a) Chứng minh tứ giác \(A H C K\) là hình bình hành

Ta có \(A H \bot B D\) và \(C K \bot B D\) ⇒ \(A H \parallel C K\) (cùng vuông góc với \(B D\)).

\(H , K\) là hình chiếu của \(A , C\) lên đường thẳng \(B D\), do đó:

\(\overset{\rightarrow}{A H} \bot \overset{\rightarrow}{B D} , \overset{\rightarrow}{C K} \bot \overset{\rightarrow}{B D} .\)

Xét vectơ \(\overset{\rightarrow}{A H}\) và \(\overset{\rightarrow}{C K}\), chúng cùng phương (vuông góc với \(B D\)).

Cũng có:

\(\overset{\rightarrow}{H C} = \overset{\rightarrow}{C} - \overset{\rightarrow}{H} , \overset{\rightarrow}{A K} = \overset{\rightarrow}{K} - \overset{\rightarrow}{A} .\)

Mà \(H , K\) là hình chiếu vuông góc lên \(B D\), nên:

\(\overset{\rightarrow}{H K} \parallel \overset{\rightarrow}{A C} .\)

Vì \(A B C D\) là hình bình hành, \(\overset{\rightarrow}{A C} = \overset{\rightarrow}{B D}\) (cùng chiều hoặc ngược chiều) nên \(\overset{\rightarrow}{H K} \parallel \overset{\rightarrow}{B D}\).

Từ đó, tứ giác \(A H C K\) có hai cặp cạnh đối song song:

• \(A H \parallel C K\),
• \(H K \parallel A C\).

Vậy, \(A H C K\) là hình bình hành.

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(H K\). Chứng minh \(I B = I D\).

Ta có \(I\) là trung điểm của đoạn \(H K\).

Do \(H , K\) nằm trên \(B D\), đoạn \(H K\) là một đoạn thẳng nằm trên \(B D\).

\(I\) là trung điểm của \(H K\), nên \(I\) cũng nằm trên \(B D\).

Do \(B , D , H , K , I\) cùng nằm trên đường thẳng \(B D\).

Vì \(I\) là trung điểm của \(H K\), nên khoảng cách từ \(I\) đến \(B\) và \(D\) bằng nhau:

\(I B = I D .\)

Kết luận:

• \(A H C K\) là hình bình hành.
• Điểm \(I\) trung điểm của \(H K\) thỏa mãn \(I B = I D\).

a) Chứng minh tứ giác \(E B F D\) là hình bình hành

Ta có:

• \(E\) là trung điểm của \(A D\) ⇒ \(\overset{\rightarrow}{E} = \frac{\overset{\rightarrow}{A} + \overset{\rightarrow}{D}}{2}\)
• \(F\) là trung điểm của \(B C\) ⇒ \(\overset{\rightarrow}{F} = \frac{\overset{\rightarrow}{B} + \overset{\rightarrow}{C}}{2}\)

Vì \(A B C D\) là hình bình hành ⇒ \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{D C}\) và \(\overset{\rightarrow}{A D} = \overset{\rightarrow}{B C}\).

Xét hai vectơ đối của tứ giác \(E B F D\):

\(\overset{\rightarrow}{E B} = \overset{\rightarrow}{B} - \overset{\rightarrow}{E} = \overset{\rightarrow}{B} - \frac{\overset{\rightarrow}{A} + \overset{\rightarrow}{D}}{2} = \frac{2 \overset{\rightarrow}{B} - \overset{\rightarrow}{A} - \overset{\rightarrow}{D}}{2}\) \(\overset{\rightarrow}{F D} = \overset{\rightarrow}{D} - \overset{\rightarrow}{F} = \overset{\rightarrow}{D} - \frac{\overset{\rightarrow}{B} + \overset{\rightarrow}{C}}{2} = \frac{2 \overset{\rightarrow}{D} - \overset{\rightarrow}{B} - \overset{\rightarrow}{C}}{2}\)

Mà trong hình bình hành \(A B C D\):
\(\overset{\rightarrow}{A} + \overset{\rightarrow}{C} = \overset{\rightarrow}{B} + \overset{\rightarrow}{D}\).

Thay vào, ta được:

\(\overset{\rightarrow}{E B} = - \textrm{ } \overset{\rightarrow}{F D} \Rightarrow E B \parallel F D , \&\text{nbsp}; E B = F D\)

Tương tự, chứng minh được \(E F \parallel B D\).

Vậy tứ giác \(E B F D\) có hai cặp cạnh đối song song ⇒

\(\boxed{E B F D \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{nh}.}\)

b) Chứng minh ba điểm \(E , O , F\) thẳng hàng

Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) ⇒ \(O\) là trung điểm của cả \(A C\) và \(B D\).

Ta có:

\(\overset{\rightarrow}{O} = \frac{\overset{\rightarrow}{A} + \overset{\rightarrow}{C}}{2}\)

Từ giả thiết \(E\) và \(F\) là trung điểm của \(A D\) và \(B C\):

\(\overset{\rightarrow}{E} = \frac{\overset{\rightarrow}{A} + \overset{\rightarrow}{D}}{2} , \overset{\rightarrow}{F} = \frac{\overset{\rightarrow}{B} + \overset{\rightarrow}{C}}{2}\)

Mà trong hình bình hành \(A B C D\):
\(\overset{\rightarrow}{A} + \overset{\rightarrow}{C} = \overset{\rightarrow}{B} + \overset{\rightarrow}{D}\).

Cộng hai vế của đẳng thức trên với nhau rồi chia đôi, ta thấy:

\(\overset{\rightarrow}{O} = \frac{\overset{\rightarrow}{E} + \overset{\rightarrow}{F}}{2}\)

Điều này chứng tỏ \(O\) là trung điểm của đoạn \(E F\).

Suy ra:

\(\boxed{E , O , F \&\text{nbsp};\text{th}ẳ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{ng}.}\)

Cho tam giác \(A B C\) có hai đường trung tuyến \(B M , C N\) cắt nhau tại \(G\).
Gọi \(P , Q\) lần lượt là trung điểm của \(G B , G C\).

Ta có \(M\) là trung điểm của \(A C\), \(N\) là trung điểm của \(A B\).
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác nên \(B G : G M = 2 : 1\) và \(C G : G N = 2 : 1\).

Trên trung tuyến \(B M\) có \(P\) là trung điểm của \(G B\), nên \(G P = P B = \frac{1}{2} G B = \frac{1}{3} G M\).
Tương tự, trên trung tuyến \(C N\) có \(Q\) là trung điểm của \(G C\), nên \(G Q = Q C = \frac{1}{2} G C = \frac{1}{3} G N\).

Suy ra hai tam giác \(G P M\) và \(G Q N\) đồng dạng (vì có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tỉ lệ \(G P : G M = G Q : G N = \frac{1}{3}\)).
Do đó \(P Q \parallel M N\) và \(P Q = \frac{1}{3} M N\).

Mặt khác, ta cũng có \(P M \parallel Q N\) (vì các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng song song với nhau).

Vậy tứ giác \(P Q M N\) có hai cặp cạnh đối song song ⇒ \(P Q M N\) là hình bình hành.

Cho hình bình hành \(A B C D\).
Gọi \(E\) sao cho \(B\) là trung điểm của \(A E\) ⇒ \(\overset{\rightarrow}{B} = \frac{\overset{\rightarrow}{A} + \overset{\rightarrow}{E}}{2}\) ⇒ \(\overset{\rightarrow}{E} = 2 \overset{\rightarrow}{B} - \overset{\rightarrow}{A}\).
Gọi \(F\) sao cho \(C\) là trung điểm của \(D F\) ⇒ \(\overset{\rightarrow}{C} = \frac{\overset{\rightarrow}{D} + \overset{\rightarrow}{F}}{2}\) ⇒ \(\overset{\rightarrow}{F} = 2 \overset{\rightarrow}{C} - \overset{\rightarrow}{D}\).

a) Chứng minh \(A E F D\) và \(A B F C\) là hình bình hành

Ta có \(A B C D\) là hình bình hành ⇒ \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{D C}\).

\(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{\rightarrow}{E} - \overset{\rightarrow}{A} = \left(\right. 2 \overset{\rightarrow}{B} - \overset{\rightarrow}{A} \left.\right) - \overset{\rightarrow}{A} = 2 \overset{\rightarrow}{B} - 2 \overset{\rightarrow}{A} = 2 \overset{\rightarrow}{A B}\) \(\overset{\rightarrow}{D F} = \overset{\rightarrow}{F} - \overset{\rightarrow}{D} = \left(\right. 2 \overset{\rightarrow}{C} - \overset{\rightarrow}{D} \left.\right) - \overset{\rightarrow}{D} = 2 \overset{\rightarrow}{C} - 2 \overset{\rightarrow}{D} = 2 \overset{\rightarrow}{C D}\)

Mà \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{D C}\) ⇒ \(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{\rightarrow}{D F}\).
Vậy \(A E \parallel D F\) và \(A E = D F\).

Mặt khác, trong hình bình hành \(A B C D\), \(A D \parallel B C\), mà \(E\) nằm trên tia đối của \(A B\) còn \(F\) nằm trên tia đối của \(C D\) ⇒ \(A D \parallel E F\).
Suy ra tứ giác \(A E F D\) có hai cặp cạnh đối song song ⇒ \(A E F D\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A B F C\):

\(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{A B} , \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{\rightarrow}{C} - \overset{\rightarrow}{F} = \overset{\rightarrow}{C} - \left(\right. 2 \overset{\rightarrow}{C} - \overset{\rightarrow}{D} \left.\right) = \overset{\rightarrow}{D} - \overset{\rightarrow}{C} = - \overset{\rightarrow}{C D}\)

Mà \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{D C}\) ⇒ \(\overset{\rightarrow}{A B} = - \overset{\rightarrow}{F C}\).
Vậy \(A B \parallel F C\), \(A B = F C\).

Tương tự, \(A F \parallel B C\) (do cùng song song với \(A D\)).
⇒ \(A B F C\) có hai cặp cạnh đối song song ⇒ \(A B F C\) là hình bình hành.

b) Chứng minh trung điểm của \(A F , D E , B C\) trùng nhau

Gọi \(I , J , K\) lần lượt là trung điểm của \(A F , D E , B C\).

Tính tọa độ (dạng vectơ):

\(\overset{\rightarrow}{I} = \frac{\overset{\rightarrow}{A} + \overset{\rightarrow}{F}}{2} , \overset{\rightarrow}{J} = \frac{\overset{\rightarrow}{D} + \overset{\rightarrow}{E}}{2} , \overset{\rightarrow}{K} = \frac{\overset{\rightarrow}{B} + \overset{\rightarrow}{C}}{2}\)

Thay \(\overset{\rightarrow}{E} = 2 \overset{\rightarrow}{B} - \overset{\rightarrow}{A}\), \(\overset{\rightarrow}{F} = 2 \overset{\rightarrow}{C} - \overset{\rightarrow}{D}\):

\(\overset{\rightarrow}{I} = \frac{\overset{\rightarrow}{A} + \left(\right. 2 \overset{\rightarrow}{C} - \overset{\rightarrow}{D} \left.\right)}{2} = \frac{\overset{\rightarrow}{A} - \overset{\rightarrow}{D}}{2} + \overset{\rightarrow}{C}\) \(\overset{\rightarrow}{J} = \frac{\overset{\rightarrow}{D} + \left(\right. 2 \overset{\rightarrow}{B} - \overset{\rightarrow}{A} \left.\right)}{2} = \frac{\overset{\rightarrow}{D} - \overset{\rightarrow}{A}}{2} + \overset{\rightarrow}{B}\) \(\overset{\rightarrow}{K} = \frac{\overset{\rightarrow}{B} + \overset{\rightarrow}{C}}{2}\)

Mà trong hình bình hành \(A B C D\):
\(\overset{\rightarrow}{B} = \overset{\rightarrow}{A} + \overset{\rightarrow}{A D}\), \(\overset{\rightarrow}{C} = \overset{\rightarrow}{A} + \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A D}\).
Thay vào và rút gọn sẽ được:

\(\overset{\rightarrow}{I} = \overset{\rightarrow}{J} = \overset{\rightarrow}{K}\)

⇒ Ba trung điểm \(I , J , K\) trùng nhau.

Cho hình bình hành \(A B C D\), hai đường chéo cắt nhau tại \(O\).
Đường thẳng qua \(O\) cắt \(A B\) tại \(M\) và cắt \(C D\) tại \(N\).

Ta có \(O\) là trung điểm của \(A C\) ⇒ \(A O = O C\).
Vì \(A B \parallel C D\) nên \(\angle O A M = \angle O C N\), \(\angle O M A = \angle O N C\).
Suy ra \(\triangle O A M = \triangle O C N\) (g-c-g).

Từ đó, \(A M / A B = C N / C D\).
Vì \(A B \parallel C D\) nên \(M N \parallel B D\).
Lại có \(M B \parallel N D\) (vì cùng song song với \(A D\)).
Suy ra tứ giác \(M B N D\) có hai cặp cạnh đối song song ⇒ \(M B N D\) là hình bình hành.

Cho hình bình hành \(A B C D\), hai đường chéo cắt nhau tại \(O\).
Đường thẳng qua \(O\) cắt \(A B\) tại \(M\) và cắt \(C D\) tại \(N\).

Ta có \(O\) là trung điểm của \(A C\) ⇒ \(A O = O C\).
Vì \(A B \parallel C D\) nên \(\angle O A M = \angle O C N\), \(\angle O M A = \angle O N C\).
Suy ra \(\triangle O A M = \triangle O C N\) (g-c-g).

Từ đó, \(A M / A B = C N / C D\).
Vì \(A B \parallel C D\) nên \(M N \parallel B D\).
Lại có \(M B \parallel N D\) (vì cùng song song với \(A D\)).
Suy ra tứ giác \(M B N D\) có hai cặp cạnh đối song song ⇒ \(M B N D\) là hình bình hành.

Cho hình bình hành \(A B C D\), hai đường chéo cắt nhau tại \(O\).
Đường thẳng qua \(O\) cắt \(A B\) tại \(M\) và cắt \(C D\) tại \(N\).

Ta có \(O\) là trung điểm của \(A C\) ⇒ \(A O = O C\).
Vì \(A B \parallel C D\) nên \(\angle O A M = \angle O C N\), \(\angle O M A = \angle O N C\).
Suy ra \(\triangle O A M = \triangle O C N\) (g-c-g).

Từ đó, \(A M / A B = C N / C D\).
Vì \(A B \parallel C D\) nên \(M N \parallel B D\).
Lại có \(M B \parallel N D\) (vì cùng song song với \(A D\)).
Suy ra tứ giác \(M B N D\) có hai cặp cạnh đối song song ⇒ \(M B N D\) là hình bình hành.

Ta biết:

• \(A B C D\) là hình bình hành ⇒ \(A B \parallel C D\) và \(A D \parallel B C\).

Do \(E\) là trung điểm của \(A B\), nên:

\(\overset{\rightarrow}{A E} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B}\)

Do \(F\) là trung điểm của \(C D\), nên:

\(\overset{\rightarrow}{D F} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{D C}\)

Mà trong hình bình hành \(A B C D\):

\(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{D C}\)

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{\rightarrow}{D F}\)

⇒ Hai vectơ này song song và bằng nhau, tức là \(A E \parallel D F\) và \(A E = D F\).

Ngoài ra, \(A D\) là cạnh chung của hai tứ giác \(A E F D\).

Mặt khác, trong hình bình hành \(A B C D\): \(A D \parallel B C\), mà \(E\) thuộc \(A B\), \(F\) thuộc \(C D\), nên \(E F \parallel A D\).

Vậy ta có:

• \(A E \parallel D F\)
• \(A D \parallel E F\)

⇒ Tứ giác \(A E F D\) có hai cặp cạnh đối song song → \(A E F D\) là hình bình hành.

Tương tự, ta xét:

\(\overset{\rightarrow}{A E} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} , \overset{\rightarrow}{C F} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{C D}\)

Trong hình bình hành \(A B C D\): \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{D C}\)
⇒ \(\overset{\rightarrow}{A E} = - \overset{\rightarrow}{C F}\)

→ \(A E \parallel C F\) và \(A E = C F\).

Ngoài ra, \(A F\) nối hai trung điểm \(E , F\) của các cạnh song song \(A B\) và \(C D\) ⇒ \(A F \parallel E C\).

Vậy \(A E C F\) cũng có hai cặp cạnh đối song song ⇒ \(A E C F\) là hình bình hành.

Ta biết:

• \(A B C D\) là hình bình hành ⇒ \(A B \parallel C D\) và \(A D \parallel B C\).

Do \(E\) là trung điểm của \(A B\), nên:

\(\overset{\rightarrow}{A E} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B}\)

Do \(F\) là trung điểm của \(C D\), nên:

\(\overset{\rightarrow}{D F} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{D C}\)

Mà trong hình bình hành \(A B C D\):

\(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{D C}\)

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{\rightarrow}{D F}\)

⇒ Hai vectơ này song song và bằng nhau, tức là \(A E \parallel D F\) và \(A E = D F\).

Ngoài ra, \(A D\) là cạnh chung của hai tứ giác \(A E F D\).

Mặt khác, trong hình bình hành \(A B C D\): \(A D \parallel B C\), mà \(E\) thuộc \(A B\), \(F\) thuộc \(C D\), nên \(E F \parallel A D\).

Vậy ta có:

• \(A E \parallel D F\)
• \(A D \parallel E F\)

⇒ Tứ giác \(A E F D\) có hai cặp cạnh đối song song → \(A E F D\) là hình bình hành.

Tương tự, ta xét:

\(\overset{\rightarrow}{A E} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} , \overset{\rightarrow}{C F} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{C D}\)

Trong hình bình hành \(A B C D\): \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{D C}\)
⇒ \(\overset{\rightarrow}{A E} = - \overset{\rightarrow}{C F}\)

→ \(A E \parallel C F\) và \(A E = C F\).

Ngoài ra, \(A F\) nối hai trung điểm \(E , F\) của các cạnh song song \(A B\) và \(C D\) ⇒ \(A F \parallel E C\).

Vậy \(A E C F\) cũng có hai cặp cạnh đối song song ⇒ \(A E C F\) là hình bình hành.

Ta biết:

• \(A B C D\) là hình bình hành ⇒ \(A B \parallel C D\) và \(A D \parallel B C\).

Do \(E\) là trung điểm của \(A B\), nên:

\(\overset{\rightarrow}{A E} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B}\)

Do \(F\) là trung điểm của \(C D\), nên:

\(\overset{\rightarrow}{D F} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{D C}\)

Mà trong hình bình hành \(A B C D\):

\(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{D C}\)

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{\rightarrow}{D F}\)

⇒ Hai vectơ này song song và bằng nhau, tức là \(A E \parallel D F\) và \(A E = D F\).

Ngoài ra, \(A D\) là cạnh chung của hai tứ giác \(A E F D\).

Mặt khác, trong hình bình hành \(A B C D\): \(A D \parallel B C\), mà \(E\) thuộc \(A B\), \(F\) thuộc \(C D\), nên \(E F \parallel A D\).

Vậy ta có:

• \(A E \parallel D F\)
• \(A D \parallel E F\)

⇒ Tứ giác \(A E F D\) có hai cặp cạnh đối song song → \(A E F D\) là hình bình hành.

Tương tự, ta xét:

\(\overset{\rightarrow}{A E} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} , \overset{\rightarrow}{C F} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{C D}\)

Trong hình bình hành \(A B C D\): \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{D C}\)
⇒ \(\overset{\rightarrow}{A E} = - \overset{\rightarrow}{C F}\)

→ \(A E \parallel C F\) và \(A E = C F\).

Ngoài ra, \(A F\) nối hai trung điểm \(E , F\) của các cạnh song song \(A B\) và \(C D\) ⇒ \(A F \parallel E C\).

Vậy \(A E C F\) cũng có hai cặp cạnh đối song song ⇒ \(A E C F\) là hình bình hành.