Vì [ABCD] là hình bình hành, [O] là trung điểm của [AC] và [BD]. Xét [ΔAOM] và [ΔCOP], ta có: [OA = OC] (tính chất hình bình hành) [∠AOM = ∠COP] (hai góc đối đỉnh) [∠MAO = ∠PCO] (so le trong, [AB // CD]) Vậy, [ΔAOM = ΔCOP] (g.g.c) Suy ra [OM = OP] (hai cạnh tương ứng). Xét [ΔBOQ] và [ΔDON], ta có: [OB = OD] (tính chất hình bình hành) [∠BOQ = ∠DON] (hai góc đối đỉnh) [∠QBO = ∠NDO] (so le trong, [AD // BC]) Vậy, [ΔBOQ = ΔDON] (g.g.c) Suy ra [OQ = ON] (hai cạnh tương ứng). Xét tứ giác [MNPQ], ta có [OM = OP] và [OQ = ON]. Vậy, [MNPQ] là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường). b) Chứng minh [MNPQ] là hình thoi. Vì [m ⊥ n] tại [O], suy ra [∠QOM = 90°]. Vì [MNPQ] là hình bình hành, [MP] và [NQ] là hai đường chéo cắt nhau tại [O]. Ta có [MP ⊥ NQ] (do [m ⊥ n]). Vậy, [MNPQ] là hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vuông góc). [Đáp án] a) Đã chứng minh [MNPQ] là hình bình hành. b) Đã chứng minh [MNPQ] là hình thoi.

a) Chứng minh [MN ⊥ AC] Vì [ABCD] là hình bình hành nên [AB // CD]. Vì [M], [N] là trung điểm của [AB], [CD] nên [AM // CN]. Xét tứ giác [AMCN], có [AM // CN] và [AM = CN] (vì [AM = 1/2 AB] và [CN = 1/2 CD] mà [AB = CD]). Vậy, [AMCN] là hình bình hành. Gọi [O] là giao điểm của [AC] và [MN]. Vì [ABCD] là hình bình hành, [AD // BC]. Mà [AD ⊥ AC], suy ra [BC ⊥ AC]. Xét tam giác [ADC], [N] là trung điểm của [CD]. Gọi [P] là trung điểm của [AC]. Suy ra [NP // AD] (tính chất đường trung bình của tam giác). Vì [AD ⊥ AC], suy ra [NP ⊥ AC]. Vì [AMCN] là hình bình hành, [MN] và [AC] cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Suy ra [O] là trung điểm của [AC]. Vậy [O] trùng với [P]. Do đó, [MN] trùng với [NP]. Vậy, [MN ⊥ AC]. b) Tứ giác [AMCN] là hình gì? Vì [AMCN] là hình bình hành và [MN ⊥ AC], nên [AMCN] là hình thoi. Tuy nhiên, vì [AD ⊥ AC], nên [∠DAC = 90°]. Xét tam giác [DAC], [N] là trung điểm của [DC]. Ta có [AN = NC = ND = 1/2 DC]. Suy ra tam giác [ANC] cân tại [N]. Vì [AMCN] là hình thoi, nên [AM = MC = CN = NA]. Vì [AD ⊥ AC], nên [AC^2 + AD^2 = CD^2]. Vì [AMCN] là hình thoi, nên [AM = MC = CN = NA]. Vậy, [AMCN] là hình vuông. [Đáp án] a) Đã chứng minh [MN ⊥ AC]. b) Tứ giác [AMCN] là hình vuông

Xét [ΔABE] và [ΔADF], ta có: [AB = AD] (do [ABCD] là hình thoi) [∠ABE = ∠ADF] (do [ABCD] là hình thoi) [BE = DF] (giả thiết) Vậy, [ΔABE = ΔADF] (c.g.c) Suy ra [AE = AF] (hai cạnh tương ứng) và [∠BAE = ∠DAF] (hai góc tương ứng). Bước 2: Chứng minh [ΔABH = ΔADG] Ta có [∠BAD = ∠BAE + ∠EAD] và [∠BAD = ∠DAF + ∠FAB]. Mà [∠BAE = ∠DAF] (chứng minh trên), suy ra [∠EAD = ∠FAB]. Xét [ΔABH] và [ΔADG], ta có: [AB = AD] (do [ABCD] là hình thoi) [∠ABH = ∠ADG] (do [ABCD] là hình thoi) [∠BAH = ∠DAG] (do [∠FAB = ∠EAD]) Vậy, [ΔABH = ΔADG] (g.c.g) Suy ra [AH = AG] (hai cạnh tương ứng). Bước 3: Chứng minh [AGCH] là hình bình hành Vì [ABCD] là hình thoi, nên [AC] và [BD] cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Gọi [O] là giao điểm của [AC] và [BD]. Ta có [∠ABH = ∠ADG] (do [ABCD] là hình thoi]) [∠BAH = ∠DAG] (do [ΔABH = ΔADG]) Suy ra [AH = AG] Do đó [ΔAHG] cân tại [A]. Vì [ABCD] là hình thoi, [AC] là phân giác của [∠BAD]. Suy ra [∠HAO = ∠GAO]. Vậy [AO] là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của [ΔAHG]. Suy ra [HO = GO]. Do đó, [AC] và [HG] cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Vậy, [AGCH] là hình bình hành. Bước 4: Chứng minh [AGCH] là hình thoi Vì [AGCH] là hình bình hành và [AG = AH] (chứng minh trên), nên [AGCH] là hình thoi. [Kết luận] [AGCH] là hình thoi.