a)Theo đề bài, \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(I\) là trung điểm của \(AB\), \(K\) là trung điểm của \(DC\). Ta có \(AB=DC\) và \(AD=BC\). Vì \(AB=2BC\), nên \(AI=IB=DK=KC=BC=AD\). Các góc \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^{\circ }\).

Xét tứ giác \(AIKD\): \(AI=AD\) (đã chứng minh ở trên). \(AI\parallel DK\) (vì \(AB\parallel DC\)). \(\widehat{A}=90^{\circ }\). Một tứ giác có các cạnh kề bằng nhau, có một góc vuông và có một cặp cạnh đối song song là hình vuông.

Tứ giác \(AIKD\) là hình vuông.

Ta có \(DK=KC\) (vì \(K\) là trung điểm \(DC\)). Trong hình vuông \(AIKD\) (đã chứng minh ở câu a), \(DI\) là đường chéo. Trong hình vuông \(BIKC\) (tương tự chứng minh như câu a), \(IC\) là đường chéo. Do đó \(DI=IC\). Tam giác \(DIC\) là tam giác cân tại \(I\).

a)Theo đề bài, \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(I\) là trung điểm của \(AB\), \(K\) là trung điểm của \(DC\). Ta có \(AB=DC\) và \(AD=BC\). Vì \(AB=2BC\), nên \(AI=IB=DK=KC=BC=AD\). Các góc \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^{\circ }\).

Xét tứ giác \(AIKD\): \(AI=AD\) (đã chứng minh ở trên). \(AI\parallel DK\) (vì \(AB\parallel DC\)). \(\widehat{A}=90^{\circ }\). Một tứ giác có các cạnh kề bằng nhau, có một góc vuông và có một cặp cạnh đối song song là hình vuông.

Tứ giác \(AIKD\) là hình vuông.

Ta có \(DK=KC\) (vì \(K\) là trung điểm \(DC\)). Trong hình vuông \(AIKD\) (đã chứng minh ở câu a), \(DI\) là đường chéo. Trong hình vuông \(BIKC\) (tương tự chứng minh như câu a), \(IC\) là đường chéo. Do đó \(DI=IC\). Tam giác \(DIC\) là tam giác cân tại \(I\).

a) \(MB=AB-AM\) \(NC=BC-BN\) \(PD=CD-CP\) \(QA=DA-DQ\)

Vì \(AB=BC=CD=DA\) và \(AM=BN=CP=DQ\), suy ra các phần còn lại bằng nhau.

\(\mathbf{MB=NC=PD=QA}\)

b)Xét hai tam giác vuông \(\triangle QAM\) và \(\triangle NCP\) có: \(QA=NC\) (chứng minh ở câu a) \(AM=CP\) (theo giả thiết) \(\angle A=\angle C=90^{\circ }\) (các góc của hình vuông \(ABCD\))

Theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c), hai tam giác bằng nhau.

\(\mathbf{\triangle QAM=\triangle NCP}\)

c)Tương tự cách chứng minh ở câu b), ta có thể chứng minh được: \(\triangle QAM=\triangle MBN=\triangle NCP=\triangle PDQ\) (cùng trường hợp c.g.c). Từ đó suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau: \(QM=MN=NP=PQ\). Tứ giác \(MNPQ\) có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Trong \(\triangle QAM\), ta có \(\angle AQM+\angle AMQ=90^{\circ }\). Vì \(\triangle QAM=\triangle MBN\) nên \(\angle AMQ=\angle BMN\). Ta có \(\angle QMN=180^{\circ }-(\angle AMQ+\angle BMN)=180^{\circ }-(\angle AMQ+\angle AMQ)\). À không, ta có \(\angle QMN=180^{\circ }-(\angle AMQ+\angle BMN)\). Thay \(\angle BMN=\angle AMQ\) không đúng. Ta có \(\angle AMQ+\angle BMN+\angle QMN=180^{\circ }\) (góc bẹt tại M trên đường thẳng AB). \(\angle BMN=\angle AQM\) (từ \(\triangle QAM=\triangle MBN\)). Nên \(\angle AMQ+\angle AQM+\angle QMN=180^{\circ }\). Mà \(\angle AMQ+\angle AQM=90^{\circ }\) (trong tam giác vuông \(\triangle QAM\)). Do đó, \(\angle QMN=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }\). Hình thoi \(MNPQ\) có một góc vuông nên là hình vuông.

\(\mathbf{MNPQ}\) là hình vuông

a) \(MB=AB-AM\) \(NC=BC-BN\) \(PD=CD-CP\) \(QA=DA-DQ\)

Vì \(AB=BC=CD=DA\) và \(AM=BN=CP=DQ\), suy ra các phần còn lại bằng nhau.

\(\mathbf{MB=NC=PD=QA}\)

b)Xét hai tam giác vuông \(\triangle QAM\) và \(\triangle NCP\) có: \(QA=NC\) (chứng minh ở câu a) \(AM=CP\) (theo giả thiết) \(\angle A=\angle C=90^{\circ }\) (các góc của hình vuông \(ABCD\))

Theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c), hai tam giác bằng nhau.

\(\mathbf{\triangle QAM=\triangle NCP}\)

c)Tương tự cách chứng minh ở câu b), ta có thể chứng minh được: \(\triangle QAM=\triangle MBN=\triangle NCP=\triangle PDQ\) (cùng trường hợp c.g.c). Từ đó suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau: \(QM=MN=NP=PQ\). Tứ giác \(MNPQ\) có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Trong \(\triangle QAM\), ta có \(\angle AQM+\angle AMQ=90^{\circ }\). Vì \(\triangle QAM=\triangle MBN\) nên \(\angle AMQ=\angle BMN\). Ta có \(\angle QMN=180^{\circ }-(\angle AMQ+\angle BMN)=180^{\circ }-(\angle AMQ+\angle AMQ)\). À không, ta có \(\angle QMN=180^{\circ }-(\angle AMQ+\angle BMN)\). Thay \(\angle BMN=\angle AMQ\) không đúng. Ta có \(\angle AMQ+\angle BMN+\angle QMN=180^{\circ }\) (góc bẹt tại M trên đường thẳng AB). \(\angle BMN=\angle AQM\) (từ \(\triangle QAM=\triangle MBN\)). Nên \(\angle AMQ+\angle AQM+\angle QMN=180^{\circ }\). Mà \(\angle AMQ+\angle AQM=90^{\circ }\) (trong tam giác vuông \(\triangle QAM\)). Do đó, \(\angle QMN=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }\). Hình thoi \(MNPQ\) có một góc vuông nên là hình vuông.

\(\mathbf{MNPQ}\) là hình vuông

a) \(MB=AB-AM\) \(NC=BC-BN\) \(PD=CD-CP\) \(QA=DA-DQ\)

Vì \(AB=BC=CD=DA\) và \(AM=BN=CP=DQ\), suy ra các phần còn lại bằng nhau.

\(\mathbf{MB=NC=PD=QA}\)

b)Xét hai tam giác vuông \(\triangle QAM\) và \(\triangle NCP\) có: \(QA=NC\) (chứng minh ở câu a) \(AM=CP\) (theo giả thiết) \(\angle A=\angle C=90^{\circ }\) (các góc của hình vuông \(ABCD\))

Theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c), hai tam giác bằng nhau.

\(\mathbf{\triangle QAM=\triangle NCP}\)

c)Tương tự cách chứng minh ở câu b), ta có thể chứng minh được: \(\triangle QAM=\triangle MBN=\triangle NCP=\triangle PDQ\) (cùng trường hợp c.g.c). Từ đó suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau: \(QM=MN=NP=PQ\). Tứ giác \(MNPQ\) có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Trong \(\triangle QAM\), ta có \(\angle AQM+\angle AMQ=90^{\circ }\). Vì \(\triangle QAM=\triangle MBN\) nên \(\angle AMQ=\angle BMN\). Ta có \(\angle QMN=180^{\circ }-(\angle AMQ+\angle BMN)=180^{\circ }-(\angle AMQ+\angle AMQ)\). À không, ta có \(\angle QMN=180^{\circ }-(\angle AMQ+\angle BMN)\). Thay \(\angle BMN=\angle AMQ\) không đúng. Ta có \(\angle AMQ+\angle BMN+\angle QMN=180^{\circ }\) (góc bẹt tại M trên đường thẳng AB). \(\angle BMN=\angle AQM\) (từ \(\triangle QAM=\triangle MBN\)). Nên \(\angle AMQ+\angle AQM+\angle QMN=180^{\circ }\). Mà \(\angle AMQ+\angle AQM=90^{\circ }\) (trong tam giác vuông \(\triangle QAM\)). Do đó, \(\angle QMN=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }\). Hình thoi \(MNPQ\) có một góc vuông nên là hình vuông.

\(\mathbf{MNPQ}\) là hình vuông

Trong tứ giác \(AMCK\), ta có \(I\) là trung điểm của \(AC\) và \(IK=IM\) (theo giả thiết). Do đó, \(I\) cũng là trung điểm của \(MK\). Vì hai đường chéo \(AC\) và \(MK\) cắt nhau tại trung điểm \(I\) của mỗi đường, tứ giác \(AMCK\) là hình bình hành.

\(\triangle ABC\) vuông tại \(A\), \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\). Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, ta có \(AM=\frac{1}{2}BC\). Mặt khác, \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(MC=\frac{1}{2}BC\). Do đó, \(AM=MC\). Hình bình hành \(AMCK\) có hai cạnh kề \(AM\) và \(MC\) bằng nhau nên \(AMCK\) là hình th

Tứ giác \(AMCK\) là hình thoi

Theo đề bài, \(\triangle ABC\) vuông cân tại \(A\), do đó \(\angle B=\angle C=45^{\circ }\). \(EH\perp BC\) tại \(H\), suy ra \(\angle BHE=90^{\circ }\). Trong \(\triangle BHE\), tổng ba góc là \(180^{\circ }\), nên \(\angle BEH=180^{\circ }-\angle B-\angle BHE=180^{\circ }-45^{\circ }-90^{\circ }=45^{\circ }\)

Vì \(\angle B=\angle BEH=45^{\circ }\), \(\triangle BHE\) là tam giác cân tại \(H\). Do đó, \(BH=EH\).

Kết luận \(\triangle BHE\) có \(\angle BHE=90^{\circ }\) và hai cạnh bên \(BH=EH\)

\(\triangle BHE\) là tam giác vuông cân tại \(H\).

Theo giả thiết, ta có \(\widehat{xOy}=90^{\circ }\). Vì \(AB\perp Ox\) và \(AC\perp Oy\), nên \(\widehat{OBA}=90^{\circ }\) và \(\widehat{OCA}=90^{\circ }\). Tứ giác OBAC có ba góc vuông (\(\widehat{BOC}\), \(\widehat{OBA}\), \(\widehat{OCA}\)). Do đó, OBAC là hình chữ nhật.

Om là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\), nên \(\widehat{AOB}=\widehat{AOC}=\frac{\widehat{xOy}}{2}=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }\). Xét tam giác vuông OBA tại B, ta có \(\widehat{OAB}=180^{\circ }-90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }\). Vì \(\widehat{AOB}=\widehat{OAB}=45^{\circ }\), tam giác OBA là tam giác vuông cân tại B. Do đó, \(OB=AB\).

Hình chữ nhật OBAC có hai cạnh kề \(OB\) và \(AB\) bằng nhau (vì \(AB=OC\) trong hình chữ nhật, và \(OB=AB\) đã chứng minh). Vậy, OBAC là hình vuông.

Tứ giác OBAC là hình vuông.