a) Vì \(\mathit{A} \mathit{H}\), \(\mathit{C} \mathit{K}\) vuông góc với \(\mathit{B} \mathit{D}\) (gt)

Suy ra \(\mathit{A} \mathit{H}\) // \(\mathit{C} \mathit{K}\)

Vì \(\mathit{A} \mathit{B} \mathit{C} \mathit{D}\) là hình bình hành (gt)

Suy ra \(\mathit{A} \mathit{D} = \mathit{B} \mathit{C}\); \(\mathit{A} \mathit{D}\) // \(\mathit{B} \mathit{C}\)

Xét \(tamgiac\mathit{ADH}\) và \(tamgiác\mathit{CBK}\) ta có:

\(\hat{A H D} = \hat{C K B} = 9 0^{\circ}\) (gt)

\(\mathit{A} \mathit{D} = \mathit{B} \mathit{C}\) (cmt)

\(\hat{A D H} = \hat{C B K}\) (do \(\mathit{A} \mathit{D}\) // \(\mathit{B} \mathit{C}\))

Suy ra \(tamgiac\mathit{ADH}=tamgiac\mathit{CBK}\) (ch-gn)

Suy ra \(\mathit{A} \mathit{H} = \mathit{C} \mathit{K}\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(\mathit{A} \mathit{H}\) // \(\mathit{C} \mathit{K}\) (cmt)

Suy ra \(\mathit{A} \mathit{H} \mathit{C} \mathit{K}\) là hình bình hành

b) Vì \(\mathit{A} \mathit{H} \mathit{C} \mathit{K}\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(\mathit{H} \mathit{K}\) và \(\mathit{A} \mathit{C}\) cắt nhau tại trung điểm.

Mà \(\mathit{I}\) là trung điểm của \(\mathit{H} \mathit{K}\).

Suy ra \(\mathit{I}\) là trung điểm của \(\mathit{A} \mathit{C}\).

Ta lại có \(\mathit{A} \mathit{B} \mathit{C} \mathit{D}\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(\mathit{A} \mathit{C}\) và \(\mathit{B} \mathit{D}\) cắt nhau tại trung điểm. 

Suy ra \(\mathit{I}\) là trung điểm của \(\mathit{B} \mathit{D}\) hay \(\mathit{I} \mathit{B} = \mathit{I} \mathit{D}\)

a) Ta có : t/g ABCD là hbh 

Suy ra : AD=BC

Mà E là trung điểm của AD ; F là trung điểm của BC

Suy ra : AE=DE=BF=CF

Xét tứ giác EBFD có : BF//ED ( BC//AD )

                                    BF=ED ( cmt )

Suy ra : t/g EBFD là hbh.

b) Từ O là giao điểm của hai đường chéo của hbh ABCD hay là giao điểm của AC và BD.

Suy ra : O là trung điểm của BD hay 3 điểm B ; O ; D thẳng hàng 

Ta có : t/g EBFD là hbh ( cmt ) 

Suy ra : BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường .

Mà O là trung điểm của BD 

Suy ra : O cũng là trung điểm của EF.

suy ra : 3 điểm F;O;E thẳng hàng.

Xét ΔABC có AN/AB=AM/AC=1/2

nên NM//BC và NM=1/2BC(1)

Xét ΔGBC có GP/GB=GQ/GC=1/2

nên PQ//BC và PQ=BC/2(2)

Từ (1), (2) suy ra NM//PQ và NM=PQ

=>MNPQ là hình bình hành

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.

⇒ AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

b)

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra ˆOAM=ˆOCN𝑂𝐴𝑀^=𝑂𝐶𝑁^ (hai góc so le trong).

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

ˆOAM=ˆOCN𝑂𝐴𝑀^=𝑂𝐶𝑁^ (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

ˆAOM=ˆCON𝐴𝑂𝑀^=𝐶𝑂𝑁^ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên),AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB //CD)

• BM = DN (cmt)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.