a) Do ABCD là hình bình hành

\(\Rightarrow A D = B C\) ( T/C) và \(A D\) // \(B C\) ( Đ/N )

Do \(A D\) // \(B C\) (cmt)

\(\Rightarrow \hat{A D H} = \hat{C B K}\) (so le trong)

Xét hai tam giác vuông: \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) có:

\(A D = B C\) (cmt)

\(\hat{A D H} = \hat{C B K}\) (cmt)

\(\Rightarrow \Delta A D H = \Delta C B K\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow A H = C K\) (hai cạnh tương ứng)

Do \(A H \bot B D\) (gt)

\(C K \bot B D\) (gt)

\(\Rightarrow A H\) // \(C K\)

Xét tứ giác AHCK có:

\(A H\) // \(C K\) (cmt)

\(A H = C K\) (cmt)

\(\Rightarrow A H C K\) là hình bình hành

b) Do AHCK là hình bình hành (cmt)

\(I\) là trung điểm của HK (gt)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của AC

Do ABCD là hình bình hành (gt)

\(I\) là trung điểm của AC (cmt)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của BD

\(\Rightarrow I B = I D\)

a) Ta có ABCD là hình bình hành 

Suy ra : AD=BC ( T/C )

Mà E là trung điểm của AD ; F là trung điểm của BC

Suy ra : AE=DE=BF=CF

Xét tứ giác EBFD có : BF//ED ( BC//AD )

                                    BF=ED ( cmt )

Suy ra EBFD là hình bình hành .

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD là AC và BD.

Suy ra : O là trung điểm của BD

=> 3 điểm B ; O ; D thẳng hàng 

Ta có : EBFD là hình bình hành ( cmt ) 

Suy ra : BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường .

Mà O là trung điểm của BD 

Suy ra : O cũng là trung điểm của EF.

=> 3 điểm F;O;E thẳng hàng.

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tâm của tam giác ABC Suy ra GM = GB /2 ; GN = GC /2 (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà P là trung điểm của GB (giả thiết) nên (2) GP = PB = GB /2

Q là trung điểm của GC (giả thiết) nên GQ = QC = GC /2 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra GM=GP và GN = GQ

Xét tứ giác PQMN có: GM = GP và GN = GQ (chứng minh trên)

Do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tâm của tam giác ABC Suy ra GM = GB /2 ; GN = GC /2 (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà P là trung điểm của GB (giả thiết) nên (2) GP = PB = GB /2

Q là trung điểm của GC (giả thiết) nên GQ = QC = GC /2 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra GM=GP và GN = GQ

Xét tứ giác PQMN có: GM = GP và GN = GQ (chứng minh trên)

Do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tâm của tam giác ABC Suy ra GM = GB /2 ; GN = GC /2 (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà P là trung điểm của GB (giả thiết) nên (2) GP = PB = GB /2

Q là trung điểm của GC (giả thiết) nên GQ = QC = GC /2 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra GM=GP và GN = GQ

Xét tứ giác PQMN có: GM = GP và GN = GQ (chứng minh trên)

Do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tâm của tam giác ABC Suy ra GM = GB /2 ; GN = GC /2 (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà P là trung điểm của GB (giả thiết) nên (2) GP = PB = GB /2

Q là trung điểm của GC (giả thiết) nên GQ = QC = GC /2 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra GM=GP và GN = GQ

Xét tứ giác PQMN có: GM = GP và GN = GQ (chứng minh trên)

Do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.