Hướng dẫn giải:

Ta có \(\mathit{A} \mathit{I} = \frac{2 \mathit{A} \mathit{O}}{3} = \frac{2 \mathit{R}}{3}\) suy ra \(\mathit{O} \mathit{I} = \mathit{R} - \frac{2 \mathit{R}}{3} = \frac{\mathit{R}}{3}\)

\(\Delta \mathit{O} \mathit{C} \mathit{I}\) vuông tại \(\mathit{O}\), ta có:

\(\mathit{C} \mathit{I} = \sqrt{\mathit{O} \mathit{C}^{2} + \mathit{O} \mathit{I}^{2}} = \sqrt{\mathit{R}^{2} + \left(\right. \frac{\mathit{R}}{3} \left.\right)^{2}} = \frac{\mathit{R} \sqrt{10}}{3}\) nội tiếp đường tròn  có cạnh \(\mathit{C} \mathit{D}\) là đường kính

Suy ra \(\Delta \mathit{C} \mathit{E} \mathit{D}\) vuông tại \(\mathit{E}\)

Hai tam giác vuông \(\mathit{O} \mathit{C} \mathit{I}\) và \(\mathit{C} \mathit{E} \mathit{D}\) có \(\hat{\mathit{C}}\) :chung 

Suy ra \(\Delta \mathit{C} \mathit{O} \mathit{I} \sim \Delta \mathit{C} \mathit{E} \mathit{D}\)

Suy ra \(\frac{\mathit{C} \mathit{O}}{\mathit{C} \mathit{E}} = \frac{\mathit{C} \mathit{I}}{\mathit{C} \mathit{D}}\)

\(\mathit{C} \mathit{E} = \frac{\mathit{C} \mathit{O} . \mathit{C} \mathit{D}}{\mathit{C} \mathit{I}} = \frac{\mathit{R} . 2 \mathit{R}}{\mathit{R} \frac{\sqrt{10}}{3}} = \frac{6 \mathit{R}}{\sqrt{10}} = \frac{3 \mathit{R} \sqrt{10}}{5}\).

Hướng dẫn giải:

a) Gọi \(\mathit{E} , \mathit{F}\) là tiếp điểm của đường tròn \(\left(\right. \mathit{I} \left.\right)\) với các cạnh \(\mathit{A} \mathit{B} , \mathit{A} \mathit{C}\)

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(\mathit{A} \mathit{E} = \mathit{A} \mathit{F} ; \mathit{B} \mathit{E} = \mathit{B} \mathit{D} ; \mathit{C} \mathit{D} = \mathit{C} \mathit{F}\)

Do đó: \(2 \mathit{B} \mathit{D} = \mathit{B} \mathit{D} + \mathit{B} \mathit{E} = \mathit{B} \mathit{C} - \mathit{C} \mathit{D} + \mathit{A} \mathit{B} - \mathit{A} \mathit{E}\)

\(= \mathit{B} \mathit{C} + \mathit{A} \mathit{B} - \left(\right. \mathit{C} \mathit{D} + \mathit{A} \mathit{E} \left.\right) = \mathit{B} \mathit{C} + \mathit{A} \mathit{B} - \left(\right. \mathit{C} \mathit{F} + \mathit{A} \mathit{F} \left.\right)\)

\(= \mathit{B} \mathit{C} + \mathit{A} \mathit{B} - \mathit{A} \mathit{C}\) suy ra \(\mathit{B} \mathit{D} = \frac{\mathit{B} \mathit{C} + \mathit{A} \mathit{B} - \mathit{A} \mathit{C}}{2}\)

b) Tương tự câu a) ta có: \(\mathit{D} \mathit{C} = \frac{\mathit{B} \mathit{C} + \mathit{A} \mathit{C} - \mathit{A} \mathit{B}}{2}\) mà \(\mathit{A} \mathit{B}^{2} + \mathit{A} \mathit{C}^{2} = \mathit{B} \mathit{C}^{2}\) (\(\Delta \mathit{A} \mathit{B} \mathit{C}\) vuông tại \(\mathit{A}\)), do đó:

\(\mathit{B} \mathit{D} . \mathit{D} \mathit{C} = \frac{\left(\right. \mathit{B} \mathit{C} + \mathit{A} \mathit{B} - \mathit{A} \mathit{C} \left.\right) \left(\right. \mathit{B} \mathit{C} + \mathit{A} \mathit{C} - \mathit{A} \mathit{B} \left.\right)}{4}\)

\(\frac{\mathit{B} \mathit{C}^{2} - \left(\right. \mathit{A} \mathit{B} - \mathit{A} \mathit{C} \left.\right)^{2}}{4} = \frac{\mathit{B} \mathit{C}^{2} - \mathit{A} \mathit{B}^{2} - \mathit{A} \mathit{C}^{2} + 2 \mathit{A} \mathit{B} . \mathit{A} \mathit{C}}{4}\)

\(= \frac{\mathit{A} \mathit{B} . \mathit{A} \mathit{C}}{2} = \mathit{S}_{\mathit{A} \mathit{B} \mathit{C}}\).

Gọi \(\mathit{D} , \mathit{E} , \mathit{F}\) là tiếp điểm của đường tròn \(\left(\right. \mathit{I} \left.\right)\) với \(\mathit{A} \mathit{B}\)

\(\Delta \mathit{A} \mathit{B} \mathit{C}\) vuông tại \(\mathit{A}\), theo định lí Pythagore ta có: \(\mathit{B} \mathit{C} = \sqrt{\mathit{A} \mathit{B}^{2} + \mathit{A} \mathit{C}^{2}} = \sqrt{9^{2} + 1 2^{2}} = 15\) cm

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(\mathit{A} \mathit{D} = \mathit{A} \mathit{F} ; \mathit{B} \mathit{D} = \mathit{B} \mathit{E} ; \mathit{C} \mathit{E} = \mathit{C} \mathit{F}\).

Do đó \(2 \mathit{A} \mathit{D} + 2 \mathit{B} \mathit{E} + 2 \mathit{C} \mathit{E} = \mathit{A} \mathit{B} + \mathit{B} \mathit{C} + \mathit{C} \mathit{A} = 9 + 12 + 15 = 36\)

\(2 \mathit{A} \mathit{D} + 2 \mathit{B} \mathit{C} = 36\)

\(\mathit{A} \mathit{D} = 3\) (cm) suy ra \(\mathit{B} \mathit{D} = 6\) (cm); \(\mathit{D} \mathit{I} = 3\) cm.

Gọi \(\mathit{N} = \mathit{B} \mathit{I} \cap \mathit{A} \mathit{C}\), ta có: \(\frac{\mathit{B} \mathit{I}}{\mathit{B} \mathit{N}} = \frac{\mathit{B} \mathit{D}}{\mathit{B} \mathit{A}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} = \frac{\mathit{B} \mathit{G}}{\mathit{B} \mathit{M}}\)

Suy ra \(\mathit{I} \mathit{G}\) // \(\mathit{N} \mathit{M}\) và \(\mathit{I} \mathit{G} = \frac{2}{3} \mathit{N} \mathit{M}\).

Ta có \(\diamond \mathit{I} \mathit{D} \mathit{A} \mathit{F}\) là hình vuông, có: \(\frac{\mathit{B} \mathit{D}}{\mathit{B} \mathit{A}} = \frac{\mathit{D} \mathit{I}}{\mathit{A} \mathit{N}} = \frac{2}{3}\)

Suy ra \(\mathit{A} \mathit{N} = 4 , 5\) cm.

Mà \(\mathit{M}\) là trung điểm của \(\mathit{A} \mathit{C}\) nên: \(\mathit{N} \mathit{M} = \mathit{A} \mathit{M} - \mathit{A} \mathit{N} = 6 - 4 , 5 = 1 , 5\) (cm) suy ra \(\mathit{I} \mathit{G} = 1\) cm.

Đường tròn \(\left(\right. \mathit{I} ; r \left.\right)\) tiếp xúc với các cạnh \(\mathit{A} \mathit{B} , \mathit{A} \mathit{C} , \mathit{B} \mathit{C}\) theo thứ tự \(\mathit{M} , \mathit{N} , \mathit{P}\).

Ta có: \(\mathit{S}_{\mathit{A} \mathit{I} \mathit{B}} = \frac{1}{2} \mathit{I} \mathit{M} . \mathit{A} \mathit{B} = \frac{1}{2} r . \mathit{A} \mathit{B}\) (1);

\(\mathit{S}_{\mathit{A} \mathit{I} \mathit{C}} = \frac{1}{2} \mathit{I} \mathit{N} . \mathit{A} \mathit{C} = \frac{1}{2} r . \mathit{A} \mathit{C}\) (2);

\(\mathit{S}_{\mathit{B} \mathit{I} \mathit{C}} = \frac{1}{2} r . \mathit{B} \mathit{C}\) (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3), ta được: \(\frac{\mathit{S}_{\mathit{A} \mathit{I} \mathit{B}} + \mathit{S}_{\mathit{A} \mathit{I} \mathit{C}} + \mathit{S}_{\mathit{B} \mathit{I} \mathit{C}}}{\mathit{S}_{\mathit{A} \mathit{B} \mathit{C}}} = \frac{1}{2} r . \left(\right. \mathit{A} \mathit{B} + \mathit{A} \mathit{C} + \mathit{B} \mathit{C} \left.\right)\)

Mà \(\mathit{S}_{\mathit{A} \mathit{B} \mathit{C}} = \frac{1}{2} \mathit{A} \mathit{B} . \mathit{A} \mathit{C} = \frac{6.8}{2} = 24\) cm², \(\mathit{B} \mathit{C} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\) cm

Nên ta có: \(24 = \frac{1}{2} r \left(\right. 6 + 8 + 10 \left.\right)\) suy ra \(r = 2\) (cm).