Xét ΔGBC có P và Q lần lượt là trung điểm của GB và GC nên PQ là đường trung bình của ΔGBC. ⇒ PQ // BC và PQ = $\frac{1}{2}$BC (1) Xét ΔABC có M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của ΔABC. ⇒ MN // BC và MN = $\frac{1}{2}$BC (2) Từ (1) và (2) ⇒ PQ // MN và PQ = MN. Vậy tứ giác PQMN có PQ // MN và PQ = MN nên PQMN là hình bình hành. Tứ giác PQMN là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC. E là trung điểm của AD nên $AE = ED = \frac{1}{2}AD$. F là trung điểm của BC nên $BF = FC = \frac{1}{2}BC$. Do đó $ED = BF$ và $ED \parallel BF$ (vì $AD \parallel BC$). Vậy tứ giác EBFD có ED // BF và ED = BF nên EBFD là hình bình hành. Vì ABCD là hình bình hành nên đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Vì EBFD là hình bình hành nên đường chéo EF và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, O là trung điểm của EF. Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng. a) EBFD là hình bình hành. b) Ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tứ giác AHCK, ta có: - AH ⊥ BD và CK ⊥ BD ⇒ AH // CK - Xét ΔAHD và ΔCKB: - $\widehat{AHD} = \widehat{CKB} = 90^\circ$ - AD = BC (do ABCD là hình bình hành) - $\widehat{ADH} = \widehat{CBK}$ (so le trong) - Do đó ΔAHD = ΔCKB (cạnh huyền - góc nhọn) - ⇒ AH = CK Vậy tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK nên AHCK là hình bình hành. Vì AHCK là hình bình hành nên đường chéo HK và AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà I là trung điểm của HK nên I cũng là trung điểm của AC. Xét ΔABD có: - I là trung điểm của AC - O là trung điểm của BD (do ABCD là hình bình hành) ⇒ IO là đường trung bình của ΔABD ⇒ IO // AB và IO = $\frac{1}{2}$AB Xét ΔIBD có: - IO là đường trung tuyến (do I là trung điểm của AC và O là trung điểm của BD) - IO // AB và IO = $\frac{1}{2}$AB ⇒ ΔIBD cân tại I ⇒ IB = ID. a) AHCK là hình bình hành. b) IB = ID.

- Xét tứ giác AEFD:

- Vì B là trung điểm của AE nên $AE = 2AB$.

- Vì C là trung điểm của DF nên $DF = 2CD$.

- Vì ABCD là hình bình hành nên $AB = CD$ và $AB \parallel CD$.

- Do đó $AE = DF$ và $AE \parallel DF$ (vì $AB \parallel CD$).

- Vậy tứ giác AEFD là hình bình hành.

- Xét tứ giác ABFC:

- Vì ABCD là hình bình hành nên $AB = CD$ và $AB \parallel CD$.

- Vì C là trung điểm của DF nên $CF = CD$.

- Do đó $AB = CF$ và $AB \parallel CF$.

- Vậy tứ giác ABFC là hình bình hành.

- Vì AEFD là hình bình hành nên đường chéo AF và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

- Vì ABFC là hình bình hành nên đường chéo AF và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

- Do đó, các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

a) AEFD và ABFC là hình bình hành.

b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

*Proble

Xét ΔOAM và ΔOCN, ta có:

- OA = OC (O là trung điểm của AC, do ABCD là hình bình hành)

- $\widehat{AOM} = \widehat{CON}$ (đối đỉnh)

- $\widehat{OAM} = \widehat{OCN}$ (so le trong, do AB // CD)

Do đó, ΔOAM = ΔOCN (g.c.g)

Từ ΔOAM = ΔOCN, ta có:

- OM = ON (hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác MBND, ta có:

- OM = ON (chứng minh trên)

- OB = OD (O là trung điểm của BD, do ABCD là hình bình hành)

Do đó, tứ giác MBND có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, nên MBND là hình bình hành.

ΔOAM = ΔOCN và tứ giác MBND là hình bình hành.

Xét ΔOAM và ΔOCN, ta có:

- OA = OC (O là trung điểm của AC, do ABCD là hình bình hành)

- $\widehat{AOM} = \widehat{CON}$ (đối đỉnh)

- $\widehat{OAM} = \widehat{OCN}$ (so le trong, do AB // CD)

Do đó, ΔOAM = ΔOCN (g.c.g)

Từ ΔOAM = ΔOCN, ta có:

- OM = ON (hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác MBND, ta có:

- OM = ON (chứng minh trên)

- OB = OD (O là trung điểm của BD, do ABCD là hình bình hành)

Do đó, tứ giác MBND có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, nên MBND là hình bình hành.

ΔOAM = ΔOCN và tứ giác MBND là hình bình hành.

*a) - Xét tứ giác AEFD: - $AE = \frac{1}{2}AB$ (E là trung điểm của AB) - $DF = \frac{1}{2}CD$ (F là trung điểm của CD) - Vì ABCD là hình bình hành nên $AB = CD$ và $AB \parallel CD$ - Do đó $AE = DF$ và $AE \parallel DF$ - Vậy tứ giác AEFD là hình bình hành. - Xét tứ giác AECF: - $AE = \frac{1}{2}AB$ (E là trung điểm của AB) - $CF = \frac{1}{2}CD$ (F là trung điểm của CD) - Vì ABCD là hình bình hành nên $AB = CD$ và $AB \parallel CD$ - Do đó $AE = CF$ và $AE \parallel CF$ - Vậy tứ giác AECF là hình bình hành. *b) Chứng minh EF = AD, AF = EC* - Vì AEFD là hình bình hành nên $EF = AD$ (hai cạnh đối của hình bình hành bằng nhau) - Vì AECF là hình bình hành nên $AF = EC$ (hai cạnh đối của hình bình hành bằng nhau) a) AEFD và AECF là hình bình hành. b) $EF = AD$ và $AF = EC$.