Do ABCD là hình bình hành nên AD // \(B C\) và \(A D = B C\).

Do \(A D\) // \(B C\) nên \(\hat{A D B} \&\text{nbsp}; = \hat{C B D}\) (so le trong)

Xét \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) có:

     \(\hat{A H D}=\hat{C K B}=90^{\circ}\);

     \(A D = B C\) (Cmt);

     \(\hat{A D H}=\hat{C B K}\)

Do đó \(\Delta ADH=\Delta CBK\) (cạnh huyền – góc nhọn).

=>\(A H = C K\) (hai cạnh tương ứng).1

Mà AH vuông góc với BD và CK cũng vuông góc với BD nên AH//CK 2

Từ 1 và 2 suy ra AHCK là hình bình hành

b. Do \(A H C K\) là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéoAC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của HK \(\) (gt) nên I là trung điểm của AC

Do ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của AC nên \(\)I là trung điểm của BD hay IB=ID (dpcM)

a. Vì ABCD là hình bình hành=> AD//CB

mà E, F lần lượt là trung điểm của AD, CB

nên ED=FB

Xét tứ giác EBFD có : ED//BF (AD//CB) và ED= BF (cmt)

=> Tứ giác EBFD là hình bình hành

b. O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Tam giác ABC có 2 đường chéo trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G

=> G là trọng tâm tam giác ABC

=> GM= GB/2 và GN=GC/2

Có P là trung điểm GB nên GP=PB = GB/2 => GM=GP

Q là trung điểm GC nên GQ=QC= GC/2=> GM=GP

Xét tứ giác PQMN có: GM=GP và GM=GP

Do vậy tứ giác PQMN có 2 đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường

=> PQMN là hình bình hành

a. Có ABCD là hình bình hành nên AB//CD,AB = CD

mà E thuộc AB , F thuộc DC

=> AE//DF

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (cmt)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b. Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau. (dpcm)

a. Có ABCD là hình bình hành nên AB//CD,AB = CD

mà E thuộc AB , F thuộc DC

=> AE//DF

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (cmt)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b. Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau. (dpcm)

Vì ABCD là hình bình hành nên :

2 đường chéo BD và CA cắt nhau tại O nên OB=OC, OA=OC

AB//CD nên AM//CN => góc OAM = góc OCN (so le trong)

Xét ΔOAM và ΔOCN có:

góc OAM = góc OCN

OA=OC

góc MOA = góc NOC ( 2 góc đổi đỉnh)

=> ΔOAM và ΔOCN (g-c-g)

=> AM=CN(2 cạnh tương ứng)

Có AB=CD (ABCD là hình bình hành)

Xét tứ giác MBND có

Mà AB =BM + AM và CD= DN + NC

=> BM=DN

Xét tứ giác MBND có: BM=DN và BM//DN

=> Tứ giác MBND là hình bình hành

a. Có AB//CD (ABCD là hình bình hành)

mà E thuộc AB và F thuộc CD nên EA//DF ,EB//CF, AE//CF

Có E là trung điểm AB => EA=EB=1/2 AB (1)

F là trung điểm DC=> DF=FC=1/2 DC(2)

Vì ABCD là hình bình hành nên AB=DC (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra EA=EB=DF=FC

Xét tứ giác AEDF có : EA//DF và EA=DF (cmt)

=> AEDF là hình bình hành (dpcm)

Xét tứ giác AECF có AE//CF (cmt) và AE=FC (cmt)

=> AECF là hình bình hành (dpcm)

b. Vì AEDF là hình bình hành nên AD=EF (t/c)

Vì AECF là hình bình hành nên AF=EC (t/c)