Xét tứ giác EBFD: Vì ABCD là hình bình hành nên ta có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau: A D ∥ B C AD∥BC A D = B C AD=BC Mặt khác, theo giả thiết: E là trung điểm của AD, suy ra E D = 1 2 A D ED= 2 1 AD. F là trung điểm của BC, suy ra B F = 1 2 B C BF= 2 1 BC. Từ A D = B C AD=BC, ta suy ra E D = B F ED=BF. Từ A D ∥ B C AD∥BC, ta suy ra E D ∥ B F ED∥BF. Xét tứ giác EBFD, ta thấy có một cặp cạnh đối là ED và BF song song và bằng nhau ( E D ∥ B F ED∥BF và E D = B F ED=BF). Do đó, tứ giác EBFD là hình bình hành. b) Chứng minh rằng ba điểm E, O, F thẳng hàng. Ta có tứ giác EBFD là hình bình hành (theo chứng minh ở câu a). O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD. Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, O là trung điểm của đường chéo BD. Trong hình bình hành EBFD, hai đường chéo là EF và BD. Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo này cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vì O là trung điểm của BD và O cũng là giao điểm của hai đường chéo EF và BD, nên O phải là trung điểm của EF. Do O là trung điểm của đoạn thẳng EF, nên ba điểm E, O, F nằm trên cùng một đoạn thẳng EF và thẳng hàng.

Xét tứ giác EBFD: Vì ABCD là hình bình hành nên ta có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau: A D ∥ B C AD∥BC A D = B C AD=BC Mặt khác, theo giả thiết: E là trung điểm của AD, suy ra E D = 1 2 A D ED= 2 1 AD. F là trung điểm của BC, suy ra B F = 1 2 B C BF= 2 1 BC. Từ A D = B C AD=BC, ta suy ra E D = B F ED=BF. Từ A D ∥ B C AD∥BC, ta suy ra E D ∥ B F ED∥BF. Xét tứ giác EBFD, ta thấy có một cặp cạnh đối là ED và BF song song và bằng nhau ( E D ∥ B F ED∥BF và E D = B F ED=BF). Do đó, tứ giác EBFD là hình bình hành. b) Chứng minh rằng ba điểm E, O, F thẳng hàng. Ta có tứ giác EBFD là hình bình hành (theo chứng minh ở câu a). O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD. Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, O là trung điểm của đường chéo BD. Trong hình bình hành EBFD, hai đường chéo là EF và BD. Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo này cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vì O là trung điểm của BD và O cũng là giao điểm của hai đường chéo EF và BD, nên O phải là trung điểm của EF. Do O là trung điểm của đoạn thẳng EF, nên ba điểm E, O, F nằm trên cùng một đoạn thẳng EF và thẳng hàng.

chứng minh tứ giác PQMN là hình bình hành, chúng ta sẽ sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác và dấu hiệu nhận biết hình bình hành. Ta có tam giác ABC. BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC, cắt nhau tại G, nên G là trọng tâm của tam giác ABC. Theo định nghĩa đường trung tuyến, M là trung điểm của AC và N là trung điểm của AB. Ta cũng có P là trung điểm của GB và Q là trung điểm của GC. Xét tam giác GBC, vì P là trung điểm của cạnh GB và Q là trung điểm của cạnh GC, theo định lý về đường trung bình của tam giác, đoạn thẳng PQ song song với BC và có độ dài bằng một nửa BC (PQ // BC và PQ = 1/2 BC). Tiếp theo, xét tam giác ABC, vì N là trung điểm của cạnh AB và M là trung điểm của cạnh AC, theo định lý về đường trung bình của tam giác, đoạn thẳng MN song song với BC và có độ dài bằng một nửa BC (MN // BC và MN = 1/2 BC). Từ hai kết quả trên, ta thấy PQ song song với BC và MN cũng song song với BC, do đó PQ song song với MN. Đồng thời, PQ = 1/2 BC và MN = 1/2 BC, suy ra PQ = MN. Xét tứ giác PQMN, ta có cặp cạnh đối PQ và MN song song với nhau và bằng nhau. Theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, một tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. Vậy, ta đã chứng minh được tứ giác PQMN là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD. Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF. Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF. Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên). Do đó tứ giác AEFDlà hình bình hành. Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên). Do đó tứ giác ABFClà hình bình hành. Vậy ta chứng minh được hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành. b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O. Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC. Mà O là trung điểm của AF. Suy ra O cũng là trung điểm của BC. Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

B C D O M N Xét tg OAM và tg OCN có \hat{B A C} = \hat{A C D} (góc so le trong) OA=OC (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) \hat{A O M} = \hat{C O N} (góc đối đỉnh) => tg OAM = tg OCN (g.c.g) => AM=CN Ta có AB=CD (cạnh đối hbh) => AB-AM=CD-CN => MB=ND (1) Ta có AB//CD (cạnh đối hbh) => MB//ND (2) Từ (1) và (2) => MBND là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

A B C G M N P Qa) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD. Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE = ½AB, CF = DF = ½CD Do đó AE = BE = CF = DF. Xét tứ giác AEFD có:      AE // DF (vì AB // CD);      AE = DF (chứng minh trên) Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành. Xét tứ giác AECF có:      AE // CF (vì AB // CD);      AE = CF (chứng minh trên) Do đó tứ giác AECF là hình bình hành. Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành. b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD. Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC. Vậy EF = AD, AF = EC.

I really like living in the countryside because it is peaceful and comfortable. The cost of living is much lower than in the city, so people do not have to worry too much about money. The air is very fresh and clean, which is very good for health. There are many green spaces with trees, rivers and fields, creating beautiful scenery. Moreover, people in the countryside are very hospitable and friendly. They always help each other and welcome visitors. That is why I love the countryside life so much. However, there are a few things I do not like about the countryside: poor facilities, no good schools and universities.