Gọi \(H = A C \cap B D\). Vì \(S A = S B = S C = S D\) nên \(H A = H B = H C = H D\)

\(\Rightarrow A B C D\) là hình chữ nhật và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống \(\left(\right. A B C D \left.\right)\)

Giả sử \(A B = a\). Đặt \(A D = x\). Khi đó

\(S_{A B C D} = a x .\)

\(A H = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{A B^{2} + B C^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}{2} .\)

\(S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{2 a^{2} - \frac{a^{2} + x^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{7 a^{2} - x^{2}}}{2} .\)

Ta có

\(\&\text{nbsp}; V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S H . S_{A B C D}\)

\(= \frac{1}{3} . \frac{\sqrt{7 a^{2} - x^{2}}}{2} . a x\)

\(= \frac{a x \sqrt{7 a^{2} - x^{2}}}{6} \leq \frac{1}{6} . a . \frac{\left(\right. x^{2} + 7 a^{2} - x^{2} \left.\right)}{2}\)

\(\Rightarrow V_{S . A B C D} \leq \frac{7 a^{3}}{12} .\)

Dấu xảy ra khi \(x = \sqrt{7 a^{2} - x^{2}}\) hay \(x = \frac{a \sqrt{14}}{2}\).

Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là \(\frac{7 a^{3}}{12}\) khi \(x = \frac{a \sqrt{14}}{2}\).

Do \(A B C D\) là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính \(A D = 2 a \Rightarrow A B = B C = C D = a\)

Kẻ đường thẳng \(C E / / B D \left(\right. E \in A D \left.\right)\), gọi \(F = C E \cap A B \Rightarrow B D / / \left(\right. S E F \left.\right)\).

Khi đó \(d \left(\right. B D ; S C \left.\right) = d \left(\right. B D ; \left(\right. S C E \left.\right) \left.\right) = d \left(\right. D ; \left(\right. S C E \left.\right) \left.\right)\)

Ta có \(B C E D\) là hình bình hành nên \(D E = B C = a \Rightarrow A E = 3 a\)

Ta có \(d \left(\right. D ; \left(\right. S C E \left.\right) \left.\right) = \frac{1}{3} d \left(\right. A ; \left(\right. S C E \left.\right) \left.\right)\)

Ta có \(\hat{A B D} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow B D ⊥ A B\)

\(\Rightarrow E F ⊥ A B\)

\(\Rightarrow \left{\right. & E F ⊥ S A \\ & E F ⊥ A B \Rightarrow E F ⊥ \left(\right. S A B \left.\right)\)

Kẻ \(A H ⊥ S F \Rightarrow \left{\right. & A H ⊥ S F \\ & A H ⊥ E F\)

\(\Rightarrow A H ⊥ \left(\right. S E F \left.\right) \Rightarrow d \left(\right. A ; \left(\right. S E F \left.\right) \left.\right) = A H\)

Ta có \(A F = \frac{3}{2} A B = \frac{3 a}{2} = S A\) suy ra tam giác \(S A F\) vuông cân tại \(A\)

\(\Rightarrow A H = \frac{1}{2} S F\)

\(= \frac{1}{2} \sqrt{S A^{2} + A F^{2}}\)

\(= \frac{1}{2} . \frac{3 a \sqrt{2}}{2}\)

\(= \frac{3 a \sqrt{2}}{4}\).

Vậy \(d \left(\right. D ; \left(\right. S C E \left.\right) \left.\right) = \frac{1}{3} d \left(\right. A ; \left(\right. S C E \left.\right) \left.\right) = \frac{a \sqrt{2}}{4}\).

Gọi số tiền vay ban đầu là \(u_{0}\), tiền trả hàng tháng là \(x\), lãi suất hàng tháng là \(0 , 7 \%\).

Số tiền còn lại sau \(1\) tháng: \(u_{1} = u_{0} 1 , 007 - x\) (đồng).

Số tiền còn lại sau \(2\) tháng:

\(u_{2} = u_{1} 1 , 007 - x = u_{0} 1 , 00 7^{2} - 1 , 007 x - x = u_{0} 1 , 007^{2} - x \left(\right. 1 + 1 , 007 \left.\right)\) (đồng).

Số tiền còn lại sau \(n\) tháng:

\(u_{n} = u_{0} 1 , 007^{n} - x \left(\right. 1 + 1 , 007 + 1 , 007^{2} + . . . + 1 , 007^{n - 1} \left.\right)\)

\(= u_{0} 1 , 007^{n} - x \frac{1 , 007^{n} - 1}{0 , 007}\) (đồng).

Sau \(n\) tháng thì hết nợ \(\Rightarrow u_{n} = 0\)

\(\Leftrightarrow u_{0} = \frac{x \left(\right. 1 , 00 7^{n} - 1 \left.\right)}{0 , 007.1 , 00 7^{n}}\) (đồng).

Để trả hết nợ thì An cần \(10\) tháng và Bình cần \(15\) tháng, ta được:

\dfrac{x(1,007^{10}-1 )}{0,007.1,007^{10}}+\dfrac{x(1,007^{15}-1 )}{0,007.1,07^{15}=2.10^{8}

\(\Leftrightarrow x = 8 397 068 , 067\) (đồng).

Vậy số tiền mà mỗi người trả cho ngân hàng mỗi tháng gần \(8 , 4\) triệu đồng.