Vì MN song song AB, theo hệ quả định lí Thales trong tam giác DAB:
MN / AB = DM / DA (1)

Vì PQ song song AB, theo hệ quả định lí Thales trong tam giác CAB:
PQ / AB = CQ / CB (2)

Vì MQ song song với hai đáy AB và CD, theo định lí Thales cho hình thang:
DM / DA = CQ / CB (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:
MN / AB = PQ / AB
=> MN = PQ

Gọi I là trung điểm BC. Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên G thuộc đoạn AI và có tỉ lệ:
IG / IA = 1/3

Xét tam giác ABI có GM song song AB (M thuộc BI), theo định lí Thales:
IM / IB = IG / IA = 1/3
=> IM = (1/3) * IB

Ta có:
BM = BI - IM
BM = BI - (1/3) * BI
BM = (2/3) * BI

Vì I là trung điểm BC nên BI = (1/2) * BC. Thay vào ta được:
BM = (2/3) * (1/2) * BC
BM = (2/6) * BC
BM = (1/3) * BC

->BM = (1/3) * BC

Vì AB // CD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Áp dụng định lí Thalès (hoặc hệ quả định lí Thalès), ta có tỉ số các đoạn thẳng tương ứng trên hai đường chéo:
OA / OC = OB / OD

Áp dụng tính chất nhân chéo của tỉ lệ thức:
OA * OD = OB * OC

Vậy OA * OD = OB * OC.

Vì DF // AB (F thuộc AC, D thuộc BC), theo định lí Thalès ta có:
AF / AC = BD / BC (1)

Vì DE // AC (E thuộc AB, D thuộc BC), theo định lí Thalès ta có:
AE / AB = CD / BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra:
AE / AB + AF / AC = CD / BC + BD / BC
AE / AB + AF / AC = (CD + BD) / BC

Vì D nằm giữa B và C nên CD + BD = BC. Do đó:
AE / AB + AF / AC = BC / BC = 1

Vậy AE / AB + AF / AC = 1.

Xét tam giác ABC có E là trung điểm AB, D là trung điểm AC.

=> ED là đường trung bình của tam giác ABC.

=> ED // BC và ED = 1/2 BC (hoặc BC = 2 * ED).

Vì ED // BC nên tứ giác BCDE là hình thang.

Xét hình thang BCDE có M là trung điểm BE, N là trung điểm CD.

=> MN là đường trung bình của hình thang => MN // ED // BC.

Trong tam giác BED: Có M là trung điểm BE và MI // ED.

=> I là trung điểm BD và MI = 1/2 * ED. (1)

Trong tam giác CED: Có N là trung điểm CD và NK // ED.

=> K là trung điểm CE và KN = 1/2 * ED. (2)

Trong tam giác EBC: Có M là trung điểm BE và MK // BC.

=> MK là đường trung bình của tam giác EBC => MK = 1/2 * BC.

Thay BC = 2 * ED vào: MK = 1/2 * (2 * ED) = ED.

Ta có: IK = MK - MI.

Thay số vào: IK = ED - (1/2 * ED) = 1/2 * ED. (3)

             Từ (1), (2) và (3) ta có: MI = IK = KN = 1/2 * ED.

a)

Xét tam giác ABC có:

• M là trung điểm của AC (do BM là đường trung tuyến)
• N là trung điểm của AB (do CN là đường trung tuyến)

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Theo tính chất đường trung bình: MN // BC và MN = 1/2 BC (1).

Xét tam giác GBC có:

• D là trung điểm của GB (giả thiết)
• E là trung điểm của GC (giả thiết)

=> DE là đường trung bình của tam giác GBC.
Theo tính chất đường trung bình: DE // BC và DE = 1/2 BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra MN // DE (vì cùng song song với BC).

b)

Từ (1) và (2) ở Step 1, ta có: MN = DE (vì cùng bằng 1/2 BC).

Xét tứ giác MNDE có:

• MN // DE (chứng minh ở trên)
• MN = DE (chứng minh ở trên)

=> Tứ giác MNDE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết: tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
=> ND // ME (tính chất các cạnh đối của hình bình hành).

a)

Gọi I là trung điểm của MC.
Vì AM = 1/2 MC (theo đề bài) và MI = IC = 1/2 MC (do I là trung điểm),
Nên AM = MI. Vậy M là trung điểm của AI.

Ta có:

D là trung điểm của BC (AD là đường trung tuyến).

I là trung điểm của MC (cách vẽ).
=> DI là đường trung bình của tam giác BCM.
=> DI // BM (tính chất đường trung bình), hay DI // OM.

Ta có:

M là trung điểm của AI (chứng minh ở Bước 1).

OM // DI (chứng minh ở Bước 2).
Theo định lý đường trung bình: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
=> O là trung điểm của AD.

b)

Vì O là trung điểm AD và M là trung điểm AI, nên OM là đường trung bình của tam giác ADI.
=> OM = 1/2 DI (1)

Vì DI là đường trung bình của tam giác BCM (chứng minh ở câu a).
=> DI = 1/2 BM (2)

Thay (2) vào (1), ta có:
OM = 1/2 * (1/2 BM) = 1/4 BM.

->OM = 1/4 BM

a)

Gọi E là trung điểm của DC Kẻ đường thẳng ME song song với BD (E thuộc AC)

Trong tam giác BDC, ta có:

M là trung điểm của BC (do AM là trung tuyến)

ME // BD
Vậy ME là đường trung bình của tam giác BDC
Suy ra E là trung điểm của DC, nên DE = EC = 1/2 DC (1)

Trong tam giác AME, ta có:

I là trung điểm của AM (giả thiết)

ID // ME (vì BD // ME)
Vậy ID là đường trung bình của tam giác AME
Suy ra D là trung điểm của AE, nên AD = DE (2)

Từ (1) và (2), ta có:
AD = 1/2 DC 

b)

Vì ID là đường trung bình của tam giác AME (chứng minh câu a):
=> ID = 1/2 ME hay ME = 2 ID

Vì ME là đường trung bình của tam giác BDC (chứng minh câu a):
=> ME = 1/2 BD hay BD = 2 ME

Bước 3: Kết luận

Thay ME = 2 ID vào biểu thức trên:
BD = 2 . (2 ID) = 4 ID

->[BD] = 4 [ID]

Vì BN là đường phân giác của góc B (N thuộc AC), theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:
AN / NC = AB / BC = b / a
=> AN / (AN + NC) = b / (b + a)
=> AN / AC = b / (a + b)
Thay AC = b vào, ta được:
AN = (b * b) / (a + b) = b^2 / (a + b)

Chứng minh tương tự với đường phân giác CM của góc C (M thuộc AB), ta có:
AM / MB = AC / BC = b / a
=> AM = b^2 / (a + b)
Vì AM = AN (cùng bằng b^2 / (a + b)) và AB = AC, ta có:
AM / AB = AN / AC
Theo định lý Thales đảo, suy ra MN // BC.

Vì MN // BC, theo hệ quả của định lý Thales trong tam giác ABC, ta có:
MN / BC = AN / AC
Thay các giá trị vào:
MN / a = [b^2 / (a + b)] / b
MN / a = b / (a + b)
=> MN = (a * b) / (a + b)

Vậy MN = ab / (a + b).

Vì tam giác ABC cân tại A nên:
AB = AC = 12 cm.

Xét tam giác ABC có CD là đường phân giác của góc C (D thuộc AB). Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:
AD / DB = AC / BC

Thay số vào ta được:
AD / DB = 12 / 6 = 2
=> AD = 2 * DB

Mặt khác, vì điểm D nằm trên đoạn thẳng AB nên:
AD + DB = AB
2 * DB + DB = 12
3 * DB = 12
DB = 12 / 3 = 4 (cm)

Từ đó ta tính được AD:
AD = 2 * 4 = 8 (cm)

Vậy AD = 8 cm và DB = 4 cm.