a) Do \(MA,MB\) là hai tiếp tuyến của đường tròn nên \(MA\perp OA;MB\perp OB\)

suy ra \(\widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(OM\)

Xét tam giác \(MAO\) vuông tại \(B\) , \(BI\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền, ta có:

\(BI=MI=IO=\dfrac{1}{2}OM\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AI=MI=IO=BI\)

Vậy tứ giác \(MAOB\) nội tiếp đường tròn tâm \(I\) , đường kính \(OM\)

b) Do \(MA,MB\) là hai tiếp tuyến của đường tròn nên \(MA=MB\)

Mà \(OA=OB=R\)  nên \(MO\) là trung trực của đoạn thẳng \(AB\)

Suy ra \(MO\perp AB\) tại \(D\)

\(H\) là hình chiếu của \(O\)trên đường thẳng \(d\) nên \(HO\perp MH\)

Xét \(\Delta ODC\) và \(\Delta OHM\) có:

\(\widehat{MOH}\) chung;

\(\widehat{ODC}=\widehat{OHM}=90\)

suy ra \(\Delta ODC\sim\Delta OHM\) (g.g) suy ra \(\dfrac{OD}{OH}=\dfrac{OC}{OM}\)

hay \(OC.OH=OD.OM\)

Tương tự chứng minh \(\Delta ODA\sim\Delta OAM\) suy ra \(OD.OM=OA^2=R^2\)

hay \(OC.OH=R^2\)

c) Vì điểm \(O\) và đường thẳng \(d\) cố định nên \(H\) cố định do đó \(OH\) cố định và có độ dài không đổi suy ra \(C\in OH\) cố định(3)

Từ ra \(OC.OH=R^2\) có \(OC=\dfrac{R^2}{OH}\) không đổi (4)

Từ (3) và (4) suy ra điểm \(C\) cố định suy ra dây \(AB\)  luôn đi qua điểm  cố định.

Vậy khi điểm \(M\)  di chuyển trên đường thẳng \(d\) thì dây \(AB\)  luôn đi qua một điểm cố định.

Gọi vận tốc của bạn Hoa lúc đi là \(x\)  (km/h; \(x>0\)).

Thời gian bạn Hoa đi từ nhà đến địa điểm A là \(\dfrac{24}{x}\) (giờ).

Thời gian bạn Hoa đi một nửa quãng đường lúc về là \(\dfrac{12}{x}\)(giờ).

Vận tốc của bạn Hoa đi một nửa quãng đường còn lại lúc về nhà là \(x+4\)( km/h).

Thời gian bạn Hoa đi nửa quãng đường còn lại lúc về nhà là \(\dfrac{12}{x+4}\)(giờ).

Do thời gian về ít hơn thời gian đi là \(15\)phút (đổi bằng \(\dfrac{1}{4}\) h ) nên ta có phương trình:

\(\dfrac{24}{x}-\dfrac{12}{x}-\dfrac{12}{x+4}=\dfrac{1}{4}\)

\(\dfrac{12}{x}-\dfrac{12}{x+4}=\dfrac{1}{4}\)

\(x^2+4x-192=0\)

\(x=12\) hoặc \(x=-16\) ( không thỏa mãn)

Vậy vận tốc của bạn Hoa lúc đi là 12 km/h

a) Với \(m=-2\), phương trình (1) trở thành x² + 2x-3=0.

giải ra được x=1, x=-3.

Vậy với m= -2 phương trình (1) luôn có hai nghiệm x₁; x₂ với mọi m.

Áp dụng hệ thức Viete, ta có: x₁ + x₂ = m ; x₁.x₂ = m-1

Biến đổi A = \(\dfrac{2x_1x_2+3}{x^2_1+x_2^2+2\left(x_1.x_2+1\right)}\)

                = \(\dfrac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}\)

               = \(\dfrac{2\left(m-1\right)+3}{m^2+2}\)

              = \(\dfrac{2m+1}{m^2+2}\)

\(A=\dfrac{m^2+2-\left(m-1\right)^2}{m^2+2}\)\(=1-\dfrac{\left(m-1\right)^2}{m^2+2}\)

suy ra \(A\le1\), dấu "=" xảy ra khi \(m=1\)

m=−2m=−2m=−2m=−2 

P=(x​+24x​​+4−x8x​):(x−2x​x​−1​−x​2​)

= \(\dfrac{4\sqrt{x}.\left(\sqrt{x-2}\right)-8x}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\) : \(\dfrac{\sqrt{x}-1-2\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

= \(\dfrac{-4x-8\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\) : \(\dfrac{-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

= \(\dfrac{-4\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\) : \(\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{-\sqrt{x}+3}\)

= \(\dfrac{-4x}{-\sqrt{x}+3}\)=\(\dfrac{4x}{\sqrt{x}-3}\)