a,Vì E,F là trung điểm:

\(\overrightarrow{OE}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}\) , \(\overrightarrow{OF}=\frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}}{2}\)

Suy ra:

\(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}=\frac12\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right)\)

\(2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\)

Ta có: \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right)=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{EF}\)

b,Vì G là trung điểm EF:

\(\overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}}{2}=\frac14\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)\) (1)

Ta có: \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OG}\right)+\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OG}\right)+\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OG}\right)+\left(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OG}\right)=\left(\overrightarrow{OA}_{}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)-4\overrightarrow{OG}\) (2)

Từ (1),(2) ta được:\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}-\frac14.4\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)=\overrightarrow{0}

Ta có:NA=2NC <=> \(\frac{1}{2} N A = N C\)

Mà: AC + CN=AN

=>NC=AC

=>2AC=AN

Ta có: \(\overset{\rightarrow}{A K} = \overset{\rightarrow}{A M} - \overset{\rightarrow}{K M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{M N}\) (1)

\(\overset{\rightarrow}{A K} = \overset{\rightarrow}{A N} - \overset{\rightarrow}{K N} = 2 \overset{\rightarrow}{A C} - \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{M N}\) (2)

Từ (1),(2) ta có:

\(\overset{\rightarrow}{A K} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + 2 \overset{\rightarrow}{A C}\)

Ta có:NA=2NC <=> \(\frac12NA=NC\)

Mà: AC + CN=AN

=>NC=AC

=>2AC=AN

Ta có: \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{KM}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{MN}\) (1)

\(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{KN}=2\overrightarrow{AC}-\frac12\overrightarrow{MN}\) (2)

Từ (1),(2) ta có:

\(\overrightarrow{AK}=\frac12\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\)

Ta có: \(\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}\) (\(k!=1\) )(1)

Với mọi điểm O ta có:

\(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}\) (2)

\(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}\) (3)

Từ (1),(2),(3) ta có:

\(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}=k\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}\right)\)

<=> \(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}=k\overrightarrow{OB}-k\overrightarrow{OM}\)

<=>\(\left(k-1\right)\overrightarrow{OM}=k\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)

<=>\(\left(1-k\right)\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}-k\overrightarrow{OB}\)

<=>\(\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}-k\overrightarrow{OB}}{1-k}\) (đpcm)

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\)

\(\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\)

\(\overrightarrow{GC}=-\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\) \(\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)