Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của bốn cạnh AB,BC,CD và DA của hình thoi ABCD.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có AC⊥BD.

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta được:

OM=12ABON=12BCOP=12CDOQ=12AD

Mặt khác AB=BC=CD=DA nên OM=ON=OP=OQ.

Do đó bốn điểm M,N,P,Q cùng nằm trên một đường tròn.

Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của bốn cạnh AB,BC,CD và DA của hình thoi ABCD.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có AC⊥BD.

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta được:

OM=12ABON=12BCOP=12CDOQ=12AD

Mặt khác AB=BC=CD=DA nên OM=ON=OP=OQ.

Do đó bốn điểm M,N,P,Q cùng nằm trên một đường tròn.

Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của bốn cạnh AB,BC,CD và DA của hình thoi ABCD.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có AC⊥BD.

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta được:

OM=12ABON=12BCOP=12CDOQ=12AD

Mặt khác AB=BC=CD=DA nên OM=ON=OP=OQ.

Do đó bốn điểm M,N,P,Q cùng nằm trên một đường tròn.

Gọi O là trung điểm của BC.

Ta có: BD là đường cao nên BD ⊥ AC, hay tam giác BDC vuông tại D.

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên

OD = OB = OC = 1/2BC (1).

Tương tự, ta có: OE = OB = OC = 12BC  (2) và OF = OB = OC = 1/2BC  (3).

Do đó, năm điểm B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn (O; R) với R = 1/2BC

Ta có: góc AEM=90 độ
nên E nằm trên đường tròn đường kính AM(1)

Ta có: góc AHM=90 độ

nên H nằm trên đường tròn đường kính AM(2)

Ta có: góc ADM=90 độ

nên D nằm trên đường tròn đường kính AM(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra A,D,M,H,E cùng nằm trên 1 đường tròn

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có:

OA = OB = OC = OD = 1/2AC = 1/2BD.

Do đó, bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O;1/2AC), bán kính AC

a) Gọi O là trung điểm của AC. Khi đó OA = OC = 1/2AC

Xét ∆ABC vuông tại B có đường trung tuyến BO ứng với cạnh huyền AC, do đó BO = 1/2AC

Suy ra OA = OB = OC = 1/2AC (1)

Chứng minh tương tự đối với AADC vuông tại D, ta cũng có: OA = OD = OC = 1/2AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra OA = OB = OC = OD = 1/2AC

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn đường kính AC.

a) Gọi O là trung điểm của AC. Khi đó OA = OC = 1/2 * AC

Xét ∆ABC vuông tại B có đường trung tuyến BO ứng với cạnh huyền AC, do đó BO = 1/2 * AC

Suy ra OA = OB = OC = 1/2 * AC (1)

Chứng minh tương tự đối với AADC vuông tại D, ta cũng có: OA = OD = OC = 1/2 * AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra OA = OB = OC = OD = 1/2AC

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn đường kính AC.