1) Bảng tần số và bảng tần số tương đối cho dữ liệu cỡ giày của các bạn nam khối 9 trong trường.

2) Gọi số cần tìm là a1a2a3a4‾a1​a2​a3​a4​​ trong đó ai∈N,ai​∈N, 0≤ai ≤9,a1≠00≤ai​ ≤9,a1​=0 là các chữ số.

Chọn a1a1​ có $9$ cách.

Chọn a2a2​ có $9$ cách.

Chọn a3a3​ có $8$ cách.

Chọn a4a4​ có $7$ cách.

Số cách chọn là $\mathrm{9.9.8.7}=4536$ cách.

Vậy số phần tử của không gian mẫu là $4536$.

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=4.$

Thay $x=4$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$ ta được:

A=24−1=2.A=4​−12​=2.

b) Với $x\ge 0,x\ne 1$ ta có P=B−A=xx+1+4x−1−2x−1P=B−A=x​+1x​​+x−14​−x​−12​

=x(x−1)+4−2(x+1)(x−1)(x+1)=(x​−1)(x​+1)x​(x​−1)+4−2(x​+1)​

=x−3x+2(x−1)(x+1)=(x​−1)(x​+1)x−3x​+2​

=(x−1)(x−2)(x−1)(x+1)=(x​−1)(x​+1)(x​−1)(x​−2)​

=x−2x+1.=x​+1x​−2​.

c) Với $x\ge 0,x\ne 1$ ta có P=x−2x+1=1−3x+1.P=x​+1x​−2​=1−x​+13​.

x+1≥1x​+1≥1 với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện nên 3x+1≤3x​+13​≤3 suy ra $P\ge -2.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=0$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=-2$ khi $x=0.$

a) Gọi $I$ là trung điểm của $AM$.

Ta có ADB^=90∘ADB=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay ADM^=90∘ADM=90∘

Suy ra $\Delta ADM$ là tam giác vuông tại $D$ có $DI$ là đường trung tuyến nên AI=DI=MI=AM2AI=DI=MI=2AM​ (1)

Do $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên $CO$ nên $AH\perp CO$

Suy ra $\Delta AHM$ là tam giác vuông tại $H$ có $HI$ là đường trung tuyến nên: AI=HI=MI=AM2AI=HI=MI=2AM​ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AI=DI=MI=HI$,

Do đó bốn điểm $A;D;M;H$ cùng thuộc một đường tròn.

Vậy $ADMH$ là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có CAD^+DAO^=90∘CAD+DAO=90∘

CEA^+CEB^=AEB^=90∘CEA+CEB=AEB=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Mà DAO^=CEB^DAO=CEB (cùng chắn DB⌢DB⌢)

Do đó CAD^=CEA^CAD=CEA

Do đó $\Delta CAD\backsim \Delta CEA$ (g.g)

Suy ra CACE=CDCACECA​=CACD​ hay CA2=CD.CECA2=CD.CE (1)

 Mặt khác $\Delta ACO\backsim \Delta HCA$ (g.g)

Suy ra CA2=CH.COCA2=CH.CO (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $CD.CE=CH.CO$.

Gọi giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật là $O$.

Gọi $x,y$ (m) lần lượt là hai kích thước của mảnh vườn $(x>0,y>0)$ và $R$ (m) là bán kính đường tròn ngoại tiếp mảnh vườn.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông $MNP$, ta có:

x2+y2=MP2x2+y2=MP2

Suy ra R2=OM2=x2+y24R2=OM2=4x2+y2​

Theo đề bài $xy=640$ m2

Diện tích $4$ phần đất mở rộng là: S=St−SMNPQ=πR2−xy=π.(x2+y24)−xy≥π.2xy4−xyS=St​−SMNPQ​=πR2−xy=π.(4x2+y2​)−xy≥π.42xy​−xy (theo bất đẳng thức Cauchy)

Do đó $S\ge 320\pi -640\approx 365,31$ m2.

Dấu "=" xảy ra khi x=y=810x=y=810​ (thoả mãn).

Vậy diện tích nhỏ nhất của $4$ phần đất được trồng thêm hoa khoảng $365,31$ m2.

a) Chứng minh bốn điểm $O$, $I$, $E$, $D$ cùng thuộc một đường tròn.

Gọi $J$ là trung điểm của $ID$

Xét tam giác $DOI$ vuông tại $O$ (do $AB$ vuông $CD$) có $OJ$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền, suy ra JO=JI=JD=12IDJO=JI=JD=21​ID (1)

Ta có IED^=90∘IED=90∘ (do là góc nội tiếp chắn cung $CD$) suy ra $\Delta IED$ vuông tại $E$.

Xét tam giác $IED$ vuông tại $E$ có $EI$ là trung tuyến ứng với canh huyền, suy ra JI=JE=JD=12IDJI=JE=JD=21​ID (2)

Từ (1) và (2) suy ra $O,I,E,D$ cùng thuộc một đường tròn tâm $J$ đường kính $ID$

b) Chứng minh: AH.AE=2R2AH.AE=2R2 và $OA=3.OH$.

Xét $\Delta AHO$ và $\Delta ABE$ có:

AOH^=AEB^=90∘AOH=AEB=90∘

OAH^OAH: góc chung

Suy ra $\Delta AHO\sim \Delta ABE$ (g.g)

Suy ra: OAOH=AEBEOHOA​=BEAE​

Suy ra: AH.AE=AO.AB=R.2R=2R2AH.AE=AO.AB=R.2R=2R2

Ta có $AB$ và $CD$ là hai đường kính vuông góc với nhau nên AC⌢=CB⌢=BD⌢=DA⌢AC⌢=CB⌢=BD⌢=DA⌢.

Mặt khác CEB^=12 CB⌢CEB=21​ CB⌢; AEC^=12 AC⌢AEC=21​ AC⌢.

Suy ra CEB^=AEC^CEB=AEC.

Vậy $EI$ là tia phân giác của góc $AEB$.

Khi đó, ta có:

AEBE=AIIB=32R12R=3BEAE​=IBAI​=21​R23​R​=3

Suy ra: OAOH=3OHOA​=3, do đó $OA=3.OH$

a) Không gian mẫu của phép thử là:

$\Omega =\{(1,2);(1,3);(1,4);(2,1);(2,3);(2,4);(3,1);(3,2);(3,4);(4,1);(4,2);(4,3)\}$

b) Xác suất để lấy được $2$ viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là số lẻ.

Số các kết quả có thể xảy ra (số phần tử của không gian mẫu) là $n(\Omega )=12$.

Gọi $A$ là biến cố “Lấy được $2$ viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là số lẻ”.

Số kết quả thuận lợi của biến cố $A$ là $n(A)=8$.

Xác suất của biến cố $A$ là P(A)=n(A)n(Ω)=812=23P(A)=n(Ω)n(A)​=128​=32​.

a) Tần số tương đối của các nhóm $[10;20)$, $[20;30)$, $[30;40)$, $[40;50)$ lần lượt là:

f1=8.10060%≈13,33%f1​=608.100​%≈13,33%;

f2=18.10060%=30%f2​=6018.100​%=30%;

f3=24.10060%=40%f3​=6024.100​%=40%;

f4=10.10060%≈16,67%.f4​=6010.100​%≈16,67%.

b) Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm.

c) Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm ở dạng biểu đồ cột của mẫu số liệu ghép nhóm.

a) Có 6 giá trị khác nhau.

b) Trong số 40 số liệu thống kê, có: 5 lần quay vào số 1, 6 lần quay vào số 2, 8 lần quay vào số 3, 7 lần quay vào số 4, 7 lần quay vào số 5 và 7 lần quay vào số 6.

Bảng tần số của mẫu số liệu thống kê:

Biểu đồ dạng cột của tần số mẫu số liệu có dạng:

c) Các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6 có tần số tương đối lần lượt là:

Bảng tần số tương đối:

a) = {(Ngữ văn; Mĩ thuật); (Ngữ văn; Công nghệ); (Mĩ thuật; Ngữ văn); (Mĩ thuật; Công nghệ); (Công nghệ; Mĩ thuật),;(Công nghệ; Ngữ văn)}.

b)

- Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: (Ngữ văn; Mĩ thuật), (Ngữ văn; Công nghệ), (Mĩ thuật; Ngữ văn), (Công nghệ; Ngữ văn).

- Không có kết quả thuận lợi nào cho biến cố B.

a) Ta có: $OA=2R$ mà $OI+IA=OA$ nên $R+IA=2R$.

Suy ra OI=IA=R=OA2OI=IA=R=2OA​.

Theo đề bài $AB$ là tiếp tuyến của $(O;R)$ nên ta có OBA^=90∘OBA=90∘.

Xét $\Delta OBA$ vuông tại $B$ có: $BI$ là đường trung tuyến ứng với $OA$.

Suy ra IB=IO=IA=OA2IB=IO=IA=2OA​.

Do đó $O$, $B$, $A$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ đường kính $OA$ (1).

Chứng minh tương tự ta có $O$, $C$, $A$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OA$ (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra bốn điểm $A$, $B$, $O$, $C$ cùng thuộc một đường tròn. (điều phải chứng minh).

b) $AB$, $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ nên $AB=AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra $A$ nằm trên đường trung trực của $BC$.

Mà $OB=OC=R$.

Suy ra $O$ nằm trên đường trung trực của $BC$.

Do đó: $OA$ là đường trung trực của $BC$.

Nên $OA\perp BC$.

Xét $\Delta BCD$ có: $OB=OC=R$.

Mà $CO$ là trung tuyến ứng với $BD$ suy ra $\Delta BCD$ vuông tại $C$.

Suy ra $BC\perp DC$.

Do đó $DC$ // $OA$ (Vì cùng vuông góc với $BC$) hay $CE$ // $OA$.

Do đó $OCEA$ là hình thang (3).

Vì đường trung trực của $BD$ cắt $CD$ tại $E$ nên $DO\perp OE$ nên DOE^=90∘DOE=90∘.

Xét $\Delta ODE$ và $\Delta BOA$ ta có:

$OB=OD=R$

BOA^=ODE^BOA=ODE (hai góc đồng vị)

OBA^=DOE^=90∘OBA=DOE=90∘

Suy ra $\Delta ODE=\Delta BOA$ (g.c.g).

Suy ra $OE=AB$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AB=AC$ (chứng minh trên) nên ta có: $OE=AC$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra tứ giác $OCEA$ là hình thang cân (điều phải chứng minh).