a) Điều kiện \(1 - x \neq 0\); \(1 - 2 x \neq 0\) và \(1 + x \neq 0\) hay \(x \neq 1\); \(x \neq \frac{1}{2}\) và \(x \neq - 1\)

Ta có \(A = \left[\right. \frac{1}{1 - x} + \frac{2}{x + 1} - \frac{5 - x}{1 - x^{2}} \left]\right. \&\text{nbsp}; : \frac{1 - 2 x}{x^{2} - 1}\)

\(A = \left[\right. \frac{1}{1 - x} + \frac{2}{x + 1} - \frac{5 - x}{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. x + 1 \left.\right)} \left]\right. \&\text{nbsp}; : \frac{2 x - 1}{1 - x^{2}}\)

\(A = \left[\right. \frac{x + 1}{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. 1 + x \left.\right)} + \frac{2 \left(\right. 1 - x \left.\right)}{\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. 1 - x \left.\right)} - \frac{5 - x}{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. x + 1 \left.\right)} \left]\right. \&\text{nbsp}; : \frac{2 x - 1}{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. 1 + x \left.\right)}\)

\(A = \left[\right. \frac{x + 1 + 2 - 2 x - 5 + x}{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. 1 + x \left.\right)} \left]\right. \&\text{nbsp}; . \frac{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. 1 + x \left.\right)}{2 x - 1}\)

\(A = \left[\right. \frac{- 2}{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. 1 + x \left.\right)} \left]\right. . \frac{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. 1 + x \left.\right)}{2 x - 1} = \frac{- 2}{2 x - 1}\)

b) Để \(A > 0\) thì \(\frac{- 2}{2 x - 1} > 0\)

\(2 x - 1 < 0\) vì \(- 2 < 0\)

\(x < \frac{1}{2}\) (nhận)

Vậy \(x < \frac{1}{2}\) và \(x \&\text{nbsp}; \neq - 1\) thì \(A > 0\).

a) \(x^{2} - 3 x + 1 > 2 \left(\right. x - 1 \left.\right) - x \left(\right. 3 - x \left.\right)\)

\(x^{2} - 3 x + 1 > 2 x - 2 - 3 x + x^{2}\)

\(- 2 x > - 3\)

\(x < \frac{3}{2}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(x < \frac{3}{2}\)

b) \(\left(\left(\right. x - 1 \left.\right)\right)^{2} + x^{2} \leq \left(\left(\right. x + 1 \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. x + 2 \left.\right)\right)^{2}\)

\(2 x^{2} - 2 x + 1 \leq 2 x^{2} + 6 x + 5\)

\(- 8 x \leq 4\)

\(x \geq - \frac{1}{2}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(x \geq - \frac{1}{2}\)

c) \(\left(\right. x^{2} + 1 \left.\right) \left(\right. x - 6 \left.\right) \leq \left(\left(\right. x - 2 \left.\right)\right)^{3}\)

\(x^{3} - 6 x^{2} + x - 6 \leq x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8\)

\(- 11 x \leq - 2\)

\(x \geq \frac{2}{11}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(x \geq \frac{2}{11}\).

a) \(\frac{3 x + 5}{2} - x \geq 1 + \frac{x + 2}{3}\)

\(\frac{3 \left(\right. 3 x + 5 \left.\right)}{6} - \frac{6 x}{6} \geq \frac{6}{6} + \frac{2 \left(\right. x + 2 \left.\right)}{6}\)

\(9 x + 15 - 6 x \geq 6 + 2 x + 4\)

\(9 x - 6 x - 2 x \geq 6 + 4 - 15\)

\(x \geq - 5\)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(x \geq - 5\)

b) \(\frac{x - 2}{3} - x - 2 \leq \frac{x - 17}{2}\)

\(\frac{2 \left(\right. x - 2 \left.\right) - 6 x - 6.2}{6} \leq \frac{3 \left(\right. x - 17 \left.\right)}{6}\)

\(2 x - 4 - 6 x - 12 \leq 3 x - 51\)

\(- 4 x - 16 \leq 3 x - 51\)

\(- 4 x - 3 x \leq - 51 + 16\)

\(- 7 x \leq - 35\)

\(x \geq 5\)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(x \geq 5\)

c) \(\frac{2 x + 1}{3} - \frac{x - 4}{4} \leq \frac{3 x + 1}{6} - \frac{x - 4}{12}\)

\(\frac{4 \left(\right. 2 x + 1 \left.\right) - 3 \left(\right. x - 4 \left.\right)}{12} \leq \frac{2 \left(\right. 3 x + 1 \left.\right) - \left(\right. x - 4 \left.\right)}{12}\)

\(8 x + 4 - 3 x + 12 \leq 6 x + 2 - x + 4\)

\(5 x + 16 \leq 5 x + 6\)

\(5 x - 5 x \leq 6 - 16\)

\(0 x \leq - 10\)

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

a) \(\frac{3 \left(\right. 2 x + 1 \left.\right)}{20} + 1 > \frac{3 x + 52}{10}\)

\(\frac{3 \left(\right. 2 x + 1 \left.\right)}{20} + \frac{20}{20} > \frac{2 \left(\right. 3 x + 52 \left.\right)}{20}\)

\(6 x + 3 + 20 > 6 x + 104\)

\(0 x > 81\)

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

b) \(\frac{4 x - 1}{2} + \frac{6 x - 19}{6} \leq \frac{9 x - 11}{3}\)

\(\frac{3 \left(\right. 4 x - 1 \left.\right)}{6} + \frac{6 x - 19}{6} \leq \frac{2 \left(\right. 9 x - 11 \left.\right)}{6}\)

\(12 x - 3 + 6 x - 19 \leq 18 x - 22\)

\(0 x \leq 0\)

a) Xét tam giác \(A B C\) có \(A B = A C\) và \(A O\) là đường phân giác của góc \(B A C\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó \(A O\) cũng là đường cao, đường trung tuyến của \(\Delta B A C\).

Vậy \(A O\) vuông góc với \(B C\).

b) Ta có \(\hat{B D C} = \frac{1}{2}\) (góc nội tiếp)

\(\hat{B O C} = \&\text{nbsp};\) (góc ở tâm)

Mặt khác \(\hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{B O C}\) nên \(\hat{B A C} = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\hat{B A C} = \hat{B D C}\), suy ra \(O A / / C D\) (hai góc đồng vị bằng nhau).

c) Xét tam giác \(A B O\) và tam giác \(B K O\) có:

\(\hat{A B O} = \hat{B K O} = 9 0^{\circ}\)

\(\hat{B O A}\): góc chung 

Suy ra \(\Delta A B O sim \Delta B K O\) (g.g).

Do đó ta có tỉ số \(\frac{A O}{B O} = \frac{B O}{K O}\) hay \(O A . O K = O B^{2} = 6^{2} = 36\) (cm).

Xét tam giác vuông \(A B O\) có: \(sin ⁡ \hat{B A O} = \frac{O B}{O A} = \frac{6}{12}\).

Suy ra \(\hat{B A O} = 3 0^{\circ}\).

Gọi \(x\) là số máy in mà nhà xuất bản sử dụng \(\left(\right. 1 \leq x \leq 14 \left.\right)\).

Chi phí lắp đặt là \(120 x\) (nghìn đồng).

Số giờ để sản xuất đủ số ấn phẩm là: \(\frac{4 000}{30 x}\)(giờ).

Chi phí giám sát là: \(90. \frac{4 000}{30 x} = \frac{12 000}{x}\)(nghìn đồng).

Chi phí sản xuất của nhà sản xuất là: \(A = 120 x + \frac{12 000}{x}\)(nghìn đồng).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(A = 120 x + \frac{12 000}{x} \geq 2 \sqrt{120 x . \frac{12 000}{x}} = 2 400\).

Dấu bằng xảy ra khi \(120 x = \frac{12 000}{x}\)hay \(x = 10\).

Vậy số máy in nhà xuất bản nên sử dụng để chi phí in là nhỏ nhất là \(10\) máy.

dựa vào hình vẽ minh họa, ta có: \(A H = B D = 10\) m.

Xét \(\Delta A H B\) vuông tại \(H\), ta có:

\(tan ⁡ \hat{B A H} = \frac{B H}{A H}\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

suy ra \(B H = A H . tan ⁡ \hat{B A H} = 10. tan ⁡ 1 0^{\circ}\) (m).

Xét \(\Delta A H C\) vuông tại \(H\), ta có:

\(tan ⁡ \hat{C A H} = \frac{C H}{A H}\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

suy ra \(C H = A H . tan ⁡ \hat{C A H} = 10. tan ⁡ 5 5^{\circ}\) (m).

Ta có: \(B C = B H + C H = 10. tan ⁡ 1 0^{\circ} + 10. tan ⁡ 5 5^{\circ} \approx 16\) m.

Vậy chiều cao của tháp là \(16\) m.

Đổi \(1\) giờ \(25\) phút \(= \frac{17}{12}\) giờ; \(1\) giờ \(30\) phút \(= \frac{3}{2}\) giờ.

Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước lần lượt là \(x\) (km/h) và \(y\) (km/h). Điều kiện \(x > 0 , y > 0 , x > y\).

Trong lần 1

+) Vận tốc xuôi dòng là \(x + y\) km/h, quãng đường xuôi dòng là \(20\) km nên thời gian xuôi dòng là \(\frac{20}{x + y}\) (giờ).

+) Vận tốc ngược dòng là \(x - y\) km/h, quãng đường ngược dòng là \(18\) km nên thời gian ngược dòng là \(\frac{18}{x - y}\) (giờ).

Vì tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng hết \(\frac{17}{12}\) giờ nên ta có phương trình

\(\frac{20}{x + y} + \frac{18}{x - y} = \frac{17}{12}\)     (1)

Trong lần 2

+) Vận tốc xuôi dòng là \(x + y\) (km/h), quãng đường xuôi dòng là \(15\) km nên thời gian xuôi dòng là \(\frac{15}{x + y}\) (giờ).

+) Vận tốc ngược dòng là \(x - y \left(\right. k m / h \left.\right)\), quãng đường ngược dòng là \(24\) km nên thời gian ngược dòng là \(\frac{24}{x - y}\) (giờ).

Vì tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng hết \(\frac{3}{2}\) giờ nên ta có phương trình

\(\frac{15}{x + y} + \frac{24}{x - y} = \frac{3}{2}\)    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\(\left{\right. & \frac{20}{x + y} + \frac{18}{x - y} = \frac{17}{12} \\ & \frac{15}{x + y} + \frac{24}{x - y} = \frac{3}{2}\)

\(\left{\right. & \frac{60}{x + y} + \frac{54}{x - y} = \frac{17}{4} \\ & \frac{60}{x + y} + \frac{96}{x - y} = \frac{7}{4}\)

\(\left{\right. & \frac{60}{x + y} + \frac{54}{x - y} = \frac{17}{4} \\ & \frac{42}{x - y} = \frac{7}{4}\)

Quy đồng ta được hệ \(\left{\right. & x + y = 30 \\ & x - y = 24\)

Giải hệ trên, ta được: \(\left{\right. & x = 27 \\ & y = 3\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước lần lượt là \(27\) km/h và \(3\) km/h.

a. Rút gọn biểu thức \(A\).

\(A = \left(\right. \frac{\sqrt{x} + 2}{x - 5 \sqrt{x} + 6} - \frac{\sqrt{x} + 3}{2 - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3} \left.\right) : \left(\right. 2 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \left.\right)\) 

\(A = \left(\right. \frac{\sqrt{x} + 2}{\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 3 \left.\right)} - \frac{\sqrt{x} + 3}{2 - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3} \left.\right) : \left(\right. 2 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \left.\right)\) 

\(A = \left(\right. \frac{\sqrt{x} + 2}{\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 3 \left.\right)} + \frac{\left(\right. \sqrt{x} + 3 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 3 \left.\right)}{\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 3 \left.\right)} - \frac{\left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)}{\left(\right. \sqrt{x} - 3 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)} \left.\right) : \left(\right. 2 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \left.\right)\) 

\(A = \frac{\sqrt{x} + 2 + x - 9 - x + 4}{\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 3 \left.\right)} : \left(\right. 2 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \left.\right)\) 

\(A = \frac{\sqrt{x} - 3}{\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 3 \left.\right)} : \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1}\) 

\(A = \frac{1}{\sqrt{x} - 2} . \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}\) 

\(A = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 4}\).

b. Tìm các giá trị của x để \(\frac{1}{A} \leq - \frac{5}{2}\).

(ĐK: \(x \geq 0 , x \neq 4 , x \neq 9\))

Để \(\frac{1}{A} \leq - \frac{5}{2}\)thì

\(\frac{x - 4}{\sqrt{x} + 1} \leq - \frac{5}{2}\)

\(2 x - 8 \leq - 5 \sqrt{x} - 5\)

\(2 x + 5 \sqrt{x} - 3 \leq 0\)

\(- 3 \leq \sqrt{x} \leq \frac{1}{2}\)

\(\&\text{nbsp}; 0 \leq \sqrt{x} \leq \frac{1}{2}\)

\(\&\text{nbsp}; 0 \leq x \leq \frac{1}{4}\).

Kết hợp với điều kiện ta được \(0 \leq x \leq \frac{1}{4}\)thì \(\frac{1}{A} \leq - \frac{5}{2}\).

​A=2−3​​.(6​+2​)

\(​​ A = \sqrt{2} . \left(\right. \sqrt{2 - \sqrt{3}} \left.\right) + \sqrt{6} . \left(\right. \sqrt{2 - \sqrt{3}} \left.\right)\)

\(A = \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} + \sqrt{12 - 6 \sqrt{3}}\)

\(A = \sqrt{1 + 3 - 2 \sqrt{1.3}} + \sqrt{12 - 2.3 \sqrt{3}}\)

\(A = \sqrt{1^{2} - 2 \sqrt{1.3} + \left(\right. \sqrt{3} \left.\right)^{2}} + \sqrt{3^{2} - 2.3 \sqrt{3} + \left(\right. \sqrt{3} \left.\right)^{2}}\)

\(A = \sqrt{\left(\right. 1 - \sqrt{3} \left.\right)^{2}} + \sqrt{\left(\right. 3 - \sqrt{3} \left.\right)^{2}}\)

\(A = \sqrt{3} - 1 + 3 - \sqrt{3} = 2\).