Chứng minh.

Ta có: Ax vuông góc với AC nên $$\widehat{MAQ} = 90^{\circ}$$

By song song với AC nên $$\widehat{MBA} + \widehat{BAC} = 180^{\circ}$$

Suy ra $$\widehat{MBA} = 180^{\circ} - \widehat{BAC}$$

Lại có: $$\widehat{MAQ} + \widehat{ABM} = 90^{\circ} + 180^{\circ} - \widehat{BAC} = 270^{\circ} - \widehat{BAC}$$

Vì Ax vuông góc với AC và By song song với AC nên AM song song với BQ.

Tương tự, BM song song với AQ.

Vậy tứ giác AMBQ là hình bình hành (tứ giác có các cạnh đối song song).b) Chứng minh tam giác PIQ cân.

Chứng minh.

Vì AMBQ là hình bình hành và P là trung điểm của AB nên P cũng là trung điểm của MQ.

Suy ra $$MP = PQ$$

Xét tam giác ABQ có P là trung điểm của AB và MP song song với BQ (vì AMBQ là hình bình hành).

Suy ra Q là trung điểm của AQ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Vậy $$AQ = QC$$

Vì P là trung điểm của AB nên $$AP = PB$$

Xét tam giác ABQ có P là trung điểm của AB và Q là trung điểm của AQ.

Suy ra PQ là đường trung bình của tam giác ABQ.

Do đó, $$PQ = \frac{1}{2}BQ$$

Vì I là trung điểm của AB nên $$PI = \frac{1}{2}AB$$

Ta có: $$PI = \frac{1}{2}AB$$ và $$PQ = \frac{1}{2}BQ$$

Để chứng minh tam giác PIQ cân, ta cần chứng minh $$PI = PQ$$

Tuy nhiên, không đủ dữ kiện để chứng minh $$PI = PQ$$

Chứng minh.

Vì M là trung điểm của AC nên $$AM = MC = \frac{1}{2}AC$$

Mà $$BM = \frac{1}{2}AC$$ (giả thiết)

Suy ra $$AM = MC = BM$$

Do đó, tam giác ABC vuông tại B (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).

Vậy $$\widehat{ABC} = 90^{\circ}$$

Hình thang ABCD có $$\widehat{A} = \widehat{D} = 90^{\circ}$$ (giả thiết) và $$\widehat{ABC} = 90^{\circ}$$ (chứng minh trên).

Suy ra tứ giác ABCD là hình chữ nhật (hình thang có ba góc vuông).

Chứng minh.

Vì M là trung điểm của AC nên $$AM = MC = \frac{1}{2}AC$$

Mà $$BM = \frac{1}{2}AC$$ (giả thiết)

Suy ra $$AM = MC = BM$$

Do đó, tam giác ABC vuông tại B (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).

Vậy $$\widehat{ABC} = 90^{\circ}$$

Hình thang ABCD có $$\widehat{A} = \widehat{D} = 90^{\circ}$$ (giả thiết) và $$\widehat{ABC} = 90^{\circ}$$ (chứng minh trên).

Suy ra tứ giác ABCD là hình chữ nhật (hình thang có ba góc vuông).

Vì I là trung điểm của AC và IH = ID nên tứ giác AHCD là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên góc AHC = 90 độ

Hình bình hành AHCD có một góc vuông nên là hình chữ nhật.