a)Vì △ABC cân tại A, nên ∠ABC = ∠ACB.

• Vì BQ và CP là các đường phân giác của △ABC, nên ∠OBC = \frac{1}{2}∠ABC và ∠OCB = \frac{1}{2}∠ACB.

• Do ∠ABC = ∠ACB, suy ra ∠OBC = ∠OCB.

• Vậy, △OBC cân tại O.

b)Vì O là giao điểm của hai đường phân giác BQ và CP, nên O là tâm đường tròn nội tiếp △ABC.

• Do đó, O cách đều ba cạnh AB, AC và BC.C

c)Vì △ABC cân tại A, nên đường phân giác AO cũng là đường trung tuyến và đường cao.

• Vậy, AO đi qua trung điểm của BC và vuông góc với BC.

d)Xét △ABC, ta có:

◦ ∠ABC = ∠ACB (vì △ABC cân tại A).

◦ BQ và CP là các đường phân giác.

• Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

◦ \frac{AP}{PB} = \frac{AC}{BC} và \frac{AQ}{QC} = \frac{AB}{BC}.

◦ Vì AB = AC (do △ABC cân tại A), suy ra \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}.

• Do đó, AP = AQ.

• Xét △ABQ và △ACP:

◦ AB = AC (do △ABC cân tại A).

◦ ∠ABQ = ∠ACP (vì BQ và CP là các đường phân giác và ∠ABC = ∠ACB).

◦ AQ = AP (chứng minh trên).

• Vậy, △ABQ = △ACP (c-g-c).

• Suy ra CP = BQ (hai cạnh tương ứng).

a)Xét △OAD và △OCB:

◦ OA = OC (theo giả thiết).

◦ OD = OB (theo giả thiết).

◦ ∠O là góc chung.

• Vậy, △OAD = △OCB (c-g-c)

• Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng).

b)Từ △OAD = △OCB (chứng minh trên), ta có ∠OAD = ∠OCB và ∠ODA = ∠OBC.

• Xét △ABE và △CDE:

◦ ∠EAB = ∠ECD (vì ∠OAD = ∠OCB, hay ∠EAB = ∠ECD).

◦ AB = OA-OB và CD = OC-OD. Mà OA = OC và OB = OD, suy ra AB = CD.

◦ ∠ABE = ∠CDE (vì ∠ODA = ∠OBC, hay ∠ABE = ∠CDE).

• Vậy, △ABE = △CDE (g-c-g).

c)Từ △ABE = △CDE (chứng minh trên), ta có AE = CE.

• Xét △OAE và △OCE:

◦ OA = OC (theo giả thiết).

◦ AE = CE (chứng minh trên).

◦ OE là cạnh chung.

• Vậy, △OAE = △OCE (c-c-c).

• Suy ra ∠AOE = ∠COE (hai góc tương ứng).

• Vậy, OE là tia phân giác của ∠xOy.

a)Xét hai tam giác vuông △IOE và △IOF:

◦ OI là cạnh chung.

◦ ∠IOE = ∠IOF (vì Om là tia phân giác của ∠xOy).

◦ ∠IEO = ∠IFO = 90^{\circ } (do IE ⟂ Ox và IF ⟂ Oy).

• Kết luận: Vậy, △IOE = △IOF (cạnh huyền - góc nhọn).

b)Từ △IOE = △IOF (chứng minh trên), ta có:

◦ OE = OF (hai cạnh tương ứng).

◦ Suy ra △OEF cân tại O.

• Vì △OEF cân tại O, nên:

◦ ∠OEF = ∠OFE.

• Gọi T là giao điểm của EF và Om.

• Xét △OET và △OFT:

◦ OE = OF (chứng minh trên).

◦ OT là cạnh chung.

◦ ∠EOT = ∠FOT (vì Om là tia phân giác của ∠xOy).

• Kết luận: Vậy, △OET = △OFT (c-g-c).

• Từ △OET = △OFT, ta có:

◦ ∠ETO = ∠FTO (hai góc tương ứng).

◦ Mà ∠ETO + ∠FTO = 180^{\circ } (hai góc kề bù).

◦ Suy ra ∠ETO = ∠FTO = 90^{\circ }.

• Vậy, EF ⟂ OT, hay EF ⟂ Om.

Vì I nằm trên tia phân giác của ∠ADC, và IH ⟂ AB, IK ⟂ BC, ta cần chứng minh AI là tia phân giác của ∠HAC, tức là ∠HAI = ∠IAC = 60^{\circ }.

• Ta có IH ⟂ AB và IK ⟂ BC.

• Xét hai tam giác vuông △AHI và △DKI:

◦ ∠HAI = 60^{\circ } (chứng minh trên).

◦ ∠HIA = 90^{\circ }-∠HAI = 90^{\circ }-60^{\circ } = 30^{\circ }.

◦ ∠ADI = 60^{\circ }-\frac{\angle C}{2}.

• Xét △IKC vuông tại K, ta có gocs KIC=180^--\angle AIC=180^{\circ }-(120^{\circ }-\angle C)=60^{\circ }+\\ \angle C.

• Ta có AI là tia phân giác của ∠HAC, nên IH = IK (tính chất điểm nằm trên đường phân giác).

Vậy, IH = IK

Vì D nằm trên tia phân giác của ∠A, nên DH = DK (tính chất điểm nằm trên đường phân giác).

• Xét hai tam giác vuông △AHD và △AKD:

◦ AD là cạnh chung.

◦ DH = DK (chứng minh trên).

◦ ∠AHD = ∠AKD = 90^{\circ }

• Vậy, △AHD = △AKD (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

• Suy ra AH = AK (hai cạnh tương ứng).

• Vậy, △AHK cân tại A.

• Gọi M là trung điểm của BC. Theo đề bài, DM ⟂ BC.

• Xét hai tam giác vuông △BMD và △CMD:

◦ BM = CM (M là trung điểm của BC).

◦ DM là cạnh chung.

◦ ∠BMD = ∠CMD = 90^{\circ }

• Vậy, △BMD = △CMD (cạnh góc vuông - cạnh góc vuông).

• Suy ra BD = CD (hai cạnh tương ứng) và ∠DBC = ∠DCB (hai góc tương ứng).

• Xét hai tam giác vuông △BHD và △CKD:

◦ BD = CD (chứng minh trên).

◦ ∠HBD = 90^{\circ }-∠DBC

◦ ∠KCD = 90^{\circ }-∠DCB

◦ Mà ∠DBC = ∠DCB (chứng minh trên) ⇒ ∠HBD = ∠KCD

• Vậy, △BHD = △CKD (cạnh huyền - góc nhọn).

Từ △BHD = △CKD, suy ra BH = CK (hai cạnh tương ứng).