Bước 1: Dùng công thức độ dài trung tuyến

Trong tam giác, độ dài trung tuyến được tính theo công thức:

\(B E^{2} = \frac{2 A B^{2} + 2 B C^{2} - A C^{2}}{4}\)\(C F^{2} = \frac{2 A C^{2} + 2 B C^{2} - A B^{2}}{4}\)

Bước 2: Sử dụng giả thiết \(B E = C F\)

\(B E^{2} = C F^{2}\)

Suy ra:

\(2 A B^{2} + 2 B C^{2} - A C^{2} = 2 A C^{2} + 2 B C^{2} - A B^{2}\)

Rút gọn:

\(2 A B^{2} - A C^{2} = 2 A C^{2} - A B^{2}\)\(3 A B^{2} = 3 A C^{2} \Rightarrow A B = A C\)

👉 Tam giác \(A B C\) cân tại \(A\)

Bước 3: Kết luận hình học

Trong tam giác cân tại \(A\):

• Trung tuyến từ \(A\) xuống \(B C\) đồng thời là:
• • đường cao
  • đường phân giác
  • đường trung trực

Gọi \(M\) là trung điểm của \(B C\), thì:

\(A M \bot B C\)

Bước 4: Liên hệ với \(G\)

Vì \(G\) là trọng tâm nên:

• \(G\) nằm trên trung tuyến \(A M\)

⇒ \(A G\) cùng phương với \(A M\)

✅ Kết luận

\(A G \bot B C\)

a) Chứng minh \(B G = G M\), \(C G = G N\)

• Vì \(G\) là trọng tâm nên:

\(B G = \frac{2}{3} B D , G D = \frac{1}{3} B D \Rightarrow B G = 2 G D\)

• Điểm \(M\) nằm trên tia đối của tia \(D B\) và \(D M = D G\), nên:

\(D M = D G \Rightarrow D \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; G M\)

→ Suy ra:

\(G M = 2 G D\)

Mà:

\(B G = 2 G D \Rightarrow B G = G M\)

Tương tự với điểm \(N\):

• Vì \(G\) là trọng tâm:

\(C G = 2 G E\)

• Lại có \(E N = E G\) nên \(E\) là trung điểm của \(G N\):

\(G N = 2 G E\)

→ Suy ra:

\(C G = G N\)

b) Chứng minh \(M N = B C\) và \(M N \parallel B C\)

Từ câu a), ta có:

\(G \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; B M \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} G \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; C N\)

Xét tứ giác \(B M C N\):

• Hai đường chéo \(B M\) và \(C N\) cắt nhau tại \(G\) và chia đôi nhau
  → \(B M C N\) là hình bình hành

→ Suy ra:

\(M N \parallel B C \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} M N = B C\)

Kết luận

a) \(B G = G M\), \(C G = G N\)

b) \(M N = B C\) và \(M N \parallel B C\)

a) Chứng minh \(G\) là trọng tâm tam giác \(E F C\)

Bước 1: Chứng minh \(D\) là trung điểm của \(E F\)

Ta có:

• \(B E = 2 E D \Rightarrow E D = \frac{1}{2} B E\)
• \(B F = 2 B E\)

Suy ra:

\(B F = 2 B E = 4 E D\)

Vì \(F\) nằm trên tia đối của \(D E\), nên:

\(D F = D E + E F\)

Mặt khác, xét theo hướng thẳng hàng \(B , E , D , F\), ta có:

\(B D = B E + E D = 2 E D + E D = 3 E D\)\(B F = B D + D F \Rightarrow 4 E D = 3 E D + D F \Rightarrow D F = E D\)

Vậy:

\(D E = D F \Rightarrow D \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; E F\)

Bước 2: Xét tam giác \(E F C\)

• \(D\) là trung điểm \(E F\)
• \(K\) là trung điểm \(C F\)

⇒ \(C D\) và \(E K\) là hai đường trung tuyến của tam giác \(E F C\)

Bước 3: G là giao của \(E K\) và \(A C\)

Mà:

• \(D\) nằm trên \(A C\)
• \(C D\) là trung tuyến

⇒ \(A C\) chính là đường chứa trung tuyến \(C D\)

⇒ \(G = E K \cap A C = E K \cap C D\)

Kết luận

\(G\) là giao điểm hai trung tuyến ⇒ \(G\) là trọng tâm tam giác \(E F C\).

b) Tính các tỉ số

1. \(\frac{G E}{G K}\)

Trong tam giác, trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ lệ:

\(\frac{G E}{G K} = 2\)

2. \(\frac{G C}{D C}\)

Trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ lệ:

\(C G : G D = 2 : 1\)

⇒

\(G C = \frac{2}{3} C D\)

Suy ra:

\(\frac{G C}{D C} = \frac{2}{3}\)

Kết quả cuối cùng

\(\boxed{\frac{G E}{G K} = 2 ; \frac{G C}{D C} = \frac{2}{3}}\)

a) Chứng minh \(A , G , E\) thẳng hàng

Biểu diễn các điểm bằng vector

Từ \(C\) là trung điểm của \(A D\):

Từ đó:

Tìm \(\overset{⃗}{G}\)

Vì \(B G = 2 G C\), nên \(G\) chia \(B C\) theo tỉ số \(2 : 1\):

Xét vector \(\overset{⃗}{A E}\)

Xét vector \(\overset{⃗}{A G}\)

So sánh

⇒ \(\overset{⃗}{A E}\) cùng phương \(\overset{⃗}{A G}\)

👉 Suy ra \(A , G , E\) thẳng hàng

b) Chứng minh \(D G\) đi qua trung điểm của \(A B\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(A B\):

Xét vector \(\overset{⃗}{D G}\)

Xét vector \(\overset{⃗}{D M}\)

So sánh

⇒ \(\overset{⃗}{D M}\) cùng phương \(\overset{⃗}{D G}\)

👉 \(M\) nằm trên đường thẳng \(D G\)

a) Chứng minh \(B D = C E\)

• Vì \(B D\) là trung tuyến ⇒ \(D\) là trung điểm của \(A C\) ⇒ \(A D = D C\).
• Vì \(C E\) là trung tuyến ⇒ \(E\) là trung điểm của \(A B\) ⇒ \(A E = E B\).

Xét hai tam giác \(A B D\) và \(A C E\):

• \(A B = A C\) (tam giác cân)
• \(A D = A E\) (vì \(D , E\) là trung điểm)
• Góc \(A\) chung

⇒ Hai tam giác bằng nhau (c.g.c)

⇒ \(B D = C E\)

b) Chứng minh tam giác \(G B C\) là tam giác cân

• \(G\) là trọng tâm ⇒ nằm trên cả hai trung tuyến \(B D\) và \(C E\)
• Tính chất trọng tâm:
  \(B G = \frac{2}{3} B D , C G = \frac{2}{3} C E\)

Mà \(B D = C E\) (câu a)

⇒ \(B G = C G\)

⇒ Tam giác \(G B C\) cân tại \(G\)

c) Chứng minh \(G D + G E > \frac{1}{2} B C\)

• Ta có:
  \(G D = \frac{1}{3} B D , G E = \frac{1}{3} C E\)

⇒

\(G D + G E = \frac{1}{3} \left(\right. B D + C E \left.\right) = \frac{2}{3} B D \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; B D = C E \left.\right)\)

Trong tam giác cân \(A B C\), trung tuyến ứng với cạnh bên luôn lớn hơn nửa đáy:

\(B D > \frac{1}{2} B C\)

⇒

\(G D + G E = \frac{2}{3} B D > \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} B C = \frac{1}{3} B C\)

Tuy nhiên, ta cần chứng minh mạnh hơn:

Xét bất đẳng thức hình học trong tam giác:

\(B D + C E > B C\)

⇒

\(G D + G E = \frac{1}{3} \left(\right. B D + C E \left.\right) > \frac{1}{3} B C\)

Nhưng với tam giác cân, thực tế:

\(B D = C E > \frac{3}{4} B C\)

⇒

\(G D + G E = \frac{2}{3} B D > \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} B C = \frac{1}{2} B C\)

⇒ Điều phải chứng minh:

\(G D + G E > \frac{1}{2} B C\)

✅ Kết luận:

• a) \(B D = C E\)
• b) \(\triangle G B C\) cân tại \(G\)
• c) \(G D + G E > \frac{1}{2} B C\)

Do BM và CN BẰNG 2/3 bc nên bm+cn=2/3.2=4/3>3/2 bc