a) Ta có: - OI = KN (bán kính (K)) - OK = IM (bán kính (I)) ⇒ OI + OK = KN + IM = IK + KN + IM - IK = IN + KM Mà IN = OK, KM = OI ⇒ IK = OI + OK ⇒ (I) và (K) cắt nhau (đpcm) b) Ta có: - CM ⊥ IM, CN ⊥ KN - ∠MON = 90° ⇒ OMCN là hình chữ nhật Mà IM = IN (= OK = OI) ⇒ OMCN là hình vuông (đpcm) c) Xét (I): AB là dây chung, IM = IN ⇒ MI là trung trực AB ⇒ CA = CB (1) (I) và (K) cắt nhau tại A, B ⇒ AB là trục đẳng phương ⇒ (không có liên kết) = (không có liên kết) Mà CM = CN (OMCN hình vuông) ⇒ CA = CB (2) Từ (1) và (2) ⇒ C ∈ AB ⇒ A, B, C thẳng hàng (đpcm) d) Gọi F là giao AB và phân giác Oz góc xOy Kẻ IE ⊥ OF, KG ⊥ OF Dễ chứng minh △OIE = △OKG (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ OE = OG, IE = KG ⇒ F cố định (đpcm)

a) Kẻ OI' // AB, O'I'' // AB ⇒ OI' ⊥ MI, O'I'' ⊥ MI mà OI' và O'I'' cùng đi qua O, O' ⇒ I' ≡ I'' ≡ I ⇒ OA // IB, O'A // IB ⇒ OA // O'B, OB // O'A ⇒ OAO'B là hình bình hành, I là trung điểm OO' ⇒ I là trung điểm AB ⇒ M là trung điểm AB (đpcm) b) Ta có: - AB ⊥ MI - AP // MI // BQ (cùng ⊥ AB) ⇒ AP // BQ Mà AM = BM, ∠AMP = ∠BMQ (đối đỉnh) ⇒ △AMP = △BMQ (g.c.g) ⇒ MP = MQ ⇒ ME là trung tuyến △MPQ, MI ⊥ PQ ⇒ △EPQ cân tại E ⇒ EP = EQ (đpcm) c) Kẻ IH ⊥ PQ, IK ⊥ AB IH // AB, IK // PQ Tứ giác HIKM có 3 góc vuông ⇒ HIKM là hình chữ nhật ⇒ IH = MK, IK = MH Mà MK = MH (do M là trung điểm AB, I là trung điểm OO') ⇒ IH = IK (đpcm)

a) Ta có: - ∠BAC = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ⇒ CA ⊥ AB (1) - ∠BAD = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O')) ⇒ DA ⊥ AB (2) Từ (1) và (2) ⇒ C, A, D thẳng hàng (đpcm) b) Xét △OBO' có: OB^2 + O'B^2 = 4^2 + 3^2 = 25 = 5^2 = OO'^2 ⇒ △OBO' vuông tại B (định lý Pytago đảo) ⇒ OB ⊥ O'B ⇒ BC ⊥ BD (vì C, O, B thẳng hàng; D, O', B thẳng hàng) ⇒ △BCD vuông tại B Diện tích △BCD = 1/2 . BC . BD = 1/2 . 8 . 6 = 24 cm^2

a) Ta có: OO' = 13 cm, R + r = 12 + 5 = 17 cm, R - r = 12 - 5 = 7 cm Vì |R - r| < OO' < R + r nên hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. b) Xét △OAO' có: OA^2 + O'A^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2 = OO'^2 ⇒ △OAO' vuông tại A (định lý Pytago đảo) ⇒ OA ⊥ O'A tại A ⇒ OA là tiếp tuyến của (O') Tương tự, O'A ⊥ OA tại A ⇒ O'A là tiếp tuyến của (O) Gọi H là giao điểm của AB và OO' AB là dây chung của (O) và (O') ⇒ OO' là đường trung trực của AB ⇒ AH ⊥ OO' tại H và H là trung điểm AB △OAO' vuông tại A, AH là đường cao: 1/AH^2 = 1/OA^2 + 1/O'A^2 = 1/12^2 + 1/5^2 = 169/3600 ⇒ AH = 60/13 cm ⇒ AB = 2AH = 120/13 cm