Chứng minh

Cho tam giác \(A B C\) có trọng tâm \(G\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(A C\).
Khi đó \(G\) nằm trên trung tuyến \(B E\) và:

\(B G = \frac{2}{3} B E\)

Qua \(G\) kẻ đường thẳng \(d \parallel A B\), cắt \(B C\) tại \(M\).

Áp dụng định lí Ta-lét

Xét tam giác \(A B E\), vì:

\(G M \parallel A B\)

\(G \in B E , \textrm{ }\textrm{ } M \in B C\)

nên theo định lí Ta-lét:

\(\frac{B M}{B C} = \frac{B G}{B E}\)

Mà:

\(\frac{B G}{B E} = \frac{2}{3}\)

suy ra \(\frac{B M}{B C} = \frac{1}{3}\)

Chứng minh

Cho hình thang \(A B C D\) với \(A B \parallel C D\).
Hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\).

Xét hai tam giác:

\(\triangle A O B \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \triangle D O C\)

Ta có:

• \(\angle A O B = \angle D O C\) (hai góc đối đỉnh)
• \(\angle A B O = \angle D C O\) (so le trong vì \(A B \parallel C D\))

⟹ Hai tam giác \(A O B\) và \(D O C\) đồng dạng.

Hệ quả của tam giác đồng dạng

Từ đồng dạng suy ra tỉ số các cạnh tương ứng:

\(\frac{O A}{O D} = \frac{O B}{O C}\)

Vậy OA⋅OD=OB⋅OC

Xét tam giác \(A B C\).

• Do \(D E \parallel A C\) nên theo định lí Ta-lét:

\(\frac{A E}{A B} = \frac{B D}{B C}\)

• Do \(D F \parallel A B\) nên theo định lí Ta-lét:

\(\frac{A F}{A C} = \frac{D C}{B C}\)

Cộng hai đẳng thức:

\(\frac{A E}{A B} + \frac{A F}{A C} = \frac{B D}{B C} + \frac{D C}{B C} = \frac{B D + D C}{B C} = \frac{B C}{B C} = 1\)

a) Chứng minh \(A I K D\) và \(B I K C\) là hình vuông.

Xét tứ giác \(A I K D\) với các điểm:

\(A = \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , I = \left(\right. a , 0 \left.\right) , K = \left(\right. a , a \left.\right) , D = \left(\right. 0 , a \left.\right) .\)

vậy góc giữa hai cạnh kề là góc vuông.

Tương tự với các cạnh khác, ta thấy tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và góc vuông tại mỗi đỉnh.

b) Chứng minh \(\Delta D I C\) vuông cân.

• Vì \(D I = I C = a \sqrt{2}\) nên tam giác cân tại \(I\).
• Kiểm tra góc vuông tại \(I\) bằng tích vô hướng:

\(\overset{\rightarrow}{I D} = D - I = \left(\right. 0 - a , a - 0 \left.\right) = \left(\right. - a , a \left.\right) ,\) \(\overset{\rightarrow}{I C} = C - I = \left(\right. 2 a - a , a - 0 \left.\right) = \left(\right. a , a \left.\right) ,\) \(\overset{\rightarrow}{I D} \cdot \overset{\rightarrow}{I C} = \left(\right. - a \left.\right) \left(\right. a \left.\right) + \left(\right. a \left.\right) \left(\right. a \left.\right) = - a^{2} + a^{2} = 0.\)

Góc tại \(I\) là góc vuông.

Vậy tam giác \(D I C\) vuông cân tại \(I\).

a) Chứng minh \(M B = N C = P D = Q A .\)

• Vì \(M\) nằm trên \(A B\) sao cho \(A M = x\), nên

\(M B = A B - A M = A B - x .\)

• Tương tự, trên cạnh \(B C\), điểm \(N\) sao cho \(B N = x\), nên

\(N C = B C - B N = A B - x .\)

• Cạnh \(C D\), điểm \(P\) sao cho \(C P = x\), nên

\(P D = C D - C P = A B - x .\)

• Cạnh \(D A\), điểm \(Q\) sao cho \(D Q = x\), nên

\(Q A = D A - D Q = A B - x .\)

vậy MB=NC=PD=QA=AB−x.

b) Chứng minh \(\Delta Q A M = \Delta N C P .\)

Cả hai tam giác đều được lấy từ các điểm trên các cạnh của hình vuông \(A B C D\).

Ta xem các tam giác trên mặt phẳng tọa độ hoặc dựa trên tính chất đồng dạng.

c) Chứng minh \(M N P Q\) là hình vuông.

M=(x,0),N=(a,x),P=(a−x,a),Q=(0,a−x).

Vậy góc giữa hai cạnh kề tại \(M\) là góc vuông.

a) Chứng minh \(A M C K\) là hình thoi.

Vì \(I\) là trung điểm \(A C\), nên \(I\) nằm giữa \(A\) và \(C\).

\(K\) nằm trên tia đối của \(I M\) (tức là thẳng hàng với \(I\) và \(M\), nhưng nằm về phía ngược lại của \(M\) so với \(I\)), và khoảng cách \(I K = I M\).

b) Chứng minh \(A K M B\) là hình bình hành.

• Các đỉnh: \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(K \left(\right. - \frac{b}{2} , \frac{c}{2} \left.\right)\), \(M \left(\right. \frac{b}{2} , \frac{c}{2} \left.\right)\), \(B \left(\right. b , 0 \left.\right)\).

Ta sẽ chứng minh hai cặp cạnh đối song song:

Vector \(\overset{\rightarrow}{A K} = \left(\right. - \frac{b}{2} - 0 , \frac{c}{2} - 0 \left.\right) = \left(\right. - \frac{b}{2} , \frac{c}{2} \left.\right)\),

Vector \(\overset{\rightarrow}{M B} = \left(\right. b - \frac{b}{2} , 0 - \frac{c}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{b}{2} , - \frac{c}{2} \left.\right)\).

c) Tìm điều kiện của \(\Delta A B C\) để tứ giác \(A M C K\) là hình vuông. 

• Ta đã biết \(A M C K\) là hình thoi.
• Để là hình vuông thì phải có góc vuông, tức hai cạnh kề nhau vuông góc:

Ví dụ, kiểm tra góc tại \(A\):

\(\overset{\rightarrow}{A M} = \left(\right. \frac{b}{2} , \frac{c}{2} \left.\right) , \overset{\rightarrow}{A K} = \left(\right. - \frac{b}{2} , \frac{c}{2} \left.\right) .\)

. 

a) Chứng minh \(\Delta B H E\) là tam giác vuông cân.

Ta thấy \(B H = H E\) nên tam giác \(B H E\) cân tại \(H\).

Kiểm tra góc vuông tại \(H\):

Tính tích vô hướng \(\overset{\rightarrow}{H B} \cdot \overset{\rightarrow}{H E}\):

\(\overset{\rightarrow}{H B} = B - H = \left(\right. b - \frac{2 b}{3} , 0 - \frac{b}{3} \left.\right) = \left(\right. \frac{b}{3} , - \frac{b}{3} \left.\right)\) \(\overset{\rightarrow}{H E} = E - H = \left(\right. \frac{b}{3} - \frac{2 b}{3} , 0 - \frac{b}{3} \left.\right) = \left(\right. - \frac{b}{3} , - \frac{b}{3} \left.\right)\)

 b) Chứng minh tứ giác \(E F G H\) là hình vuông.

Các điểm:

• \(E = \left(\right. \frac{b}{3} , 0 \left.\right)\),
• \(F = \left(\right. 0 , \frac{b}{3} \left.\right)\),
• \(G = \left(\right. \frac{b}{3} , \frac{2 b}{3} \left.\right)\),
• \(H = \left(\right. \frac{2 b}{3} , \frac{b}{3} \left.\right)\).

Tứ giác \(O B A C\) có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc vuông nên là hình vuông.

a) Chứng minh tứ giác \(M N P Q\) là hình bình hành

• Vì \(A B C D\) là hình bình hành, ta có:

\(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{D C} , \overset{⃗}{B C} = \overset{⃗}{A D} .\)

1. \(O\) là trung điểm của \(A C\) và \(B D\).
2. Đường thẳng \(m\) đi qua \(O\), cắt \(A B\) tại \(M\) và \(C D\) tại \(P\).

• Vì \(M , P\) đều nằm trên hai cạnh đối của hình bình hành.
• Vì \(m\) đi qua trung điểm \(O\) của \(A C\), và cắt \(A B\) và \(C D\), ta có:

\(\overset{⃗}{O M} = t \overset{⃗}{A B} , \overset{⃗}{O P} = t \overset{⃗}{D C} = t \overset{⃗}{A B} .\)

b) Chứng minh \(M N P Q\) là hình thoi

• Ta có \(M N\) vuông góc với \(N P\) vì \(m \bot n\).
• Từ phần a), \(M N P Q\) là hình bình hành và có hai đường chéo \(M P\) và \(N Q\) vuông góc nhau (vì \(m \bot n\)).
• Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
• Do đó, \(M N P Q\) là hình thoi.

a) Chứng minh tứ giác \(M N P Q\) là hình bình hành

• Vì \(A B C D\) là hình bình hành, ta có:

\(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{D C} , \overset{⃗}{B C} = \overset{⃗}{A D} .\)

1. \(O\) là trung điểm của \(A C\) và \(B D\).
2. Đường thẳng \(m\) đi qua \(O\), cắt \(A B\) tại \(M\) và \(C D\) tại \(P\).

• Vì \(M , P\) đều nằm trên hai cạnh đối của hình bình hành.
• Vì \(m\) đi qua trung điểm \(O\) của \(A C\), và cắt \(A B\) và \(C D\), ta có:

\(\overset{⃗}{O M} = t \overset{⃗}{A B} , \overset{⃗}{O P} = t \overset{⃗}{D C} = t \overset{⃗}{A B} .\)

b) Chứng minh \(M N P Q\) là hình thoi

• Ta có \(M N\) vuông góc với \(N P\) vì \(m \bot n\).
• Từ phần a), \(M N P Q\) là hình bình hành và có hai đường chéo \(M P\) và \(N Q\) vuông góc nhau (vì \(m \bot n\)).
• Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
• Do đó, \(M N P Q\) là hình thoi.