a>_b nên a-b >_ 0

x>_y nên x-y >_ 0

Suy ra (a-b)(x-y) >_ 0

Suy ra a(x-y) - b(x-y) >_ 0

Suy ra ax + by - ay - bx >_ 0

Suy ra 2ax + 2by >_ ax + ay + bx + by

Suy ra 2(ax + by) >_ (a + b)(x + y)

Suy ra ax + by / 2 >_ [(a + b)(x + y)]/4

Ta có

4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 - 4xy =x^2 - 4xy + (2y)^2 + 3x^2 + 6x + 3. =(x-2y)^2 +3(x+1)^2

Vì (x-2y)^2 >_ 0 và 3(x+1)^2 >_ 0 nên (x-2y)^2 + 3(x+1)^2 >_ 0

Suy ra 4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 - 4xy >_ 0

Vậy 4x^2 + 4y^2 + 6x +3 >_ -4xy

Vì n là số tự nhiên nên n(n+1) chia hết cho 2 (nguyên tố cùng nhau)

Ta có n chia hết cho 3 nên n(n+1) chia hết cho 3

Ta có n(n+1) chia hết cho cả 2 và 3 nên n(n+1) chia hết cho 6

Giả sử n chẵn

Suy ra n=2k (k thuộc N)

Suy ra n^3=(2k)^3=8×k^3=2×(4×k^3)

Suy ra n^3 là số chẵn

Vậy nếu là số lẻ thì n^3 là số lẻ