Ta có biểu thức:

\(x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} + 2 x - 10 y + 17\)

Biến đổi bằng cách hoàn thành bình phương:

\(x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} = \left(\right. x - y \left.\right)^{2} + y^{2}\)

Nên:

\(= \left(\right. x - y \left.\right)^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y + 17\)

Lại có:

\(2 x = 2 \left(\right. x - y \left.\right) + 2 y\)

Suy ra:

\(= \left(\right. x - y \left.\right)^{2} + 2 \left(\right. x - y \left.\right) + y^{2} - 8 y + 17\)

Hoàn thành bình phương:

\(\left(\right. x - y \left.\right)^{2} + 2 \left(\right. x - y \left.\right) = \left(\right. \left(\right. x - y \left.\right) + 1 \left.\right)^{2} - 1\)

và

\(y^{2} - 8 y + 17 = \left(\right. y - 4 \left.\right)^{2} + 1.\)

Do đó:

\(= \left(\right. \left(\right. x - y \left.\right) + 1 \left.\right)^{2} - 1 + \left(\right. y - 4 \left.\right)^{2} + 1\) \(= \boxed{\left(\right. x - y + 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 4 \left.\right)^{2} .}\)

Vậy:

\(\boxed{x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} + 2 x - 10 y + 17 = \left(\right. x - y + 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 4 \left.\right)^{2} .}\)

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 0, đạt được khi:

\(\boxed{x - y + 1 = 0 , y - 4 = 0}\)

hay

\(\boxed{\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 3 , 4 \left.\right) .}\)