Gọi số đo cung nhỏ \(= x\).
Cung lớn \(= 2 x\).
Tổng \(x + 2 x = 360^{\circ} \Rightarrow x = 120^{\circ} .\)

Góc ở tâm chắn cung nhỏ \(A B = 120^{\circ} .\)

Công thức:

\(A B = 2 R sin ⁡ \frac{A O B}{2} = 2 R sin ⁡ 60^{\circ} = 2 R \times \frac{\sqrt{3}}{2} = R \sqrt{3} .\)

a)

Gọi số đo cung nhỏ = \(x\).
Cung lớn = \(3 x\).
Tổng \(x + 3 x = 360^{\circ} \Rightarrow 4 x = 360^{\circ} \Rightarrow x = 90^{\circ} .\)

b,

Cung lớn = \(270^{\circ} .\)Cung nhỏ \(A B = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{A O B} = 90^{\circ} .\)

\(A B = 2 R sin ⁡ \frac{A O B}{2} = 2 R sin ⁡ 45^{\circ} = \sqrt{2} R .\)

\(O H = R cos ⁡ 45^{\circ} = \frac{R}{\sqrt{2}} .\)

Từ \(A B = \sqrt{2} R \Rightarrow R = \frac{A B}{\sqrt{2}} .\)

\(O H = \frac{R}{\sqrt{2}} = \frac{A B}{2} .\)
\(O H = R cos ⁡ 45^{\circ} = \frac{R}{\sqrt{2}} = \frac{A B / \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{A B}{2} .\)

Gọi bán kính \(R = O A = O B .\)Gọi \(H\) là trung điểm dây \(A B\), \(O H \bot A B\).

Công thức:

\(A B = 2 R sin ⁡ \frac{\hat{A O B}}{2} .\)

 \(3 = 2 R sin ⁡ 50^{\circ} .\)

\(R = \frac{3}{2 sin ⁡ 50^{\circ}} \approx \frac{3}{1.532} \approx 1.96 \&\text{nbsp};\text{cm} .\)

Khoảng cách từ A đến O chính là bán kính: \(O A = R \approx 2 \&\text{nbsp};\text{cm} .\)

ABC=ADC=90∘.
Hai góc ở B và D cùng chắn cung \(A C\).
Theo định lý: Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì cùng nằm trên một đường tròn.
A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

Trong tứ giác nội tiếp có 2 góc vuông đối diện, ta có:

\(A C = B D .\)

\(B^{'}\) ⟂ \(A C\), \(C C^{'}\) ⟂ \(A B\).

\(O\) là trung điểm \(B C\).

Hai tam giác vuông \(A B B^{'}\) và \(A C C^{'}\) đối xứng nhau qua đường trung trực của \(B C\).
 \(B^{'} C^{'}\) song song với \(B C\) (do cùng vuông góc với \(A O\)).
Tam giác \(A B^{'} C^{'}\) đồng dạng với tam giác \(A B C\) theo tỉ số \(k < 1\).

\(B^{'} C^{'} < B C .\)

Gọi khoảng cách cần tìm là \(d = O H\).

Áp dụng hệ thức:

\(\left(\left(\right. \frac{M N}{2} \left.\right)\right)^{2} + d^{2} = R^{2} .\)

Thay \(M N = R\):

\(\left(\left(\right. \frac{R}{2} \left.\right)\right)^{2} + d^{2} = R^{2} \Rightarrow d^{2} = R^{2} - \frac{R^{2}}{4} = \frac{3 R^{2}}{4} .\)\(d = \frac{\sqrt{3}}{2} R .\)

Bán kính: \(R = 10\).Gọi trung điểm của \(O A\) là \(I\).
 \(O I = \frac{O A}{2} = \frac{10}{2} = 5.\)

\(M N \bot O A\) tại \(I\) ⇒ \(I\) là trung điểm của dây \(M N\).

Công thức:

\(O M^{2} = R^{2} = O I^{2} + I M^{2} \Rightarrow I M = \sqrt{R^{2} - O I^{2}} .\)\(I M = \sqrt{10^{2} - 5^{2}} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3} .\)\(M N = 2 I M = 10 \sqrt{3} .\)