a) Xét \(\Delta A E H\) và \(\Delta A H B\) có:

\(\hat{B A H}\) chung và \(\hat{A E H} = \hat{A H B} = 9 0^{\circ}\)

Do đó \(\Delta A E H \sim \Delta A H B\) (g.g)

Suy ra \(\frac{A H}{A B} = \frac{A E}{A H}\) hay \(A H^{2} = A E . A B\) (1)

b) Chứng minh tương tự \(\Delta A H F \sim \Delta A C H\) (g.g) 

Suy ra \(\frac{A H}{A C} = \frac{A F}{A H}\) hay \(A H^{2} = A F . A C\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A E . A B = A F . A C\)

c) Ta có \(A E . A B = A F . A C\) nên \(\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B}\).

Xét \(\Delta A E F\) và \(\Delta A C B\) có:

\(\hat{E A F}\) chung

\(\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B}\) (cmt)

Do đó \(\Delta A E F \&\text{nbsp}; \sim \Delta A C B\) (c.g.c).

Suy ra \(\frac{E F}{C B} = \frac{P_{A E F}}{P_{A C B}} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}\) (tỉ số chu vi bằng tỉ số đồng dạng)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có \(\frac{S_{A E F}}{4} = \frac{S_{A C B}}{9} = \frac{S_{A C B} - S_{A E F}}{9 - 4} = \frac{25}{5} = 5\)

Suy ra

\(S_{A E F} = 5.4 = 20\) cm\(^{2}\);

\(S_{A C B} = 5.9 = 45\) cm\(^{2}\).

Vậy \(S_{A E F} = 20\) cm\(^{2}\) và \(S_{A C B} = 45\) cm\(^{2}\).

Ta có DE//AC \(\Rightarrow \frac{A E}{A B} = \frac{C D}{B C}\) (Thales)

Ta có DF//AB \(\Rightarrow \frac{A F}{A C} = \frac{B D}{B C}\) (Thales)

\(\Rightarrow\frac{A E}{A B}+\frac{A F}{A C}=\frac{C D}{B C}+\frac{B D}{B C}=\frac{B C}{B C}=1\left(\right.cm\left.\right)\)