a. Cơ năng của vật dao động điều hòa là: 

\(W = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2} = \frac{1}{2} . 2. 5^{2} . 0 , 0 8^{2} = 0 , 16\) J

Khi vật có li độ \(x = 4\) cm hay \(x = \frac{A}{2}\) thì thế năng của vật là:

\(W_{t} = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} = \frac{1}{2} m \omega^{2} . \left(\left(\right. \frac{A}{2} \left.\right)\right)^{2} = \frac{1}{4} W = \frac{1}{4} . 0 , 16 = 0 , 04\) J

Động năng của vật là:

\(W_{đ} = W - W_{t} = 0 , 16 - 0 , 04 = 0 , 12\) J

b. Thế năng bằng động năng nên ta có:

\(W_{t} = \frac{W}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}\)

\(\Rightarrow x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}} .\)

a. Dựa vào đồ thị ta có:

Chu kì \(T = 2 s\), suy ra tần số góc \(\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{2} = \pi\) rad/s

Vận tốc cực đại của dao động: \(\text{v}_{m a x} = \omega A\)

\(\Rightarrow A = \frac{\text{v}_{m a x}}{\omega} = \frac{4}{\pi}\) cm

Thời điểm \(t = 0\), vật có \(\text{v} = \text{v}_{m a x}\), suy ra vật ở VTCB và \(\text{v} > 0\)

Khi đó: \(x = 0 \Rightarrow cos ⁡ \varphi = 0 \Rightarrow \varphi = - \frac{\pi}{2}\)

Phương trình của vận tốc có dạng: \(\text{v} = \omega A cos ⁡ \left(\right. \omega t + \varphi + \frac{\pi}{2} \left.\right)\)

\(\Rightarrow \text{v} = 4 cos ⁡ \left(\right. \pi t - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \left.\right) = 4 cos ⁡ \left(\right. \pi t \left.\right)\) (cm/s)

b. Phương trình dao động điều hòa có dạng: \(x = A cos ⁡ \left(\right. \omega t + \varphi \left.\right)\)

\(\Rightarrow x = \frac{4}{\pi} cos ⁡ \left(\right. \pi t - \frac{\pi}{2} \left.\right)\) (cm)

Phương trình của gia tốc có dạng: \(a = \omega^{2} A cos ⁡ \left(\right. \omega t + \varphi + \pi \left.\right)\)

\(\Rightarrow a = \pi^{2} . \frac{4}{\pi} cos ⁡ \left(\right. \pi t - \frac{\pi}{2} + \pi \left.\right) = 4 \pi cos ⁡ \left(\right. \pi t + \frac{\pi}{2} \left.\right)\) (cm/s²)

Từ phương trình \(x = 5 sin ⁡ \left(\right. 2 \pi t + \frac{\pi}{6} \left.\right)\) (cm) 

\(\Rightarrow A = 5\) cm; \(\omega = 2 \pi\) rad/s

Ta có: \(\text{v} = x^{'} = \omega A cos ⁡ \left(\right. \omega t + \varphi \left.\right) = 2 \pi . 5. cos ⁡ \left(\right. 2 \pi t + \frac{\pi}{6} \left.\right) = 10 \pi cos ⁡ \left(\right. 2 \pi t + \frac{\pi}{6} \left.\right)\) cm/s

a. Ở thời điểm \(t = 5\) s

Ta có: \(x = 5 sin ⁡ \left(\right. 2 \pi . 5 + \frac{\pi}{6} \left.\right) = 2 , 5\) cm

\(\text{v} = 10 \pi cos ⁡ \left(\right. 2 \pi . 5 + \frac{\pi}{6} \left.\right) = 5 \sqrt{30}\) cm/s

\(a = - \omega^{2} x = - \left(\left(\right. 2 \pi \left.\right)\right)^{2} . 2 , 5 = - 100\) cm/s²

b. Khi pha dao động là 120^o.

\(x = 5 sin ⁡ 12 0^{o} = 2 , 5 \sqrt{3}\) cm

\(v = 10 \pi cos ⁡ 12 0^{o} = - 5 \pi\) cm/s

\(a = - \omega^{2} x = - 4 \pi^{2} . 2 , 5 \sqrt{3} = - \sqrt{3}\) cm/s²

Biên độ dao động: \(A = L : 2 = 12 : 2 = 6\) cm

Chu kì là thời gian vật thực hiện được 1 dao động toàn phần, ta có: \(T = \frac{t}{n} = \frac{62 , 8}{20} = 3 , 14\) s

Tần số góc của vật: \(\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{3 , 14} = 2\) rad/s

Ta có công thức: 

\(A^{2} = x^{2} + \frac{v^{2}}{\omega^{2}} \Rightarrow 6^{2} = \left(\left(\right. - 2 \left.\right)\right)^{2} + \frac{v^{2}}{2^{2}}\)

\(\Rightarrow v = \pm 8 \sqrt{2}\)

Mà khi đó vật có li độ \(x\) = -2 cm theo chiều hướng về vị trí cân bằng, tức vật đang chuyển động theo chiều dương \(\Rightarrow v = 8 \sqrt{2}\) cm/s.

Gia tốc của vật: \(a = - \omega^{2} x = - 2^{2} . \left(\right. - 2 \left.\right) = 8\) cm/s²

Chu kì \(T = 4 s \Rightarrow \omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{4} = \frac{\pi}{2}\)

Trong \(t = 6 s = T + \frac{T}{2}\)

Mà quãng đường đi được sau 6s là 48cm nên:

\(S = 4 A + 2 A = 6 A = 48 \Rightarrow A = 8 c m\)

Khi \(t = 0\) vật qua VTCB và hướng về vị trí biên âm nên \(\varphi_{0} = \frac{\pi}{2}\).

PT dao động: 

\(x = A c o s \left(\right. \omega t + \varphi_{0} \left.\right) = 8 c o s \left(\right. \frac{\pi}{2} t + \frac{\pi}{2} \left.\right) \left(\right. c m \left.\right)\)

a. Tính độ dãn của lò xo khi hệ cân bằng.

• Công thức: Khi vật ở vị trí cân bằng, lực đàn hồi của lò xo cân bằng với trọng lực của vật: \(F_{đ h} = P\) Trong đó:
• • \(F_{đ h} = k \cdot \Delta l\) là lực đàn hồi của lò xo, \(k\) là độ cứng của lò xo, \(\Delta l\) là độ dãn của lò xo.
  • \(P = m g\) là trọng lực của vật, \(m\) là khối lượng của vật, \(g\) là gia tốc trọng trường (lấy \(g = 10 \&\text{nbsp};\text{m} / \text{s}^{2}\)).
• Tính toán: \(k \cdot \Delta l = m g\) \(100 \cdot \Delta l = 0.5 \cdot 10\) \(\Delta l = \frac{0.5 \cdot 10}{100} = \frac{5}{100} = 0.05 \&\text{nbsp};\text{m} = 5 \&\text{nbsp};\text{cm}\)
• Kết luận: Độ dãn của lò xo khi hệ cân bằng là 5 cm.

b. Khi vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng, lò xo có độ dãn cực đại là 10 cm. Tính biên độ dao động của vật.

• Phân tích: Độ dãn cực đại của lò xo là tổng của độ dãn khi cân bằng và biên độ dao động. \(\Delta l_{m a x} = \Delta l + A\) Trong đó:
• • \(\Delta l_{m a x} = 10 \&\text{nbsp};\text{cm}\) là độ dãn cực đại của lò xo.
  • \(\Delta l = 5 \&\text{nbsp};\text{cm}\) là độ dãn của lò xo khi cân bằng.
  • \(A\) là biên độ dao động của vật.
• Tính toán: \(10 = 5 + A\) \(A = 10 - 5 = 5 \&\text{nbsp};\text{cm}\)
• Kết luận: Biên độ dao động của vật là 5 cm.

c. Một lực kéo \(F\) tác dụng làm lò xo dãn thêm 6 cm so với vị trí cân bằng. Tính độ lớn lực kéo \(F\).

• Phân tích: Lực kéo \(F\) làm lò xo dãn thêm 6 cm so với vị trí cân bằng, tức là so với độ dãn ban đầu 5 cm. Vậy tổng độ dãn của lò xo so với chiều dài tự nhiên là \(5 + 6 = 11 \&\text{nbsp};\text{cm}\). Lực kéo \(F\) sẽ bằng độ cứng của lò xo nhân với độ dãn thêm này.
• Tính toán: Độ dãn thêm so với chiều dài tự nhiên là 6 cm = 0.06 m. \(F = k \cdot \Delta x\) \(F=100\cdot0.06=6\text{N}\)

a. Tính độ dãn của lò xo khi hệ cân bằng.

• Công thức: Khi vật ở vị trí cân bằng, lực đàn hồi của lò xo cân bằng với trọng lực của vật: \(F_{đ h} = P\) Trong đó:
• • \(F_{đ h} = k \cdot \Delta l\) là lực đàn hồi của lò xo, \(k\) là độ cứng của lò xo, \(\Delta l\) là độ dãn của lò xo.
  • \(P = m g\) là trọng lực của vật, \(m\) là khối lượng của vật, \(g\) là gia tốc trọng trường (lấy \(g = 10 \&\text{nbsp};\text{m} / \text{s}^{2}\)).
• Tính toán: \(k \cdot \Delta l = m g\) \(100 \cdot \Delta l = 0.5 \cdot 10\) \(\Delta l = \frac{0.5 \cdot 10}{100} = \frac{5}{100} = 0.05 \&\text{nbsp};\text{m} = 5 \&\text{nbsp};\text{cm}\)
• Kết luận: Độ dãn của lò xo khi hệ cân bằng là 5 cm.

b. Khi vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng, lò xo có độ dãn cực đại là 10 cm. Tính biên độ dao động của vật.

• Phân tích: Độ dãn cực đại của lò xo là tổng của độ dãn khi cân bằng và biên độ dao động. \(\Delta l_{m a x} = \Delta l + A\) Trong đó:
• • \(\Delta l_{m a x} = 10 \&\text{nbsp};\text{cm}\) là độ dãn cực đại của lò xo.
  • \(\Delta l = 5 \&\text{nbsp};\text{cm}\) là độ dãn của lò xo khi cân bằng.
  • \(A\) là biên độ dao động của vật.
• Tính toán: \(10 = 5 + A\) \(A = 10 - 5 = 5 \&\text{nbsp};\text{cm}\)
• Kết luận: Biên độ dao động của vật là 5 cm.

c. Một lực kéo \(F\) tác dụng làm lò xo dãn thêm 6 cm so với vị trí cân bằng. Tính độ lớn lực kéo \(F\).

• Phân tích: Lực kéo \(F\) làm lò xo dãn thêm 6 cm so với vị trí cân bằng, tức là so với độ dãn ban đầu 5 cm. Vậy tổng độ dãn của lò xo so với chiều dài tự nhiên là \(5 + 6 = 11 \&\text{nbsp};\text{cm}\). Lực kéo \(F\) sẽ bằng độ cứng của lò xo nhân với độ dãn thêm này.
• Tính toán: Độ dãn thêm so với chiều dài tự nhiên là 6 cm = 0.06 m. \(F = k \cdot \Delta x\) \(F=100\cdot0.06=6\text{N}\)

a. Tính độ dãn của lò xo khi hệ cân bằng.

• Công thức: Khi vật ở vị trí cân bằng, lực đàn hồi của lò xo cân bằng với trọng lực của vật: \(F_{đ h} = P\) Trong đó:
• • \(F_{đ h} = k \cdot \Delta l\) là lực đàn hồi của lò xo, \(k\) là độ cứng của lò xo, \(\Delta l\) là độ dãn của lò xo.
  • \(P = m g\) là trọng lực của vật, \(m\) là khối lượng của vật, \(g\) là gia tốc trọng trường (lấy \(g = 10 \&\text{nbsp};\text{m} / \text{s}^{2}\)).
• Tính toán: \(k \cdot \Delta l = m g\) \(100 \cdot \Delta l = 0.5 \cdot 10\) \(\Delta l = \frac{0.5 \cdot 10}{100} = \frac{5}{100} = 0.05 \&\text{nbsp};\text{m} = 5 \&\text{nbsp};\text{cm}\)
• Kết luận: Độ dãn của lò xo khi hệ cân bằng là 5 cm.

b. Khi vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng, lò xo có độ dãn cực đại là 10 cm. Tính biên độ dao động của vật.

• Phân tích: Độ dãn cực đại của lò xo là tổng của độ dãn khi cân bằng và biên độ dao động. \(\Delta l_{m a x} = \Delta l + A\) Trong đó:
• • \(\Delta l_{m a x} = 10 \&\text{nbsp};\text{cm}\) là độ dãn cực đại của lò xo.
  • \(\Delta l = 5 \&\text{nbsp};\text{cm}\) là độ dãn của lò xo khi cân bằng.
  • \(A\) là biên độ dao động của vật.
• Tính toán: \(10 = 5 + A\) \(A = 10 - 5 = 5 \&\text{nbsp};\text{cm}\)
• Kết luận: Biên độ dao động của vật là 5 cm.

c. Một lực kéo \(F\) tác dụng làm lò xo dãn thêm 6 cm so với vị trí cân bằng. Tính độ lớn lực kéo \(F\).

• Phân tích: Lực kéo \(F\) làm lò xo dãn thêm 6 cm so với vị trí cân bằng, tức là so với độ dãn ban đầu 5 cm. Vậy tổng độ dãn của lò xo so với chiều dài tự nhiên là \(5 + 6 = 11 \&\text{nbsp};\text{cm}\). Lực kéo \(F\) sẽ bằng độ cứng của lò xo nhân với độ dãn thêm này.
• Tính toán: Độ dãn thêm so với chiều dài tự nhiên là 6 cm = 0.06 m. \(F = k \cdot \Delta x\) \(F=100\cdot0.06=6\text{N}\)

e ko bt làm

a) Ta có Wtđa^ˋu=mgh=0,2.10.10=20(J)Wtđa^ˋu​​=mgh=0,2.10.10=20(J)

Vận tốc của vật khi chạm đất là v=2gh=2.10.10=102(m/s)v=2gh​=2.10.10​=102​(m/s)

⇒Wđchạmđa^ˊt=12mv2=12.0,2.(102)2=20(J)⇒Wđchạmđa^ˊt​​=21​mv2=21​.0,2.(102​)2=20(J)

Ta thấy Wtđa^ˋu=Wđchạmđa^ˊt=20JWtđa^ˋu​​=Wđchạmđa^ˊt​​=20J

 b) Cơ năng của vật là W=Wtđa^ˋu+Wđđa^ˋuW=Wtđa^ˋu​​+Wđđa^ˋu​​ $=20J$ (vì v0=0(m/s)v0​=0(m/s))

Gọi vị trí mà động năng bằng thế năng là $A$

 ⇒WtA=WđA⇒WtA​​=WđA​​ 

 ⇒WtA=12WA=12W=10J⇒WtA​​=21​WA​=21​W=10J

 ⇒mghA=10J⇒mghA​=10J 

 ⇒0,2.10hA=10J⇒0,2.10hA​=10J

 ⇒hA=5(m)⇒hA​=5(m)