GD} = \vec{0}$.
Trong hình bình hành $GBDC$, ta có $\overline{GB} + \overline{GC} = \overline{GD}$.
Vậy $\overline{GA} + \overline{GB} + \overline{GC} = \overline{GA} + \overline{GD} = \vec{0}$.
Hình 4.16
Luyện tập 2. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, CD$ và $O$ là trung điểm của $MN$. Chứng minh rằng $\overline{OA} + \overline{OB} + \overline{OC} + \overline{OD} = \vec{0}$.
Chú ý. Phép cộng vector tương ứng với các quy tắc tổng hợp lực, tổng hợp vận tốc:
Nếu hai lực cùng tác động vào chất điểm $A$ và được biểu diễn bởi các vector $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ thì hợp lực tác động vào $A$ được biểu diễn bởi vector $\vec{u_1} + \vec{u_2}$.
Nếu một con thuyền di chuyển trên sông với vận tốc riêng (vận tốc so với dòng nước) được biểu diễn bởi vector $\vec{v_r}$ và vận tốc của dòng nước (so với bờ) được biểu diễn bởi vector $\vec{v_n}$ thì vận tốc thực tế của thuyền (so với bờ) được biểu diễn bởi vector $\vec{v_r} + \vec{v_n}$.
Trong Vật lí, trọng tâm của một vật là điểm đặt của trọng lực tác dụng lên vật đó. Đối với một vật mỏng hình đa giác $A_1A_2...A_n$ thì trọng tâm của nó là điểm $G$ thoả mãn $\overline{GA_1} + \overline{GA_2} + ... + \overline{GA_n} = \vec{0}$.

$Ví dụ 4. Hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu. Giải Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song $d_1, d_2$ (H.4.17). Giả sử tàu xuất phát từ $A \i$

Ví dụ 4. Hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Giải
Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song $d_1, d_2$ (H.4.17). Giả sử tàu xuất phát từ $A \in d_1$ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ góc $\alpha$. Gọi $\vec{v_r}$ và $\vec{v_n}$ lần lượt là vectơ vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi M, N là các điểm sao cho $\vec{v_r} = \vec{AM}, \vec{v_n} = \vec{MN}$.
Khi đó tàu chuyển động với vectơ vận tốc thực tế là $\vec{v} = \vec{v_r} + \vec{v_n} = \vec{AM} + \vec{MN} = \vec{AN}$.
Gọi B, C tương ứng là giao điểm của AN, AM với $d_2$. Tàu chuyển động thẳng từ A đến B với vectơ vận tốc thực tế $\vec{AN}$, do đó thời gian cần thiết để tàu sang được bờ $d_2$ là $\frac{AB}{AN} = \frac{AC}{AM}$.
Mặt khác, $AM = |\vec{v_r}|$ không đổi nên $\frac{AC}{AM}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow AC$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow AC \perp d_2 \Leftrightarrow AM \perp d_2$.
Vậy để tàu sang được bờ bên kia nhanh nhất, ta cần giữ bánh lái để tàu luôn vuông góc với bờ.
Hình 4.17
Vận dụng. Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng 22 148 N (ứng với khối lượng xấp xỉ 2 260 kg) lên một con dốc nghiêng $30^\circ$ so với phương nằm ngang (H.4.18). Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100 N, thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo?
Hình 4.18
Chú ý. Ta coi khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực $\vec{P}$ (có độ lớn $|\vec{P}| = 22,148$ N, có phương vuông góc với phương nằm ngang và hướng xuống dưới), phản lực $\vec{w}$ (có độ lớn $|\vec{w}| = |\vec{P}|\cos30^\circ$, có phương vuông góc với mặt dốc và hướng lên trên) và lực kéo $\vec{F}$ (theo phương dốc, hướng từ chân dốc lên đỉnh dốc).
BÀI TẬP
4.6. Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:
a) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{0}$;
b) $\vec{AC} - \vec{AD} = \vec{BC} - \vec{BD}$.
4.7. Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để $\vec{BM} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\vec{CD}$ và $\vec{CM}$.
4.8. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ $\vec{AB} - \vec{AC}$, $\vec{AB} + \vec{AC}$.
4.9. Hình 4.19 biểu diễn hai lực $\vec{F_1}, \vec{F_2}$ cùng tác động lên một vật, cho $|\vec{F_1}| = 3$ N, $|\vec{F_2}| = 2$ N. Tính độ lớn của hợp lực $\vec{F_1} + \vec{F_2}$.
Hình 4.19
4.10. Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này để sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn được giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước?

Bài 9. Tích của một vectơ với một số THUẬT NGỮ Tích của vectơ với một số Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương KIẾN THỨC, KĨ NĂNG Thực hiện phép

$HD2. Trên một trục số, gọi $O, A, M, N$ tương ứng biểu diễn các số $0; 1; \sqrt{2}; -\sqrt{2}$. Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vectơ $\overright$

HD2. Trên một trục số, gọi $O, A, M, N$ tương ứng biểu diễn các số $0; 1; \sqrt{2}; -\sqrt{2}$. Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vectơ $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ với vectơ $\vec{a} = \overrightarrow{OA}$. Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{OA}$.
Hình 4.22
Mối quan hệ giữa $\overrightarrow{ON}$ và $\overrightarrow{OA}$ được thể hiện bởi đẳng thức nào?
Hình 4.23
Tích của một vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ với một số thực $k < 0$ là một vectơ, kí hiệu là $k\vec{a}$, ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ và có độ dài bằng $(-k)|\vec{a}|$.
Chú ý. Ta quy ước $k\vec{a} = \vec{0}$ nếu $\vec{a} = \vec{0}$ hoặc $k = 0$.
Trong Hình 4.24, hai trung tuyến $AM$ và $BN$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $G$.
Ta có $\overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GM}, \overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
Hình 4.24
Nhận xét. Vectơ $k\vec{a}$ có độ dài bằng $|k||\vec{a}|$ và cùng hướng với $\vec{a}$ nếu $k \ge 0$, ngược hướng với $\vec{a}$ nếu $\vec{a} \neq \vec{0}$ và $k < 0$.
$\vec{-a}$ và $(-1)\vec{a}$ có mối quan hệ gì?
Phép lấy tích của vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với một số (hay phép nhân một số với vectơ).
Ví dụ 1. Chứng minh rằng hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ($\vec{b} \neq \vec{0}$) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số $k$ để $\vec{a} = k\vec{b}$.
Giải
Thật vậy, nếu $\vec{a} = k\vec{b}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.
Ngược lại, giả sử $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương, ta lấy $k = \frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$ nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng và lấy $k = -\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$ nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng. Khi đó $\vec{a} = k\vec{b}$.
Luyện tập 1. Cho đường thẳng $d$ đi qua hai điểm phân biệt $A$ và $B$ (H.4.25). Những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$ khi và chỉ khi tồn tại số $t$ để $\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}$.
b) Với điểm $M$ bất kì, ta luôn có $\overrightarrow{AM} = \frac{AM}{AB}\overrightarrow{AB}$.
c) Điểm $M$ thuộc tia đối của tia $AB$ khi và chỉ khi tồn tại số $t \le 0$ để $\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}$.
Hình 4.25

$2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ HD3. Với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và hai số thực $k, t$, những khẳng định nào sau đây là đúng? a) Hai vectơ $k(t\v$

2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ
HD3. Với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và hai số thực $k, t$, những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Hai vectơ $k(t\vec{u})$ và $(kt)\vec{u}$ có cùng độ dài bằng $|kt||\vec{u}|$.
b) Nếu $kt \ge 0$ thì cả hai vectơ $k(t\vec{u}), (kt)\vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$.
c) Nếu $kt < 0$ thì cả hai vectơ $k(t\vec{u}), (kt)\vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$.
d) Hai vectơ $k(t\vec{u})$ và $(kt)\vec{u}$ bằng nhau.
B
C
M
A
$\vec{v}$
$\vec{u}$
Hình 4.26
HD4. Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vectơ $3(\vec{u} + \vec{v})$ và $3\vec{u} + 3\vec{v}$. Từ đó, nêu mối quan hệ giữa $3(\vec{u} + \vec{v})$ và $3\vec{u} + 3\vec{v}$.
Với hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ và hai số thực $k, t$, ta luôn có:
$k(t\vec{a}) = (kt)\vec{a}$;
$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$; $k(\vec{a} - \vec{b}) = k\vec{a} - k\vec{b}$;
$(k + t)\vec{a} = k\vec{a} + t\vec{a}$;
$1\vec{a} = \vec{a}$; $(-1)\vec{a} = -\vec{a}$.
Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng $AB$ có trung điểm $I$. Chứng minh rằng với điểm $O$ tuỳ ý, ta có $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OI}$.
Giải
Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$ (Ví dụ 3a, Bài 8).
Do đó $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = (\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IA}) + (\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IB}) = 2\overrightarrow{OI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) = 2\overrightarrow{OI}$.
Luyện tập 2. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Chứng minh rằng với điểm $O$ tuỳ ý, ta có $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$.
Nhận xét
Điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$.
Điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$.
Luyện tập 3. Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$, tức là tìm các số $x, y, z, t$ để $\vec{u} = x\vec{a} + y\vec{b}, \vec{v} = t\vec{a} + z\vec{b}$.
$\vec{v}$
$\vec{u}$
$\vec{b}$
$\vec{a}$
Hình 4.27
Chú ý. Cho hai vectơ không cùng phương $\vec{a}, \vec{b}$ (H.4.28). Khi đó, mọi vectơ $\vec{u}$ đều biểu thị (phân tích) được một cách duy nhất theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$, nghĩa là có duy nhất cặp số $(x; y)$ sao cho $\vec{u} = x\vec{a} + y\vec{b}$.
$\vec{u}$
$\vec{u}$
$\vec{b}$
$\vec{a}$
Hình 4.28

$Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$. Hãy xác định điểm $M$ để $\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \vec{0}$. Giải (H.4.29) Hình 4.29 Để$

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$. Hãy xác định điểm $M$ để $\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \vec{0}$.
Giải (H.4.29)
Hình 4.29
Để xác định vị trí của $M$, trước hết ta biểu thị $\overrightarrow{AM}$ (với gốc $A$ đã biết) theo hai vectơ đã biết $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$.
Đẳng thức vectơ đã cho tương đương với: $\overrightarrow{MA} + 3(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}) + 2(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC}) = \vec{0}$
$\Leftrightarrow 6\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} = \vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
Lấy điểm $E$ là trung điểm của $AB$ và điểm $F$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $AF = \frac{1}{3}AC$.
Khi đó $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Vì vậy $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AF}$.
Suy ra $M$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $EAFM$.
Ta trở lại vấn đề đã được nêu trong phần đầu bài học. Điểm khối tâm $M$ của hệ các chất điểm $A_1, A_2, ..., A_n$ với các khối lượng tương ứng $m_1, m_2, ..., m_n$ được xác định bởi đẳng thức vectơ
$m_1\overrightarrow{MA_1} + m_2\overrightarrow{MA_2} + \cdots + m_n\overrightarrow{MA_n} = \vec{0}.$
Vì vậy, việc xác định điểm khối tâm được quy về việc xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ tương ứng.
BÀI TẬP
4.11. Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Hãy biểu thị $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$.
4.12. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $AB, CD$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$.
4.13. Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$.
a) Hãy xác định điểm $K$ sao cho $\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \vec{0}$.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm $O$, ta có $\overrightarrow{OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$.
4.14. Cho tam giác $ABC$.
a) Hãy xác định điểm $M$ để $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \vec{0}$.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm $O$, ta có $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OM}$.

$4.15. Chất điểm $A$ chịu tác động của ba lực $\overrightarrow {{F}1},\overrightarrow {{F}2},\overrightarrow {{F}3}$ như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức$

4.15. Chất điểm $A$ chịu tác động của ba lực $\overrightarrow {{F}1},\overrightarrow {{F}2},\overrightarrow {{F}3}$ như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là $\overrightarrow {{F}{1}}+\overrightarrow {{F}{2}}+\overrightarrow {{F}{3}}=\overrightarrow {0}$). Tính độ lớn của các lực $\overrightarrow {{F}_2},\overrightarrow {{F}_3}$, biết $\overrightarrow {{F}_1}$ có độ lớn là 20 N.
Hình 4.30
Em có biết?
Mặc dù dựa vào lực đẩy của gió, bằng cách đi theo đường dích dắc, thuyền buồm vẫn có thể di chuyển tới một vị trí ở ngược hướng gió so với vị trí xuất phát.
Đích
Gió
Phương cánh buồm
Vị trí xuất phát
Ta hãy dùng kiến thức về vector để phân tích các lực chính tác động tới sự chuyển động của thuyền buồm trong trường hợp này. Lực $\vec{F}$ do gió tác động vào cánh buồm được phân tích thành lực $\vec{p}$ cùng phương với cánh buồm và lực $\vec{q}$ vuông góc với cánh buồm. Do cánh buồm mỏng nên lực $\vec{p}$ chỉ trượt đi mà không tác động lên cánh buồm. Ta lại phân tích lực $\vec{q}$ thành lực $\vec{a}$ cùng phương với sống thuyền và lực $\vec{b}$ có phương vuông góc với sống thuyền. Thuyền buồm có sống thuyền sâu (mũi nhọn) nên nó chịu một lực cản $\vec{b'}$ đáng kể của nước, vuông góc với sống thuyền. Người ta điều chỉnh hướng thuyền (hướng sống thuyền), phương của cánh buồm để lực cản $\vec{b'}$ của nước (lực này không phụ thuộc vào sự điều chỉnh) thẳng lực $\vec{b}$ (có thể điều chỉnh độ lớn). Cuối cùng, dưới tác động của lực $\vec{a}$ thuyền di chuyển và sau một khoảng thời gian, nó lại được điều chỉnh hướng, để đi đến đích theo đường dích dắc.

Bài 10. Vectơ trong mặt phẳng toạ độ
THUẬT NGỮ
Mặt phẳng toạ độ
Toạ độ của vectơ
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết toạ độ của vectơ và thể hiện các phép toán vectơ theo toạ độ.
Thể hiện mối quan hệ giữa các vectơ thông qua toạ độ của chúng.
Ứng dụng của toạ độ vectơ trong bài toán xác định vị trí của vật trên mặt phẳng toạ độ.
Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện đường đi trong 12 giờ của một cơn bão trên một mặt phẳng toạ độ. Trong khoảng thời gian đó, tâm bão di chuyển thẳng đều từ vị trí có toạ độ $(13,8; 108,3)$ đến vị trí có toạ độ $(14,1; 106,3)$. Dựa vào thông tin trên, liệu ta có thể dự đoán được vị trí của tâm bão tại thời điểm bất kì trong khoảng thời gian 12 giờ đó hay không?
Hình 4.31. Ta có thể dùng một phần mặt phẳng toạ độ để mô tả một phạm vi nhất định trên Trái Đất mà vị trí $x^{\circ}$ vĩ bắc, $y^{\circ}$ kinh đông của tâm bão được thể hiện bởi điểm có toạ độ (x; y).
Trong bài học này, ta gán cho mỗi vectơ trên mặt phẳng toạ độ một cặp số để có thể làm việc với vectơ thông qua cặp số đó.
1. TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ
HĐ1. Trên trục số Ox, gọi A là điểm biểu diễn số 1 và đặt $\overrightarrow{OA} = \vec{i}$ (H.4.32a). Gọi M là điểm biểu diễn số 4, N là điểm biểu diễn số $-\frac{3}{2}$. Hãy biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ theo vectơ $\vec{i}$.
Dùng vectơ, ta có thể diễn đạt lại trục số như sau:
Trục toạ độ (còn gọi là trục, hay trục số) là một đường thẳng mà trên đó đã xác định một điểm O và một vectơ $\vec{i}$ có độ dài bằng 1. Điểm O gọi là gốc toạ độ, vectơ $\vec{i}$ gọi là vectơ đơn vị của trục. Điểm M trên trục biểu diễn số $x_0$ nếu $\overrightarrow{OM} = x_0\vec{i}$ (H.4.32b).
a)
b)
Hình 4.32

$HĐ2. Trong Hình 4.33: a) Hãy biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$. b) Hãy biểu thị vectơ $\overrighta$

HĐ2. Trong Hình 4.33:
a) Hãy biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$.
b) Hãy biểu thị vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo các vectơ $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$, từ đó biểu thị vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$.
Hình 4.33
Trên mặt phẳng với một đơn vị đo độ dài cho trước, xét hai trục $Ox, Oy$ có chung gốc $O$ và vuông góc với nhau. Kí hiệu vectơ đơn vị của trục $Ox$ là $\vec{i}$, vectơ đơn vị của trục $Oy$ là $\vec{j}$. Hệ gồm hai trục $Ox, Oy$ như vậy được gọi là hệ trục toạ độ $Oxy$. Điểm $O$ gọi là gốc toạ độ, trục $Ox$ gọi là trục hoành, trục $Oy$ gọi là trục tung. Mặt phẳng chứa hệ trục toạ độ $Oxy$ gọi là mặt phẳng toạ độ $Oxy$ hay mặt phẳng $Oxy$ (H.4.34).
Với mỗi vectơ $\vec{u}$ trên mặt phẳng $Oxy$, có duy nhất cặp số $(x_0; y_0)$ sao cho $\vec{u} = x_0\vec{i} + y_0\vec{j}$. Ta nói vectơ $\vec{u}$ có toạ độ $(x_0; y_0)$ và viết $\vec{u} = (x_0; y_0)$ hay $\vec{u}(x_0; y_0)$. Các số $x_0, y_0$ tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của $\vec{u}$.
Hình 4.34
Nhận xét. Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng toạ độ.
$$ \vec{u}(x; y) = \vec{v}(x'; y') \Leftrightarrow \begin{cases} x = x' \ y = y' \end{cases} $$
Ví dụ 1. Tìm toạ độ của các vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}$ tương ứng của các trục $Ox, Oy$.
Giải
Vì $\vec{i} = 1\vec{i} + 0\vec{j}$ nên $\vec{i}$ có toạ độ là $(1; 0)$.
Vì $\vec{j} = 0\vec{i} + 1\vec{j}$ nên $\vec{j}$ có toạ độ là $(0; 1)$.
Luyện tập 1. Tìm toạ độ của $\vec{0}$.
2. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
HĐ3. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho $\vec{u} = (2; -3)$, $\vec{v} = (4; 1)$, $\vec{a} = (8; -12)$.
a) Hãy biểu thị mỗi vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{a}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$.
b) Tìm toạ độ của các vectơ $\vec{u} + \vec{v}, 4\vec{u}$.
c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{a}$.
Cho hai vectơ $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x'; y')$. Khi đó:
• $\vec{u} + \vec{v} = (x + x'; y + y')$;
• $\vec{u} - \vec{v} = (x - x'; y - y')$;
• $k\vec{u} = (kx; ky)$, với $k \in \mathbb{R}$.

$Ví dụ 2. Cho $\vec{a}=(1 ; 2), \vec{b}=\left(\frac{3}{2} ; 3\right)$. a) Tìm tọa độ của $\vec{a}+\vec{b}, \vec{a}-2 \vec{b}$. b) Hỏi $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có c$

Ví dụ 2. Cho $\vec{a}=(1 ; 2), \vec{b}=\left(\frac{3}{2} ; 3\right)$.
a) Tìm tọa độ của $\vec{a}+\vec{b}, \vec{a}-2 \vec{b}$.
b) Hỏi $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có cùng phương hay không?
Giải
a) Vì $\vec{a}=(1 ; 2), \vec{b}=\left(\frac{3}{2} ; 3\right)$ nên $\vec{a}+\vec{b}=\left(\frac{5}{2} ; 5\right)$.
Ta có $2 \vec{b}=(3 ; 6)$ nên $\vec{a}-2 \vec{b}=(-2 ;-4)$.
b) Do $\frac{3}{2} \vec{a}=\left(\frac{3}{2} ; 3\right)=\vec{b}$ nên hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.
Nhận xét. Vectơ $\vec{v}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$ cùng phương với vectơ $\vec{u}(x ; y) \neq \overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi tồn tại số $k$ sao cho $x^{\prime}=k x, y^{\prime}=k y$ (hay là $\frac{x^{\prime}}{x}=\frac{y^{\prime}}{y}$ nếu $x y \neq 0$).
HĐ4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $M\left(x_{0} ; y_{0}\right)$.
Gọi $P, Q$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục hoành Ox và trục tung Oy (H.4.35).
a) Trên trục Ox, điểm $P$ biểu diễn số nào? Biểu thị $\overrightarrow{O P}$ theo $\vec{i}$ và tính độ dài của $\overrightarrow{O P}$ theo $x_{0}$.
b) Trên trục Oy, điểm $Q$ biểu diễn số nào? Biểu thị $\overrightarrow{O Q}$ theo $\vec{j}$ và tính độ dài của $\overrightarrow{O Q}$ theo $y_{0}$.
c) Dựa vào hình chữ nhật $OPMQ$, tính độ dài của $\overrightarrow{O M}$ theo $x_{0}, y_{0}$.
d) Biểu thị $\overrightarrow{O M}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$.
Hình 4.35
Nếu điểm $M$ có tọa độ $(x ; y)$ thì vectơ $\overrightarrow{O M}$ có tọa độ $(x ; y)$ và độ dài $|\overrightarrow{O M}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.
Nhận xét. Với vectơ $\vec{u}=(x ; y)$, ta lấy điểm $M(x ; y)$ thì $\vec{u}=\overrightarrow{O M}$. Do đó, $|\vec{u}|=|\overrightarrow{O M}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.
Chẳng hạn, vectơ $\vec{u}=(2 ;-1)$ có độ dài là $|\vec{u}|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{5}$.
HĐ5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm $M(x ; y)$ và $N\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$.
a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{O M}, \overrightarrow{O N}$.
b) Biểu thị vectơ $\overrightarrow{M N}$ theo các vectơ $\overrightarrow{O M}, \overrightarrow{O N}$ và tìm tọa độ của $\overrightarrow{M N}$.
c) Tìm độ dài của vectơ $\overrightarrow{M N}$.

$Với hai điểm $M(x; y)$ và $N(x'; y')$ thì $\overrightarrow{MN} = (x' - x; y' - y)$ và khoảng cách giữa hai điểm $M, N$ là $MN = |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(x$

Với hai điểm $M(x; y)$ và $N(x'; y')$ thì $\overrightarrow{MN} = (x' - x; y' - y)$ và khoảng cách giữa hai điểm $M, N$ là $MN = |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(x' - x)^2 + (y' - y)^2}$.
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm $A(1; -2), B(3; 2), C(7; 4)$.
a) Tìm toạ độ của các vectơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}$. So sánh các khoảng cách từ $B$ tới $A$ và $C$.
b) Ba điểm $A, B, C$ có thẳng hàng hay không?
c) Tìm điểm $D(x; y)$ để $ABCD$ là một hình thoi.
Giải
a) Ta có $\overrightarrow{AB} = (3 - 1; 2 - (-2)) = (2; 4), \overrightarrow{BC} = (7 - 3; 4 - 2) = (4; 2)$.
Các khoảng cách từ $B$ tới $A$ và $C$ lần lượt là:
$$AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}; BC = |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}.$$
Do đó các khoảng cách này bằng nhau.
b) Hai vectơ $\overrightarrow{AB} = (2; 4), \overrightarrow{BC} = (4; 2)$ không cùng phương (vì $\frac{2}{4} \neq \frac{4}{2}$). Do đó các điểm $A, B, C$ không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.
c) Các điểm $A, B, C$ không thẳng hàng và $BA = BC$ nên $ABCD$ là một hình thoi khi và chỉ khi $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.
Hình 4.36
Do $\overrightarrow{AD} = (x - 1; y + 2), \overrightarrow{BC} = (4; 2)$ nên
$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \begin{cases} x - 1 = 4 \ y + 2 = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 5 \ y = 0. \end{cases}$
Vậy điểm cần tìm là $D(5; 0)$.
Luyện tập 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm $A(2; 1), B(3; 3)$.
a) Các điểm $O, A, B$ có thẳng hàng hay không?
b) Tìm điểm $M(x; y)$ để $OABM$ là một hình bình hành.
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng:
$$A(1; 3), B(-2; 6), C(5; 1).$$
a) Tìm toạ độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$.
b) Tìm toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

$Giải a) (H.4.37) Điểm $I(x; y)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$ (*). Hình 4.37 Mặt khác $$

Giải
a) (H.4.37) Điểm $I(x; y)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$ (*).
Hình 4.37
Mặt khác $\overrightarrow{IA} = (1 - x; 3 - y)$, $\overrightarrow{IB} = (-2 - x; 6 - y)$, $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = (-1 - 2x; 9 - 2y)$.
Do đó, (*) tương đương với $\begin{cases} -1 - 2x = 0 \ 9 - 2y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -\frac{1}{2} \ y = \frac{9}{2}. \end{cases}$
Vậy $I\left(-\frac{1}{2}; \frac{9}{2}\right)$.
b) Điểm $G(x; y)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$ (**).
Mặt khác
$\overrightarrow{GA} = (1 - x; 3 - y)$, $\overrightarrow{GB} = (-2 - x; 6 - y)$, $\overrightarrow{GC} = (5 - x; 1 - y)$,
$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = (4 - 3x; 10 - 3y)$.
Do đó, (**) tương đương với $\begin{cases} 4 - 3x = 0 \ 10 - 3y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{4}{3} \ y = \frac{10}{3}. \end{cases}$
Vậy $G\left(\frac{4}{3}; \frac{10}{3}\right)$.
Chú ý
• Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ có toạ độ là $\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$.
• Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có toạ độ là $\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$.
Vận dụng. Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định toạ độ vị trí $M$ của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.
Chú ý. Để thể hiện một phần Trái Đất trên một bản đồ phẳng người ta dùng một phép chiếu bản đồ, với độ sai khác nhất định giữa bản vẽ và thực địa (thường được quy định với từng loại bản đồ). Về nguyên tắc, phạm vi thể hiện càng hẹp thì càng chính xác. Trong vận dụng này, ta chỉ tính toán trong phạm vi một đoạn đường đi ngắn của tâm bão.
Trong 12 giờ, tâm bão được dự báo di chuyển thẳng đều từ $A(13,8; 108,3)$ tới $B(14,1; 106,3)$. Gọi toạ độ của $M$ là $(x; y)$. Bạn hãy tìm mối liên hệ giữa hai vector $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ rồi thể hiện mối quan hệ đó theo toạ độ để tìm $x; y$.

BÀI TẬP 4.16. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho các điểm $M(1; 3)$, $N(4; 2)$. a) Tính độ dài của các đoạn thẳng $OM$, $ON$, $MN$. b) Chứng minh rằng tam giác $

Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ
THUẬT NGỮ
Góc giữa hai vecto
Tích vô hướng của hai vecto
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Tính góc, tích vô hướng của hai vecto trong những trường hợp cụ thể.
Công thức toạ độ của tích vô hướng, tính chất của tích vô hướng.
Liên hệ khái niệm tích vô hướng với khái niệm công trong Vật lí.
Toán học cung cấp ngôn ngữ và công cụ cho nhiều ngành khoa học. Trong các bài học trước, ta đã dùng vecto để biểu diễn các đại lượng lực, vận tốc và dùng phép toán vecto để tính hợp lực và tổng hợp vận tốc. Bài học này tiếp tục xây dựng khái niệm tích vô hướng giữa hai vecto – đối tượng toán học còn được dùng để định nghĩa khái niệm công sinh bởi một lực trong Vật lí.
1. GÓC GIỮA HAI VECTO
HD1. Trong Hình 4.39, số đo góc $BAC$ cũng được gọi là số đo góc giữa hai vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Hãy tìm số đo các góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$.
Hình 4.39
Cho hai vecto $\vec{u}$ và $\vec{v}$ khác $\vec{0}$. Từ một điểm $A$ tuỳ ý, vẽ các vecto $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ và $\overrightarrow{AC} = \vec{v}$ (H.4.40). Khi đó, số đo của góc $BAC$ được gọi là số đo góc giữa hai vecto $\vec{u}$ và $\vec{v}$ hay đơn giản là góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$, kí hiệu là $(\vec{u}, \vec{v})$.
Hình 4.40
Chú ý
Quy ước rằng góc giữa hai vecto $\vec{u}$ và $\vec{0}$ có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ $0^{\circ}$ đến $180^{\circ}$.
Nếu $(\vec{u}, \vec{v}) = 90^{\circ}$ thì ta nói rằng $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau, kí hiệu là $\vec{u} \perp \vec{v}$ hoặc $\vec{v} \perp \vec{u}$.
Khi nào thì góc giữa hai vecto bằng $0^{\circ}$, bằng $180^{\circ}$?
Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $\widehat{B} = 30^{\circ}$. Tính $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}), (\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}), (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC})$.
Giải (H.4.41)
Ta có: $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \widehat{BAC} = 90^{\circ}$, $(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}) = \widehat{ACB} = 60^{\circ}$, $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) = (\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BC}) = \widehat{DBC} = 150^{\circ}$.
Hình 4.41
Luyện tập 1. Cho tam giác đều $ABC$. Tính $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC})$.

$2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTOR Hình 4.42 Trong Vật lí, nếu lực $\vec{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ $M$ tới $N$, t$

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTOR
Hình 4.42
Trong Vật lí, nếu lực $\vec{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ $M$ tới $N$, thì công $A$ của lực $\vec{F}$ được tính theo công thức: $A = |\vec{F}| \cdot |\overline{MN}| \cdot \cos(\vec{F}, \overline{MN})$, trong đó $|\vec{F}|$ là độ lớn của lực $\vec{F}$ (theo đơn vị Newton);
$|\overline{MN}|$ là độ dài của vector $\overline{MN}$ (theo đơn vị mét);
$(\vec{F}, \overline{MN})$ là góc giữa hai vector $\vec{F}$ và $\overline{MN}$.
Toán học gọi giá trị $A$ (không kể đơn vị đo) trong biểu thức nói trên là tích vô hướng của hai vector $\vec{F}$ và $\overline{MN}$.
Tích vô hướng của hai vector $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là một số, kí hiệu $\vec{u} \cdot \vec{v}$, được xác định bởi công thức sau:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v}).$
Khi nào thì tích vô hướng của hai vector khác vector-không $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương? Là một số âm?
Chú ý
$\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0.$
$\vec{u} \cdot \vec{u}$ còn được viết là $\vec{u}^2$ và được gọi là bình phương vô hướng của vector $\vec{u}$. Ta có $\vec{u}^2 = |\vec{u}| \cdot |\vec{u}| \cdot \cos 0^\circ = |\vec{u}|^2$.
Bình phương vô hướng của một vector bằng bình phương độ dài của vector đó.
Khi nào thì $(\vec{u} \cdot \vec{v})^2 = \vec{u}^2 \cdot \vec{v}^2$ ?
Ví dụ 2. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$.
Tính các tích vô hướng sau: $\overline{AB} \cdot \overline{AD}$, $\overline{AB} \cdot \overline{AC}$, $\overline{AB} \cdot \overline{BD}$.
Giải. Vì $(\overline{AB}, \overline{AD}) = 90^\circ$ nên $\overline{AB} \cdot \overline{AD} = 0$.
Hình vuông có cạnh bằng $a$ nên có đường chéo bằng $a\sqrt{2}$.
Mặt khác, $(\overline{AB}, \overline{AC}) = 45^\circ$, $(\overline{AB}, \overline{BD}) = 135^\circ$, do đó
$\overline{AB} \cdot \overline{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2;$
$\overline{AB} \cdot \overline{BD} = AB \cdot BD \cdot \cos 135^\circ = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -a^2.$
Hình 4.43
Luyện tập 2. Cho tam giác $ABC$ có $BC = a$, $CA = b$, $AB = c$.
Hãy tính $\overline{AB} \cdot \overline{AC}$ theo $a$, $b$, $c$.
Hãy nhớ lại định lí côsin.

$3. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HĐ2. Cho hai vectơ cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (kx; ky)$. Hãy kiểm tra công thức $\vec{u} \c$

3. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
HĐ2. Cho hai vectơ cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (kx; ky)$. Hãy kiểm tra công thức $\vec{u} \cdot \vec{v} = k(x^2 + y^2)$ theo từng trường hợp sau:
a) $\vec{u} = \vec{0}$;
b) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \ge 0$;
c) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k < 0$.
HĐ3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x'; y')$.
a) Xác định toạ độ của các điểm A và B sao cho $\overrightarrow{OA} = \vec{u}, \overrightarrow{OB} = \vec{v}$.
b) Tính $AB^2, OA^2, OB^2$ theo toạ độ của A và B.
c) Tính $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ theo toạ độ của A, B.
Đề ý rằng, theo định lí côsin, ta có:
$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \frac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2}$$
Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x'; y')$ được tính theo công thức:
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'.$$
Nhận xét
Hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $xx' + yy' = 0$.
Bình phương vô hướng của $\vec{u}(x; y)$ là $\vec{u}^2 = x^2 + y^2$.
Nếu $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $\vec{v} \neq \vec{0}$ thì $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{xx' + yy'}{\sqrt{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{x'^2 + y'^2}}$.
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tính tích vô hướng của các cặp vectơ sau:
a) $\vec{u} = (2; -3)$ và $\vec{v} = (5; 3)$;
b) Hai vectơ đơn vị $\vec{i}$ và $\vec{j}$ tương ứng của các trục Ox, Oy.
Giải
a) Ta có: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 5 + (-3) \cdot 3 = 10 - 9 = 1$.
b) Vì $\vec{i} = (1; 0)$ và $\vec{j} = (0; 1)$ nên $\vec{i} \cdot \vec{j} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.
Luyện tập 3. Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (0; -5), \vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$.
HĐ4. Cho ba vectơ $\vec{u} = (x_1; y_1), \vec{v} = (x_2; y_2), \vec{w} = (x_3; y_3)$.
a) Tính $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}), \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ theo toạ độ của các vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$.
b) So sánh $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$.
c) So sánh $\vec{u} \cdot \vec{v}$ và $\vec{v} \cdot \vec{u}$.

$Tính chất của tích vô hướng Với ba vectơ $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ bất kì và mọi số thực $k$, ta có: $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ (tính$

Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ bất kì và mọi số thực $k$, ta có:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ (tính chất giao hoán);
$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ (tính chất phân phối đối với phép cộng);
$(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v}) = \vec{u} \cdot (k\vec{v})$.
Chú ý. Từ các tính chất trên, ta có thể chứng minh được:
$\vec{u} \cdot (\vec{v} - \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} - \vec{u} \cdot \vec{w}$ (tính chất phân phối đối với phép trừ);
$(\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2$; $(\vec{u} - \vec{v})^2 = \vec{u}^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2$;
$(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u}^2 - \vec{v}^2$.
Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{B} = 60^\circ$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Trên các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt lấy các điểm $P$, $Q$. Chứng minh rằng $\widehat{PMQ} = 90^\circ$ khi và chỉ khi $BP + \sqrt{3}CQ = BC$.
Giải (H.4.44)
Đặt $MB = MC = a$.
Ta có $\widehat{PMQ} = 90^\circ \Leftrightarrow \overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{MQ} = 0$
$\Leftrightarrow (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BP}) \cdot (\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CQ}) = 0$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CQ} + \overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{CQ} = 0$. (1)
Mặt khác,
$\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = MB \cdot MC \cdot \cos 180^\circ = -a^2$;
$\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CQ} = MB \cdot CQ \cdot \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}a \cdot CQ$;
$\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{MC} = BP \cdot MC \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}a \cdot BP$;
$\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{CQ} = BP \cdot CQ \cdot \cos 90^\circ = 0$.
Do đó
(1) $\Leftrightarrow -a^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}a \cdot CQ + \frac{1}{2}a \cdot BP = 0$
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}CQ + \frac{1}{2}BP - a = 0$
$\Leftrightarrow \sqrt{3}CQ + BP = 2a$
$\Leftrightarrow \sqrt{3}CQ + BP = BC$.
Ta có điều phải chứng minh.
Hình 4.44

$Luyện tập 4. Cho tam giác $ABC$ với $A(-1; 2)$, $B(8; -1)$, $C(8; 8)$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác. a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AH} \cdot \overrigh$

Luyện tập 4. Cho tam giác $ABC$ với $A(-1; 2)$, $B(8; -1)$, $C(8; 8)$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác.
a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ và $\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{CA} = 0$.
b) Tìm tọa độ của $H$.
c) Giải tam giác $ABC$.
Hình 4.45
Vận dụng. Một lực $\vec{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ $A$ đến $B$. Lực $\vec{F}$ được phân tích thành hai lực thành phần là $\vec{F_1}$ và $\vec{F_2}$ ($\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$).
a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực $\vec{F}$ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\vec{F_1}$ và $\vec{F_2}$.
b) Giả sử các lực thành phần $\vec{F_1}$, $\vec{F_2}$ tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực $\vec{F}$ và lực $\vec{F_1}$.
Hình 4.46
BÀI TẬP
4.21. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, hãy tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $\vec{a} = (-3; 1)$, $\vec{b} = (2; 6)$;
b) $\vec{a} = (3; 1)$, $\vec{b} = (2; 4)$;
c) $\vec{a} = (-\sqrt{2}; 1)$, $\vec{b} = (2; -\sqrt{2})$.
4.22. Tìm điều kiện của $\vec{u}$, $\vec{v}$ để:
a) $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$;
b) $\vec{u} \cdot \vec{v} = -|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$.
4.23. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hai điểm $A(1; 2)$, $B(-4; 3)$. Gọi $M(t; 0)$ là một điểm thuộc trục hoành.
a) Tính $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM}$ theo $t$.
b) Tìm $t$ để $\widehat{AMB} = 90^{\circ}$.
4.24. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho ba điểm không thẳng hàng $A(-4; 1)$, $B(2; 4)$, $C(2; -2)$.
a) Giải tam giác $ABC$.
b) Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$.
4.25. Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$,
$$S_{ABC} = \frac{1}{2}\sqrt{\overline{AB}^2 \cdot \overline{AC}^2 - (\overline{AB} \cdot \overline{AC})^2}.$$
4.26. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$,
$$MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2.$$

$Bài tập cuối chương IV A – TRẮC NGHIỆM 4.27. Trong mặt phẳng toạ độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương? A. $\vec{u} = (2;3)$ và $\vec{v} = \left(\frac{1}{2};$

Bài tập cuối chương IV
A – TRẮC NGHIỆM
4.27. Trong mặt phẳng toạ độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?
A. $\vec{u} = (2;3)$ và $\vec{v} = \left(\frac{1}{2};6\right)$.
B. $\vec{a} = \left(\sqrt{2};6\right)$ và $\vec{b} = \left(1;3\sqrt{2}\right)$.
C. $\vec{i} = (0;1)$ và $\vec{j} = (1;0)$.
D. $\vec{c} = (1;3)$ và $\vec{d} = (2;-6)$.
4.28. Trong mặt phẳng toạ độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?
A. $\vec{u} = (2;3)$ và $\vec{v} = (4;6)$.
B. $\vec{a} = (1;-1)$ và $\vec{b} = (-1;1)$.
C. $\vec{z} = (a;b)$ và $\vec{t} = (-b;a)$.
D. $\vec{n} = (1;1)$ và $\vec{k} = (2;0)$.
4.29. Trong mặt phẳng toạ độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?
A. $\vec{a} = (1;1)$.
B. $\vec{b} = (1;-1)$.
C. $\vec{c} = \left(2;\frac{1}{2}\right)$.
D. $\vec{d} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)$.
4.30. Góc giữa vectơ $\vec{a} = (1;-1)$ và vectơ $\vec{b} = (-2;0)$ có số đo bằng:
A. $90^{\circ}$.
B. $0^{\circ}$.
C. $135^{\circ}$.
D. $45^{\circ}$.
4.31. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c})$.
B. $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = \vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2$.
C. $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \sin(\vec{a},\vec{b})$.
D. $\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c}$.
4.32. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $a$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BD}) = 45^{\circ}$.
B. $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = a^2$.
C. $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = a^2\sqrt{2}$.
D. $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD} = -a^2$.
B – TỰ LUẬN
4.33. Trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ lấy điểm $M$ sao cho $MB = 3MC$.
a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$.
b) Biểu thị vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

$4.34. Cho hình bình hành $ABCD$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$, ta có: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}$

4.34. Cho hình bình hành $ABCD$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$, ta có:
$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}.$
4.35. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A(2;1), B(-2;5)$ và $C(-5;2)$.
a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$.
b) Chứng minh rằng $A,B,C$ là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.
c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
d) Tìm tọa độ của điểm $D$ sao cho tứ giác $BCAD$ là một hình bình hành.
4.36. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A(1;2), B(3;4), C(-1;-2)$ và $D(6;5)$.
a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$.
b) Hãy giải thích tại sao các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương.
c) Giả sử $E$ là điểm có tọa độ $(a;1)$. Tìm $a$ để các vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương.
d) Với $a$ tìm được, hãy biểu thị vectơ $\overrightarrow{AE}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.
4.37. Cho vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$. Chứng minh rằng $\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}$ (hay còn được viết là $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\vec{a}$.
4.38. Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u}$ với $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ và $\vec{a} \perp \vec{b}$. Xét một hệ trục $Oxy$ với các vectơ đơn vị $\vec{i} = \vec{a}, \vec{j} = \vec{b}$. Chứng minh rằng:
a) Vectơ $\vec{u}$ có tọa độ là $(\vec{u} \cdot \vec{a}; \vec{u} \cdot \vec{b})$.
b) $\vec{u} = (\vec{u} \cdot \vec{a})\vec{a} + (\vec{u} \cdot \vec{b})\vec{b}$.
4.39. Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng S$15^{\circ}$E (xem chú thích ở Bài 3.8, trang 42) với vận tốc có độ lớn bằng $20$ km/h. Tính độ lớn của vận tốc riêng của ca nô, biết rằng nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng $3$ km/h.

Chương V. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM "Thống kê là cơ sở của khoa học". Karl Pearson (nhà thống kê người Anh, 1857 – 1936) Bài 12. SỐ GẦN Đ

1. SỐ GẦN ĐÚNG
HĐ1. Ngày 8-12-2020, Trung Quốc và Nepal ra thông cáo chung khẳng định chiều cao mới đo được của đỉnh núi cao nhất thế giới Everest là 8 848,86 m.
(Theo Tuoitre.vn)
Trong các số được đưa ra ở tình huống mở đầu, số nào gần nhất với số được công bố ở trên?
HĐ2. Trang và Hoà thực hiện đo thể tích một cốc nước bằng hai ống đong có vạch chia được kết quả như Hình 5.1. Hãy cho biết số đo thể tích trên mỗi ống.
Trong nhiều trường hợp, ta không biết hoặc khó biết số đúng (kí hiệu là $\bar{a}$) mà chỉ tìm được giá trị khác xấp xỉ nó. Giá trị này được gọi là số gần đúng, kí hiệu là $a$.
Hình 5.1
Chẳng hạn, các số đo khác nhau về chiều cao của đỉnh Everest trong tình huống mở đầu đều là các số gần đúng.
Hãy lấy một ví dụ khác về số gần đúng.
Ví dụ 1. Gọi $d$ là độ dài đường chéo của hình vuông cạnh bằng 1. Trong hai số $\sqrt{2}$ và 1,41, số nào là số đúng, số nào là số gần đúng của $d$?
Giải
Hình vuông có cạnh bằng 1 có độ dài của đường chéo là $d = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$. Vậy $\sqrt{2}$ là số đúng; 1,41 là số gần đúng của $d$.
Luyện tập 1. Gọi $P$ là chu vi của đường tròn bán kính 1 cm. Hãy tìm một giá trị gần đúng của $P$.
Chú ý. Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tìm giá trị gần đúng của các biểu thức chứa các số vô tỉ như $\pi, \sqrt{a}, \sqrt[3]{a},...$ Chẳng hạn, dùng máy tính cầm tay để tính $2^9 \cdot \sqrt{3}$, bấm các phím như sau:
Kết quả nhận được có ba chữ số thập phân sau dấu phẩy là 886,810.
2. SAI SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI
a. Sai số tuyệt đối
HĐ3. Trong HĐ2, Hoà dùng kính lúp để quan sát mực nước trên ống đo thứ hai được hình ảnh như Hình 5.2. Kí hiệu $\bar{a}$ ($cm^3$) là số đo thể tích của nước.
Quan sát hình vẽ để so sánh $|13 - \bar{a}|$ và $|13,1 - \bar{a}|$ rồi cho biết trong hai số đo thể tích 13 $cm^3$ và 13,1 $cm^3$, số đo nào gần với thể tích của cốc nước hơn.
Hình 5.2

$Giá trị $\Delta_a = |a - \bar{a}|$ phản ánh mức độ sai lệch giữa số đúng $\bar{a}$ và số gần đúng $a$, được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng $a$. Chú ý T$

Giá trị $\Delta_a = |a - \bar{a}|$ phản ánh mức độ sai lệch giữa số đúng $\bar{a}$ và số gần đúng $a$, được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng $a$.
Chú ý
Trên thực tế, nhiều khi ta không biết $\bar{a}$ nên cũng không biết $\Delta_a$. Tuy nhiên, ta có thể đánh giá được $\Delta_a$ không vượt quá một số dương $d$ nào đó.
Chẳng hạn, trong HĐ3, ta thấy $|13,1 - \bar{a}| < |13,1 - 13| = 0,1$ (cm³).
Vậy với $a = 13,1$ (cm³), sai số tuyệt đối của $a$ không vượt quá $0,1$ cm³.
Nếu $\Delta_a \le d$ thì $a - d \le \bar{a} \le a + d$, khi đó ta viết $\bar{a} = a \pm d$ và hiểu là số đúng $\bar{a}$ nằm trong đoạn $[a - d; a + d]$. Do $d$ càng nhỏ thì $a$ càng gần $\bar{a}$ nên $d$ được gọi là độ chính xác của số gần đúng.
Ví dụ 2. Một công ty sử dụng dây chuyền A để đóng gạo vào bao với khối lượng mong muốn là 5 kg. Trên bao bì ghi thông tin khối lượng là $5 \pm 0,2$ kg. Gọi $\bar{a}$ là khối lượng thực của một bao gạo do dây chuyền A đóng gói.
a) Xác định số đúng, số gần đúng và độ chính xác.
b) Giá trị của $\bar{a}$ nằm trong đoạn nào?
Giải
a) Khối lượng thực của bao gạo $\bar{a}$ là số đúng. Tuy không biết $\bar{a}$ nhưng ta xem khối lượng bao gạo là 5 kg nên 5 là số gần đúng cho $\bar{a}$. Độ chính xác là $d = 0,2$ (kg).
b) Giá trị của $\bar{a}$ nằm trong đoạn $[5 - 0,2; 5 + 0,2]$ hay $[4,8; 5,2]$.
Luyện tập 2. Một phép đo đường kính nhân tế bào cho kết quả là $5 \pm 0,3$ µm. Đường kính thực của nhân tế bào thuộc đoạn nào?
Chú ý. Trong các phép đo, độ chính xác $d$ của số gần đúng bằng một nửa đơn vị của thước đo. Chẳng hạn, một thước đo có chia vạch đến centimét thì mọi giá trị đo nằm giữa 6,5 cm và 7,5 cm đều được coi là 7 cm. Vì vậy, thước đo có thang đo càng nhỏ thì cho giá trị đo càng chính xác.
b. Sai số tương đối
HĐ4. Công ty (trong Ví dụ 2) cũng sử dụng dây chuyền B để đóng gạo với khối lượng mong muốn là 20 kg. Trên bao bì ghi thông tin khối lượng là $20 \pm 0,5$ kg.
Khẳng định "Dây chuyền A tốt hơn dây chuyền B" là đúng hay sai?
Mặc dù độ chính xác của khối lượng bao gạo đóng bằng dây chuyền A nhỏ hơn nhưng do bao gạo đóng bằng dây chuyền B nặng hơn nhiều nên ta không dựa vào sai số tuyệt đối mà dựa vào sai số tương đối để so sánh.

$Sai số tương đối của số gần đúng $a$, kí hiệu là $\delta_a$, là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và $|a|$, tức là $\delta_a = \frac{\Delta_a}{|a|}$. Nhận xét. Nếu $\$

Sai số tương đối của số gần đúng $a$, kí hiệu là $\delta_a$, là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và $|a|$, tức là $\delta_a = \frac{\Delta_a}{|a|}$.
Nhận xét. Nếu $\overline{a} = a \pm d$ thì $\Delta_a \leq d$, do đó $\delta_a \leq \frac{d}{|a|}$. Nếu $\frac{d}{|a|}$ càng nhỏ thì chất lượng của phép đo hay tính toán càng cao. Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm.
» Ví dụ 3. Trong một cuộc điều tra dân số, người ta viết dân số của một tỉnh là:
3 574 625 người $\pm$ 50 000 người.
Hãy đánh giá sai số tương đối của số gần đúng này.
Giải
Ta có $a = 3\ 574\ 625$ người và $d = 50\ 000$ người, do đó sai số tương đối là:
$$ \delta_a \leq \frac{d}{|a|} = \frac{50\ 000}{3\ 574\ 625} \approx 1,4%. $$
» Luyện tập 3. Đánh giá sai số tương đối của khối lượng bao gạo được đóng gói theo hai dây chuyền A, B ở Ví dụ 2 và HD4. Dựa trên tiêu chí này, dây chuyền nào tốt hơn?
3. QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG
Trong thực tế đo đạc và tính toán, nhiều khi ta chỉ cần biết giá trị gần đúng của một đại lượng với độ chính xác nào đó (kể cả khi biết được giá trị đúng của nó). Khi đó, để cho gọn, các số thường được làm tròn (còn gọi là quy tròn).
Số thu được sau khi thực hiện làm tròn số được gọi là số quy tròn. Số quy tròn là một số gần đúng của số ban đầu.
• Đối với chữ số hàng làm tròn:
– Giữ nguyên nếu chữ số ngay bên phải nó nhỏ hơn 5;
– Tăng 1 đơn vị nếu chữ số ngay bên phải nó lớn hơn hoặc bằng 5.
• Đối với chữ số sau hàng làm tròn:
– Bỏ đi nếu ở phần thập phân;
– Thay bởi các chữ số 0 nếu ở phần số nguyên.
» Ví dụ 4
a) Làm tròn số 2 359,3 đến hàng chục, số 18,693 đến hàng phần trăm và số đúng $d \in [5,5; 6,5)$ đến hàng đơn vị. Đánh giá sai số tuyệt đối của phép làm tròn số đúng $d$.
b) Cho số gần đúng $a = 2,53$ với độ chính xác $d = 0,01$. Số đúng $\overline{a}$ thuộc đoạn nào? Nếu làm tròn số $a$ thì nên làm tròn đến hàng nào? Vì sao?
Giải
a) Số quy tròn của số 2 359,3 đến hàng chục là 2 360; số quy tròn của số 18,693 đến hàng phần trăm là 18,69. Mọi số đúng $d \in [5,5; 6,5)$ khi làm tròn đến hàng đơn vị đều thu được số quy tròn là 6 và sai số tuyệt đối $|d - 6| \leq 0,5$.
b) Số đúng $\overline{a}$ thuộc đoạn $[2,53 - 0,01; 2,53 + 0,01]$ hay $[2,52; 2,54]$. Khi làm tròn số gần đúng $a$ ta nên làm tròn đến hàng phần chục do chữ số hàng phần trăm của $a$ là chữ số không chắc chắn đúng.

Nhận xét
Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng làm tròn.
Cho số gần đúng $a$ với độ chính xác $d$. Khi được yêu cầu làm tròn số $a$ mà không nói rõ làm tròn đến hàng nào thì ta làm tròn số $a$ đến hàng thấp nhất mà $d$ nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó.
» Ví dụ 5. Cho số gần đúng $a = 581,268$ với độ chính xác $d = 200$. Hãy viết số quy tròn của số $a$.
Giải
Vì độ chính xác đến hàng trăm ($d = 200$) nên ta làm tròn $a$ đến hàng nghìn theo quy tắc làm tròn ở trên. Số quy tròn của $a$ là $581,000$.
» Luyện tập 4. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng trong những trường hợp sau:
a) $11,251,900 \pm 300$;
b) $18,2857 \pm 0,01$.
» Vận dụng. Các nhà vật lí sử dụng hai phương pháp khác nhau để đo tuổi của vũ trụ (đơn vị tỉ năm) lần lượt cho hai kết quả là: $13,807 \pm 0,026$ và $13,799 \pm 0,021$.
Hãy đánh giá sai số tương đối của mỗi phương pháp. Căn cứ trên tiêu chí này, phương pháp nào cho kết quả chính xác hơn?
BÀI TẬP
5.1. Trong các số sau, những số nào là số gần đúng?
a) Cân một túi gạo cho kết quả là $10,2$ kg.
b) Bán kính Trái Đất là $6,371$ km.
c) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mất $365$ ngày.
5.2. Giải thích kết quả "Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là $1,235 \pm 5$ m" và thực hiện làm tròn số gần đúng.
5.3. Sử dụng máy tính cầm tay tìm số gần đúng cho $\sqrt[3]{7}$ với độ chính xác $0,0005$.
5.4. Các nhà vật lí sử dụng ba phương pháp đo hằng số Hubble lần lượt cho kết quả như sau:
$67,31 \pm 0,96$;
$67,90 \pm 0,55$;
$67,74 \pm 0,46$.
Phương pháp nào chính xác nhất tính theo sai số tương đối?
5.5. An và Bình cùng tính chu vi của hình tròn bán kính $2$ cm với hai kết quả như sau:
Kết quả của An: $S_1 = 2\pi R \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 2 = 12,56$ cm;
Kết quả của Bình: $S_2 = 2\pi R \approx 2 \cdot 3,1 \cdot 2 = 12,4$ cm.
Hỏi:
a) Hai giá trị tính được có phải là các số gần đúng không?
b) Giá trị nào chính xác hơn?
5.6. Làm tròn số $8,316,4$ đến hàng chục và $9,754$ đến hàng phần trăm rồi tính sai số tuyệt đối của số quy tròn.

Bài 13. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
THUẬT NGỮ
Số trung bình
Trung vị
Tứ phân vị
Mốt
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Lựa chọn và tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của một mẫu số liệu: số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt.
Giải thích ý nghĩa, vai trò của các số đặc trưng trong mẫu số liệu thực tiễn.
Rút ra kết luận từ ý nghĩa của các số đặc trưng đo xu thế trung tâm.
Hai phương pháp học tiếng Anh khác nhau được áp dụng cho hai lớp A và B có trình độ tiếng Anh tương đương nhau. Sau hai tháng, điểm khảo sát tiếng Anh (thang điểm 10) của hai lớp được cho như hình bên.
2, 7, 6, 3, 9
8, 6, 7, 9, 2
5, 7, 5, 9, 8
8, 7, 4, 3, 5
5, 4, 5, 7, 7
Lớp A
6, 7, 6, 4, 7
9, 3, 8, 7, 5
5, 6, 8, 7, 4
5, 3, 10, 7, 9
6, 7, 6, 7, 5
Lớp B
Quan sát hai mẫu số liệu trên, có thể đánh giá được phương pháp học tập nào hiệu quả hơn không? Để làm được điều đó, người ta thường tính toán các số đặc trưng cho mỗi mẫu số liệu rồi so sánh.
Bài học này sẽ giới thiệu về các số đặc trưng đo xu thế trung tâm, tức là các số cho ta biết thông tin về vị trí trung tâm của mẫu số liệu và được dùng làm đại diện cho mẫu số liệu.
1. SỐ TRUNG BÌNH VÀ TRUNG VỊ
a. Số trung bình
Từ mẫu số liệu về điểm số của hai lớp A, B trên, em hãy:
➤ HĐ1. Tính trung bình cộng điểm khảo sát tiếng Anh của mỗi lớp A và B.
➤ HĐ2. Dựa trên điểm trung bình, hãy cho biết phương pháp học tập nào hiệu quả hơn.
Số trung bình (số trung bình cộng) của mẫu số liệu $x_1, x_2, ..., x_n$, kí hiệu là $\bar{x}$, được tính bằng công thức:
$$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} $$
Chú ý. Trong trường hợp mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì số trung bình được tính theo công thức:
$$ \bar{x} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + ... + m_kx_k}{n}, $$
trong đó $m_k$ là tần số của giá trị $x_k$ và $n = m_1 + m_2 + ... + m_k$.
➤ Ví dụ 1. Thống kê số cuốn sách mỗi bạn trong lớp đã đọc trong năm 2021, An thu được kết quả như bảng bên. Hỏi trong năm 2021, trung bình mỗi bạn trong lớp đọc bao nhiêu cuốn sách?
Số cuốn sách, 1, 2, 3, 4, 5
Số bạn, 3, 5, 15, 10, 7

$Giải Số bạn trong lớp là $n = 3 + 5 + 15 + 10 + 7 = 40$ (bạn). Trong năm 2021, trung bình mỗi bạn trong lớp đọc số cuốn sách là: $\frac{3 \cdot 1 + 5 \cdot 2 +$

Giải
Số bạn trong lớp là $n = 3 + 5 + 15 + 10 + 7 = 40$ (bạn).
Trong năm 2021, trung bình mỗi bạn trong lớp đọc số cuốn sách là:
$\frac{3 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 15 \cdot 3 + 10 \cdot 4 + 7 \cdot 5}{40} = 3,325$ (cuốn).
Ý nghĩa. Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu.
Luyện tập 1. Bảng sau cho biết thời gian chạy cự li 100 m của các bạn trong lớp (đơn vị giây):
Thời gian, 12, 13, 14, 15, 16
Số bạn, 5, 7, 10, 8, 6
Hãy tính thời gian chạy trung bình cự li 100 m của các bạn trong lớp.
b. Trung vị
HĐ3. Một công ty nhỏ gồm 1 giám đốc và 5 nhân viên, thu nhập hằng tháng của giám đốc là 20 triệu đồng, của mỗi nhân viên là 4 triệu đồng.
a) Tính thu nhập trung bình của các thành viên trong công ty.
b) Thu nhập trung bình có phản ánh đúng thu nhập của nhân viên công ty không?
Trong trường hợp mẫu số liệu có giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với đa số các giá trị khác), người ta không dùng số trung bình để đo xu thế trung tâm mà dùng trung vị.
Để tìm trung vị (kí hiệu là Me) của một mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:
Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Nếu là số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu.
Ví dụ 2. Hãy tìm trung vị cho mẫu số liệu về lương của giám đốc và nhân viên công ty được cho trong HĐ3.
Giải
Để tìm trung vị của mẫu số liệu trên, ta làm như sau:
Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm:
$$4 \quad 4 \quad \underbrace{4 \quad 4}_{\text{Hai giá trị chính giữa}} \quad 4 \quad 20.$$
Dãy trên có hai giá trị chính giữa cùng bằng 4. Vậy trung vị của mẫu số liệu cũng bằng 4.
Trong mẫu số liệu được sắp xếp trên, số phần tử ở bên trái trung vị và số phần tử ở bên phải trung vị bằng nhau và bằng 3. Lương của giám đốc cao hơn hẳn số trung bình, đây chính là giá trị bất thường. Nếu ta thay lương của giám đốc là 30; 40; 50;... (triệu đồng) thì trung vị vẫn không thay đổi trong khi số trung bình sẽ thay đổi.
Ý nghĩa. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường trong khi số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường. Vì vậy, khi mẫu số liệu có giá trị bất thường người ta thường dùng trung vị đại diện cho các số liệu thống kê.
Luyện tập 2. Chiều dài (đơn vị feet) của 7 con cá voi trưởng thành được cho như sau:
$$48 \quad 53 \quad 51 \quad 31 \quad 53 \quad 112 \quad 52.$$
Tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên. Trong hai số đó, số nào phù hợp hơn để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này?

2. TỨ PHÂN VỊ
HD4. Điểm (thang điểm 100) của 12 thí sinh cao điểm nhất trong một cuộc thi như sau:
58 74 92 81 97 88 75 69 87 69 75 77.
Ban tổ chức muốn trao các giải Nhất, Nhì, Ba, Tư cho các thí sinh này, mỗi giải trao cho 25% số thí sinh (3 thí sinh).
Em hãy giúp ban tổ chức xác định các ngưỡng điểm để phân loại thí sinh.
Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có $n$ giá trị, ta làm như sau:
• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
• Tìm trung vị. Giá trị này là $Q_2$.
• Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu $n$ lẻ). Giá trị này là $Q_1$.
• Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu $n$ lẻ). Giá trị này là $Q_3$.
$Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ được gọi là các tứ phân vị của mẫu số liệu.
Hình 5.3a
Chú ý. $Q_1$ được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới, $Q_3$ được gọi là tứ phân vị thứ ba hay tứ phân vị trên.
Ý nghĩa. Các điểm $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành bốn phần, mỗi phần đều chứa 25% giá trị (H.5.3b).
Hình 5.3b. Các tứ phân vị
Ví dụ 3. Hàm lượng Natri (đơn vị miligam, 1 mg = 0,001 g) trong 100 g một số loại ngũ cốc được cho như sau:
0 340 70 140 200 180 210 150 100 130
140 180 190 160 290 50 220 180 200 210.
Hãy tìm các tứ phân vị. Các tứ phân vị này cho ta thông tin gì?
Giải
• Sắp xếp các giá trị này theo thứ tự không giảm:
0 50 70 100 130 140 140 150 160 180 180 180 190 200 200 210 210 220 290 340.
Hai giá trị chính giữa
• Vì $n = 20$ là số chẵn nên $Q_2$ là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa:
$Q_2 = (180 + 180) : 2 = 180$.
• Ta tìm $Q_1$ là trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_2$:
0 50 70 100 130 140 140 150 160 180
và tìm được $Q_1 = (130 + 140) : 2 = 135$.

Ta tìm $Q_3$ là trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_2$:
180 180 190 200 200 210 210 220 290 340
và tìm được $Q_3 = (200 + 210) : 2 = 205$.
Hình 5.4. Hình ảnh về sự phân bố của mẫu số liệu
Các tứ phân vị cho ta hình ảnh phân bố của mẫu số liệu. Khoảng cách từ $Q_1$ đến $Q_2$ là 45 trong khi khoảng cách từ $Q_2$ đến $Q_3$ là 25. Điều này cho thấy mẫu số liệu tập trung với mật độ cao ở bên phải của $Q_2$ và mật độ thấp ở bên trái của $Q_2$ (H.5.4).
Luyện tập 3. Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên Internet trong một tuần của một số học sinh lớp 10:
Số lần, 0, 1, 2, 3, 4, 5
Số học sinh, 2, 4, 6, 12, 8, 3
Hãy tìm các tứ phân vị cho mẫu số liệu này.
3. MỐT
HD5. Một cửa hàng giày thể thao đã thống kê cỡ giày của một số khách hàng nam được chọn ngẫu nhiên cho kết quả như sau:
38 39 39 38 40 41 39 39 38 39 39 39 40 39 39.
a) Tính cỡ giày trung bình. Số trung bình này có ý nghĩa gì với cửa hàng không?
b) Cửa hàng nên nhập cỡ giày nào với số lượng nhiều nhất?
Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.
Ý nghĩa. Có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau.
Ví dụ 4. Thời gian truy cập Internet (đơn vị giờ) trong một ngày của một số học sinh lớp 10 được cho như sau:
0 0 1 1 1 3 4 4 5 6.
Tìm mốt cho mẫu số liệu này.
Giải
Vì số học sinh truy cập Internet 1 giờ mỗi ngày là lớn nhất (có 3 học sinh) nên mốt là 1.
Nhận xét
Mốt có thể không là duy nhất. Chẳng hạn, với mẫu số liệu
8 7 10 9 7 5 7 8 8
các số 7; 8 đều xuất hiện với số lần lớn nhất (3 lần) nên mẫu số liệu này có hai mốt là 7 và 8.
Khi các giá trị trong mẫu số liệu xuất hiện với tần số như nhau thì mẫu số liệu không có mốt.

Mốt còn được định nghĩa cho mẫu dữ liệu định tính (dữ liệu không phải là số). Ví dụ báo Tuổi trẻ đã thực hiện thăm dò ý kiến của bạn đọc với câu hỏi "Theo bạn, VFF nên chọn huấn luyện viên ngoại hay nội dẫn dắt đội tuyển bóng đá nam Việt Nam?".
Tại thời điểm 21 giờ ngày 27-4-2021 kết quả bình chọn như sau:
Lựa chọn, Huấn luyện viên nội, Huấn luyện viên ngoại, Ý kiến khác
Số lượt bình chọn, 1 897, 3 781, 747
Trong mẫu dữ liệu này, lựa chọn "huấn luyện viên ngoại" có nhiều người bình chọn nhất, được gọi là mốt.
Vận dụng. Hãy tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu về điểm khảo sát của lớp A và lớp B ở đầu bài học để phân tích và so sánh hiệu quả học tập của hai phương pháp này.
BÀI TẬP
5.7. Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:
a) Số điểm mà 5 vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:
9 8 15 8 20.
b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):
350 300 650 300 450 500 300 250.
c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:
36 38 33 34 32 30 34 35.
5.8. Hãy chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mỗi mẫu số liệu sau. Giải thích và tính giá trị của số đặc trưng đó.
a) Số mặt trăng đã biết của các hành tinh:
Hành tinh, Thuỷ tinh, Kim tinh, Trái Đất, Hoả tinh, Mộc tinh, Thổ tinh, Thiên Vương tinh, Hải Vương tinh
Số mặt trăng, 0, 0, 1, 2, 63, 34, 27, 13
(Theo NASA)
b) Số đường chuyền thành công trong một trận đấu của một số cầu thủ bóng đá:
32 24 20 14 23.
c) Chỉ số IQ của một nhóm học sinh: 80 102 83 103 108 94 110 106 104 100.
d) Các sai số trong một phép đo: 10 15 18 15 14 13 42 15 12 14 42.

$5.9. Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2018 – 2019 của 10 trường Trung học phổ thông được cho như sau: $0 \quad 0 \quad 4 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad 10$

Bài 14. Các số đặc trưng đo độ phân tán
THUẬT NGỮ
Khoảng biến thiên
Khoảng tứ phân vị
Phương sai
Độ lệch chuẩn
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Tính các số đặc trưng đo độ phân tán.
Biết ý nghĩa của các số đặc trưng đo độ phân tán.
Phát hiện các giá trị bất thường sử dụng các công cụ toán học.
Dưới đây là điểm trung bình môn học kì I của hai bạn An và Bình:
Toán, Vật lí, Hoá học, Ngữ văn, Lịch sử, Địa lí, Tin học, Tiếng Anh
An, 9,2, 8,7, 9,5, 6,8, 8,0, 8,0, 7,3, 6,5
Bình, 8,2, 8,1, 8,0, 7,8, 8,3, 7,9, 7,6, 8,1
Điểm trung bình môn học kì của An và Bình đều là 8,0 nhưng rõ ràng Bình "học đều" hơn An. Có thể dùng những số đặc trưng nào để đo mức độ "học đều"?
Bài này sẽ giới thiệu một vài số đặc trưng như vậy.
1. KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ
HD1. Một cổ động viên đã thống kê điểm số mà hai câu lạc bộ Leicester City và Everton đạt được trong 5 mùa giải Ngoại hạng Anh gần đây, từ mùa giải 2014 – 2015 đến mùa giải 2018 – 2019 như sau:
Leicester City: 41 81 44 47 52.
Everton: 47 47 61 49 54.
Cổ động viên đó cho rằng, Everton thi đấu ổn định hơn Leicester City. Em có đồng ý với nhận định này không? Vì sao?
Trong 5 mùa giải, điểm thấp nhất, cao nhất của Leicester City lần lượt là 41; 81 trong khi của Everton là 47; 61. Về trực quan, thành tích của Everton ổn định hơn Leicester City. Người ta có nhiều cách để đo sự ổn định này. Cách đơn giản nhất là dùng hiệu số: Điểm cao nhất – Điểm thấp nhất. Giá trị này được gọi là khoảng biến thiên.
Khoảng biến thiên, kí hiệu là $R$, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu.
Ý nghĩa. Khoảng biến thiên dùng để đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Ví dụ 1. Điểm kiểm tra học kì môn Toán của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 10A được cho như sau:
Tổ 1: 7 8 8 9 8 8 8.
Tổ 2: 10 6 8 9 9 7 8 7 8.

a) Điểm kiểm tra trung bình của hai tổ có như nhau không?
b) Tính các khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu. Căn cứ trên chỉ số này, các bạn tổ nào học đồng đều hơn?
Giải
a) Điểm kiểm tra trung bình của hai tổ đều bằng 8.
b) Đối với Tổ 1: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao nhất tương ứng là 7; 9. Do đó khoảng biến thiên là: $R_1 = 9 - 7 = 2$.
Đối với Tổ 2: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao nhất tương ứng là 6; 10. Do đó khoảng biến thiên là: $R_2 = 10 - 6 = 4$.
Do $R_2 > R_1$ nên ta nói các bạn Tổ 1 học đều hơn các bạn Tổ 2.
Luyện tập 1. Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) của các bạn trong tổ:
163 159 172 167 165 168 170 161.
Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu này.
Nhận xét. Sử dụng khoảng biến thiên có ưu điểm là đơn giản, dễ tính toán song khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mà bỏ qua thông tin từ tất cả các giá trị khác. Do đó, khoảng biến thiên rất dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.
HĐ2. Trong một tuần, nhiệt độ cao nhất trong ngày (đơn vị $^{\circ}C$) tại Hà Nội và Điện Biên được cho như sau:
Hà Nội: 23 25 28 28 32 33 35.
Điện Biên: 16 24 26 26 26 27 28.
a) Tính các khoảng biến thiên của mỗi mẫu số liệu và so sánh.
b) Em có nhận xét gì về sự ảnh hưởng của giá trị 16 đến khoảng biến thiên của mẫu số liệu về nhiệt độ cao nhất trong ngày tại Điện Biên?
c) Tính các tứ phân vị và hiệu $Q_3 - Q_1$ cho mỗi mẫu số liệu. Có thể dùng hiệu này để đo độ phân tán của mẫu số liệu không?
Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là $\Delta_Q$, là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, tức là:
$\Delta_Q = Q_3 - Q_1$.
Về bản chất, khoảng tứ phân vị là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp.
Ý nghĩa. Khoảng tứ phân vị cũng là một số đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Chú ý. Một số tài liệu gọi khoảng biến thiên là biên độ và khoảng tứ phân vị là độ trải giữa.
Ví dụ 2. Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong 9 ngày:
7 8 22 20 15 18 19 13 11.
Tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.
Giải
Trước hết, ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:
7 8 11 13 15 18 19 20 22.

$Mẫu số liệu gồm 9 giá trị nên trung vị là số ở vị trí chính giữa $Q_{2} = 15$. Nửa số liệu bên trái là 7, 8, 11, 13 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 8,$

Mẫu số liệu gồm 9 giá trị nên trung vị là số ở vị trí chính giữa $Q_{2} = 15$.
Nửa số liệu bên trái là 7, 8, 11, 13 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 8, 11.
Do đó, $Q_{1} = (8 + 11) : 2 = 9,5$.
Nửa số liệu bên phải là 18, 19, 20, 22 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 19, 20.
Do đó, $Q_{3} = (19 + 20) : 2 = 19,5$.
Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là $\Delta_{Q} = 19,5 - 9,5 = 10$.
Luyện tập 2. Mẫu số liệu sau đây cho biết số bài hát ở mỗi album trong bộ sưu tập của An:
12 7 10 9 12 9 10 11 10 14.
Hãy tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.
2. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN
Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mẫu số liệu (bỏ qua thông tin của tất cả các giá trị khác), còn khoảng tứ phân vị chỉ sử dụng thông tin của 50% số liệu chính giữa. Có một vài số đặc trưng khác đo độ phân tán sử dụng thông tin của tất cả các giá trị trong mẫu số liệu. Hai trong số đó là phương sai và độ lệch chuẩn.
Cụ thể là với mẫu số liệu $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$, nếu gọi số trung bình là $\bar{x}$ thì với mỗi giá trị $x_{i}$, độ lệch của nó so với giá trị trung bình là $x_{i} - \bar{x}$.
Phương sai là giá trị $s^{2} = \frac{(x_{1} - \bar{x})^{2} + (x_{2} - \bar{x})^{2} + \dots + (x_{n} - \bar{x})^{2}}{n}$.
Căn bậc hai của phương sai, $s = \sqrt{s^{2}}$, được gọi là độ lệch chuẩn.
Chú ý. Người ta còn sử dụng đại lượng sau để đo độ phân tán của mẫu số liệu:
$\hat{s}^{2} = \frac{(x_{1} - \bar{x})^{2} + (x_{2} - \bar{x})^{2} + \dots + (x_{n} - \bar{x})^{2}}{n - 1}$.
Ý nghĩa. Phương sai hoặc độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán.
Ví dụ 3. Mẫu số liệu sau đây cho biết sĩ số của 5 lớp khối 10 tại một trường:
43 45 46 41 40.
Tìm phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.
Giải
Số trung bình của mẫu số liệu là: $\bar{x} = \frac{43 + 45 + 46 + 41 + 40}{5} = 43$.
Ta có bảng sau:
Giá trị, Độ lệch, Bình phương độ lệch
43, $43 - 43 = 0$, 0
45, $45 - 43 = 2$, 4
46, $46 - 43 = 3$, 9
41, $41 - 43 = -2$, 4
40, $40 - 43 = -3$, 9
Tổng, 26
Bạn có thể sử dụng máy tính cầm tay, phần mềm bảng tính hay phần mềm thống kê để tính các số đặc trưng.
Mẫu số liệu gồm 5 giá trị nên $n = 5$. Do đó phương sai là: $s^{2} = \frac{26}{5} = 5,2$.
Độ lệch chuẩn là: $s = \sqrt{5,2} \approx 2,28$.

Luyện tập 3. Dùng đồng hồ đo thời gian có độ chia nhỏ nhất đến $0,001$ giây để đo 7 lần thời gian rơi tự do của một vật bắt đầu từ điểm A ($v_A = 0$) đến điểm B. Kết quả đo như sau:
$$0,398 \quad 0,399 \quad 0,408 \quad 0,410 \quad 0,406 \quad 0,405 \quad 0,402.$$
(Theo Bài tập Vật lí 10, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2018)
Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này. Qua các đại lượng này, em có nhận xét gì về độ chính xác của phép đo trên?
3. PHÁT HIỆN SỐ LIỆU BẤT THƯỜNG HOẶC KHÔNG CHÍNH XÁC BẰNG BIỂU ĐỒ HỘP
Trong mẫu số liệu thống kê, có khi gặp những giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với đa số các giá trị khác. Những giá trị này được gọi là giá trị bất thường. Chúng xuất hiện trong mẫu số liệu có thể do nhầm lẫn hay sai sót nào đó. Ta có thể dùng biểu đồ hộp để phát hiện những giá trị bất thường này.
Hình 5.5. Biểu đồ hộp
Các giá trị lớn hơn $Q_3 + 1,5 \cdot \Delta_Q$ hoặc bé hơn $Q_1 - 1,5 \cdot \Delta_Q$ được xem là giá trị bất thường.
Ví dụ 4. Hàm lượng Natri (đơn vị mg) trong $100\text{ g}$ một số loại ngũ cốc được cho như sau:
0, 340, 70, 140, 200, 180, 210, 150, 100, 130
140, 180, 190, 160, 290, 50, 220, 180, 200, 210
Tìm giá trị bất thường trong mẫu số liệu trên bằng cách sử dụng biểu đồ hộp.
Giải
Từ mẫu số liệu ta tính được $Q_1 = 135$ và $Q_3 = 205$. Do đó, khoảng tứ phân vị là:
$\Delta_Q = 205 - 135 = 70$.
Biểu đồ hộp cho mẫu số liệu này là:
Ta có $Q_1 - 1,5 \cdot \Delta_Q = 30$ và $Q_3 + 1,5 \cdot \Delta_Q = 310$ nên trong mẫu số liệu có hai giá trị được xem là bất thường là $340\text{ mg}$ (lớn hơn $310\text{ mg}$) và $0\text{ mg}$ (bé hơn $30\text{ mg}$).
Luyện tập 4. Một mẫu số liệu có tứ phân vị thứ nhất là $56$ và tứ phân vị thứ ba là $84$. Hãy kiểm tra xem trong hai giá trị $10$ và $100$ giá trị nào được xem là giá trị bất thường.

BÀI TẬP
5.11. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
(1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn.
(2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại.
(3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.
(4) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.
(5) Các số đo độ phân tán đều không âm.
5.12. Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như sau:
A
$\begin{array}{ccccccc} & \cdot & & \cdot & & & \ & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \ & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \ \hline 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{array}$
B
$\begin{array}{ccccccc} & & & \cdot & & & \ & & \cdot & \cdot & \cdot & & \ & & \cdot & \cdot & \cdot & & \ & & \cdot & \cdot & \cdot & & \ \hline 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{array}$
Số chấm trên mỗi giá trị biểu diễn cho tần số của giá trị đó.
Không tính toán, hãy cho biết:
a) Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không?
b) Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?
5.13. Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:
a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
5.14. Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được:
Giá trị nhỏ nhất bằng $2{,}5$; $Q_1 = 36$; $Q_2 = 60$; $Q_3 = 100$; giá trị lớn nhất bằng $205$.
a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là bao nhiêu?
b) Chỉ ra hai giá trị sao cho có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.
c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.
5.15. Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg):
$2{,}977 \quad 3{,}155 \quad 3{,}920 \quad 3{,}412 \quad 4{,}236$
$2{,}593 \quad 3{,}270 \quad 3{,}813 \quad 4{,}042 \quad 3{,}387.$
Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.
5.16. Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) được cho như sau:
$7{,}8 \quad 3{,}2 \quad 7{,}7 \quad 8{,}7 \quad 8{,}6 \quad 8{,}4 \quad 7{,}2 \quad 3{,}6$
$5{,}0 \quad 4{,}4 \quad 6{,}7 \quad 7{,}0 \quad 4{,}5 \quad 6{,}0 \quad 5{,}4.$
Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.

Bài tập cuối chương V A – TRẮC NGHIỆM 5.17. Khi cân một bao gạo bằng một cân treo với thang chia 0,2 kg thì độ chính xác $d$ là A. 0,1 kg. B. 0,2 kg. C. 0,3 kg.

5.24. Bảng sau cho biết dân số của các tỉnh/thành phố Đồng bằng Bắc Bộ năm 2018 (đơn vị triệu người).
a) Tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên.
b) Giải thích tại sao số trung bình và trung vị lại có sự sai khác nhiều.
c) Nên sử dụng số trung bình hay trung vị để đại diện cho dân số của các tỉnh thuộc Đồng bằng Bắc Bộ?
Tỉnh/thành phố, Dân số
Hà Nội, $7,52$
Vĩnh Phúc$^{(1)}$, $1,09$
Bắc Ninh, $1,25$
Quảng Ninh, $1,27$
Hải Dương$^{(2)}$, $1,81$
Hải Phòng, $2,01$
Hưng Yên, $1,19$
Thái Bình$^{(3)}$, $1,79$
Hà Nam$^{(4)}$, $0,81$
Nam Định$^{(5)}$, $1,85$
Ninh Bình, $0,97$
(Theo Tổng cục Thống kê – nay là Cục Thống kê)
5.25. Hai mẫu số liệu sau đây cho biết số lượng trường Trung học phổ thông ở mỗi tỉnh/thành phố thuộc Đồng bằng sông Hồng và Đồng bằng sông Cửu Long năm 2017:
Đồng bằng sông Hồng: $187 \quad 34 \quad 35 \quad 46 \quad 54 \quad 57 \quad 37 \quad 39 \quad 23 \quad 57 \quad 27$.
Đồng bằng sông Cửu Long: $33 \quad 34 \quad 33 \quad 29 \quad 24 \quad 39 \quad 42 \quad 24 \quad 23 \quad 19 \quad 24 \quad 15 \quad 26$.
(Theo Tổng cục Thống kê – nay là Cục Thống kê)
a) Tính số trung bình, trung vị, các tứ phân vị, mốt, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn cho mỗi mẫu số liệu trên.
b) Tại sao số trung bình của hai mẫu số liệu có sự sai khác nhiều trong khi trung vị thì không?
c) Tại sao khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu khác nhau nhiều trong khi khoảng tứ phân vị thì không?
5.26. Tỉ lệ trẻ em suy dinh dưỡng (tính theo cân nặng ứng với độ tuổi) của 10 tỉnh thuộc Đồng bằng sông Hồng được cho như sau:
$5,5 \quad 13,8 \quad 10,2 \quad 12,2 \quad 11,0 \quad 7,4 \quad 11,4 \quad 13,1 \quad 12,5 \quad 13,4$.
(Theo Tổng cục Thống kê – nay là Cục Thống kê)
a) Tính số trung bình, trung vị, khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
b) Thực hiện làm tròn đến hàng đơn vị cho các giá trị trong mẫu số liệu. Sai số tuyệt đối của phép làm tròn này không vượt quá bao nhiêu?
$^{(1)}$ Nay thuộc tỉnh Phú Thọ
$^{(2)}$ Nay thuộc thành phố Hải Phòng
$^{(3)}$ Nay thuộc tỉnh Hưng Yên
$^{(4)(5)}$ Nay thuộc tỉnh Ninh Bình

HOẠT ĐỘNG THỰC HÀNH TRẢI NGHIỆM TÌM HIỂU MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ TÀI CHÍNH MỤC TIÊU Hiểu sự khác biệt giữa tiết kiệm và đầu tư. Thực hành thiết lập kế hoạch đầu tư

1. TIẾT KIỆM VÀ ĐẦU TƯ HĐ1. Tháng 1 năm 2018, bác Việt gửi tiết kiệm 2 000 000 000 đồng kì hạn 36 tháng ở ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Đến tháng 1 năm 2021, b

Thời gian, 10-6-2020, 27-7-2020, 30-12-2020, 10-5-2021 Giá mỗi cổ phiếu (đồng), 102 200, 86 000, 108 800, 91 000 Số cổ phiếu, 5 000, 5 000, 5 000, 5 000 Tổng (đ

Dựa vào biểu đồ trên, hãy tính số tiền mà anh Tiến thu được khi bán cổ phiếu của công ty B tại các thời điểm sau:
a) 15-3-2021; b) 15-4-2021; c) 18-5-2021.
2. THUẾ THU NHẬP CÁ NHÂN
HD3. Thuế suất biểu luỹ tiến từng phần được phân loại chi tiết trong bảng sau:
Bậc thuế, Phần thu nhập tính thuế/tháng (triệu đồng), Thuế suất (%)
1, Đến 5, 5
2, Trên 5 đến 10, 10
3, Trên 10 đến 18, 15
4, Trên 18 đến 32, 20
5, Trên 32 đến 52, 25
6, Trên 52 đến 80, 30
7, Trên 80, 35
• Thuế thu nhập cá nhân là khoản tiền (thuế) mà người có thu nhập phải trích nộp một phần vào ngân sách nhà nước sau khi đã tính các khoản được giảm trừ. Các khoản giảm trừ thông thường bao gồm:
– Giảm trừ bản thân;
– Giảm trừ người phụ thuộc.
• Thuế suất thuế thu nhập cá nhân là tỉ lệ phần trăm dùng để tính số thuế phải nộp căn cứ vào phần thu nhập tính thuế của mỗi người.
a) Hãy lập công thức hàm số bậc nhất mô tả sự phụ thuộc của thuế thu nhập cá nhân vào phần thu nhập tính thuế/tháng với mức thu nhập tính thuế/tháng không quá 5 triệu đồng và vẽ đồ thị hàm số này.
b) Hãy lập công thức hàm số bậc nhất mô tả sự phụ thuộc của thuế thu nhập cá nhân vào phần thu nhập tính thuế/tháng với mức thu nhập tính thuế/tháng trên 5 triệu đồng và không quá 10 triệu đồng. Vẽ đồ thị hàm số này.
c) Anh Nam làm việc ở một ngân hàng với mức thu nhập chịu thuế đều đặn là 28 triệu đồng/tháng và có một người phụ thuộc (một con nhỏ dưới 18 tuổi). Hãy giúp anh Nam tính số thuế thu nhập cá nhân mà anh phải nộp trong một năm, biết rằng các khoản giảm trừ được tính bao gồm giảm trừ bản thân cho anh Nam (11 triệu đồng/tháng) và giảm trừ người phụ thuộc (4,4 triệu đồng/tháng cho mỗi người phụ thuộc).
• Thu nhập tính thuế = Thu nhập chịu thuế – Các khoản giảm trừ.
• Thuế thu nhập cá nhân = Thu nhập tính thuế $\times$ Thuế suất.
Vận dụng 2. Hãy sử dụng bảng thuế suất biểu luỹ tiến từng phần được cho trong HD3 để xây dựng công thức tính thuế thu nhập cá nhân theo từng trường hợp (căn cứ vào phần thu nhập tính thuế).

Mạng xã hội: Lợi và hại Ngày nay cùng với Internet, mạng xã hội đã trở nên quen thuộc với nhiều người. Một nhóm các bạn học sinh lớp 10A muốn tìm hiểu thực tế s

HD1. Hãy dùng phiếu khảo sát theo mẫu trên, tiến hành thu thập dữ liệu với ít nhất 30 phiếu và ghi lại dữ liệu theo mẫu sau: STT, Giới tính, Thời gian dùng mạng

b) Hãy tính một vài số đo độ phân tán để so sánh sự biến động của thời gian sử dụng mạng xã hội trên hai nhóm học sinh. Khoảng biến thiên, Khoảng tứ phân vị, Độ

Sử dụng phần mềm bảng tính Với những mẫu số liệu lớn hơn, phần mềm thống kê sẽ giúp cho việc xử lí dữ liệu trở nên nhanh chóng và chính xác. Những hướng dẫn sau

Tính số trung bình, trung vị, mốt (H.T.5). Hình T.5 Chú ý. Hàm MODE sẽ trả về giá trị #N/A nếu mẫu số liệu không có giá trị lặp lại. Trong trường hợp mẫu số liệ

$Tính phương sai, độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên (H.T.7). Hình T.7 Chú ý. Để tính $\hat{s}^2$ và $\hat{s}$ ta thay VARP bởi VAR và thay STDEVP bởi STDEV. b) Dù$

Báo lỗi

Giao bài

Đang tải dữ liệu câu hỏi