a) Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC.

Do AD // BC nên góc ADB=góc CBD(so le trong)

Xét DADH và DCBK có:

góc AHD=góc CKB=90°

AD = BC (chứng minh trên);

góc ADH=góc CBK (do ˆADB=ˆCBD).

Do đó DADH = DCBK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng).

Ta có AH ⊥ DB và CK ⊥ DB nên AH // CK.

Tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK nên AHCK là hình bình hành

vậy AHCK là hình bình hành

b) Vì \(A H C K\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(HK\) và \(A C\) cắt nhau tại trung điểm.

Mà \(I\) là trung điểm củaHK.

Suy ra \(I\) là trung điểm của \(A C\).

Ta lại có \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm. 

b) Vì \(A H C K\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(H K\) và \(A C\) cắt nhau tại trung điểm.

Mà \(I\) là trung điểm của \(H K\).

Suy ra \(I\) là trung điểm của \(A C\).

Ta lại có \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm. 

Suy ra \(I\) là trung điểm của \(B D\) hay \(I B = I D\)

Vậy IB=ID

a) Ta có : t/g ABCD là hbh 

Suy ra : AD=BC

Mà E là trung điểm của AD ; F là trung điểm của BC

Suy ra : AE=DE=BF=CF

Xét tứ giác EBFD có : BF//ED ( BC//AD ); BF=ED ( cmt )

Suy ra : t/g EBFD là hbh.

b) Từ O là giao điểm của hai đường chéo của hbh ABCD hay là giao điểm của AC và BD.

Suy ra : O là trung điểm của BD hay 3 điểm B ; O ; D thẳng hàng 

Ta có :

Tứ Giác EBFD là hbh ( cmt ) 

Vậy EBFD là hình bình hành

Suy ra : BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường .

Mà O là trung điểm của BD 

Suy ra O cũng là trung điểm của EF.

suy ra 3 điểm F;O;E thẳng hàng.

Vậy F;O;E thẳng hàng

Xét ΔABC có AN/AB=AM/AC=1/2

nên NM//BC và NM=1/2BC(1)

Xét ΔGBC có GP/GB=GQ/GC=1/2

nên PQ//BC và PQ=BC/2(2)

Từ (1), (2) suy ra NM//PQ và NM=PQ

Suy Ra MNPQ là hình bình hành

Vậy MNPQ là hình bình hành

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.

⇒ AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

Vậy ABFC là hình bình hành

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra ˆOAM=ˆOCN

 (hai góc so le trong).

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

góc OAM=góc OCN(chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

góc AOM=góc CON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mà AB = CD (chứng minh trên)Suy Ra AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

Vậy MBND là hình bình hành

• a)Vì ABCD là hình bình hành, nên AD song song với BC và AD = BC.
• Vì E là trung điểm của AB và F là trung điểm của CD, nên AE = EB = AB/2 và DF = FC = CD/2.
• Vì AB song song với CD, nên AE song song với DF.
• Vì ABCD là hình bình hành, nên AB = CD, suy ra AE = DF.
• Do đó, tứ giác AEFD có các cạnh đối song song và bằng nhau (AE // DF và AE = DF), nên AEFD là hình bình hành.
• Vậy AEFD là hình bình hành
• Vì AD song song với BC và AD = BC.
• Vì E là trung điểm AB, F là trung điểm CD.
• Do AE song song với FC và AE = FC (vì AE = AB/2, FC = CD/2 và AB=CD).
• Do đó, tứ giác AECF có các cạnh đối song song và bằng nhau (AE // FC và AE = FC), nên AECF là hình bình hành.
• Vậy AECF là hình bình hành
• b)Vì AEFD là hình bình hành (chứng minh ở câu a), ta có EF song song với AD và EF = AD.
• Vì AECF là hình bình hành (chứng minh ở câu a), ta có AF song song với EC và AF = EC.
• Vậy EF=AD,AF=EC