a) Do \(� � , � �\) là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn \(\left(\right. � \left.\right)\) nên \(\hat{� � �} = \hat{� � �} = 9 0^{\circ}\).

Gọi \(�\) là trung điểm \(� �\).

Xét tam giác \(� � �\) vuông tại \(�\) có \(� �\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(� � = � � = � � = \frac{1}{2} � �\) (1)

Xét tam giác \(� � �\) vuông tại \(�\) có \(� �\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(� � \&\text{nbsp}; = � � = � � = \frac{1}{2} � �\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(� � = � � = � � = � �\).

Suy ra \(� , �\) thuộc đường tròn tâm \(�\) đường kính \(� �\).

b) Ta có \(� � . � � = \frac{� �}{2} . 2 � � = � � . � �\).

c) Gọi \(�\) là trung điểm \(� �\), do \(�\) là trọng tâm \(\Delta � � �\) nên \(� \in � �\) và \(\frac{� �}{� �} = \frac{1}{3}\).

Mặt khác \(\frac{� �}{� �} = \frac{1}{3}\) \(\left(\right.\)vì \(� � = \frac{� �}{2} = \frac{� �}{2}\) nên \(� � = \frac{� �}{3} \left.\right)\)

Suy ra \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\), theo định lí Thalès đảo ta có:

\(� �\) // \(� �\).

d) Gọi \(�^{'}\) là giao điểm của \(� �\) và \(� �\) suy ra \(�^{'}\) là trọng tâm \(\Delta � � �\).

Nên \(\frac{�^{'} �}{� �} = \frac{1}{3} = \frac{� �}{� �^{'}}\)

Theo định lý Thalès đảo ta có \(� �^{'}\) // \(� �\) (1)

\(� �\) là đường trung bình trong \(\Delta � � �\) suy ra \(� �\) // \(� �\), mà \(� � ⊥ � �\) (cmt) nên \(� � ⊥ � �\), nghĩa là \(� � ⊥ � �\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(� � ⊥ � �^{'}\),

Lại có \(� �^{'} ⊥ � �\) (vì \(� � ⊥ � �\)) nên \(�\) là trực tâm \(\Delta � � �^{'}\)

Suy ra \(� � ⊥ �^{'} �\) tức là \(� � ⊥ � �\).

a) Tứ giác $BCED$ nội tiếp, $C$ thuộc đường tròn đường kính $AB$ suy ra \widehat{ACB}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\).

Mặt khác \(� � ⊥ � �\) tại \(�\) (gt) suy ra \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\).

Gọi \(�\) là trung điểm của \(� �\).

Xét tam giác \(� � �\) có \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\) và \(� �\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(� � = � � = � � = \frac{1}{2} � �\).

Xét tam giác \(� � �\) có \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\) và \(� �\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(� � = � � = � � = \frac{1}{2} � �\).

Suy ra \(� � � �\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(�\), đường kính \(� �\).

b) Xét \(\Delta � � �\) và \(\Delta � � �\) có:

\(\hat{� � �}\) chung

\(\hat{� � �} = \hat{� � �} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(\Delta � � � \sim \Delta � � �\) (g.g)

Suy ra \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) hay \(� � . � � = � � . � �\).

Mà \(�\) là trung điểm của \(� �\) (gt) suy ra \(� � = \frac{1}{2} � �\)

\(�\) là tâm đường tròn đường kính \(� �\) (gt) nên \(� � = \frac{1}{2} � �\)

Suy ra \(� � = \frac{1}{2} � � = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} � � = \frac{1}{4} � �\)

Do đó, \(� � . � � = \frac{1}{4} � � . � � = \frac{� �^{2}}{4}\) (đpcm).

a) Chứng minh \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\).

Vì \(� � , � �\) là các đường cao của \(\Delta � � �\) nên \(� � ⊥ � �\) và \(� � ⊥ � �\)

Suy ra \(\hat{� � �} = \hat{� � �} = 9 0^{\circ}\).

Gọi \(�\) là trung điểm của \(� �\).

Xét tam giác \(� � �\) có \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\) và \(� �\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(� � = � � = � � = \frac{1}{2} � �\) (1)

Xét tam giác \(� � �\) có \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\) và \(� �\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(� � = � � = � � = \frac{1}{2} � �\) (2)

Suy ra \(� � � �\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(�\), đường kính \(� �\).

Do đó \(\hat{� � �} + \hat{� � �} = 18 0^{\circ}\) (tổng hai góc đối bằng \(18 0^{\circ}\).

hay \(\hat{� � �} + \hat{� � �} = 18 0^{\circ}\).

Mà \(\hat{� � �} + \hat{� � �} = 18 0^{\circ}\) (hai góc kề bù) do đó \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\).

b) Chứng minh \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\).

Tứ giác \(� � � �\) nội tiếp nên \(\hat{� � �} + \hat{� � �} = 18 0^{\circ}\)

Mà \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\) (đối đỉnh) nên \(\hat{� � �} + \hat{� � �} = 18 0^{\circ}\) hay \(\hat{� � �} + \hat{� � �} = 18 0^{\circ}\)

Mặt khác tứ giác \(� � � �\) nội tiếp đường tròn tâm \(\left(\right. � \left.\right)\) nên \(\hat{� � �} + \hat{� � �} = 18 0^{\circ}\).

Do đó \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\).

c) Chứng minh \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\).

Ta chứng minh \(� � � �\) là tứ giác nội tiếp.

Gọi \(�\) là trung điểm \(� �\).

Xét tam giác \(� � �\) có \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\) và \(� �\) là đường trung tuyến nên \(� � = � � = � � = \frac{1}{2} � �\) (3) 

Xét tam giác \(� � �\) có \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\) và \(� �\) là đường trung tuyến nên \(� � = � � = � � = \frac{1}{2} � �\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(� � = � � = � � = � �\).

Vậy tứ giác \(� � � �\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(�\) đường kính \(� �\).

Suy ra \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(� �\) của đường tròn tâm \(�\)).

d) Chứng minh \(\hat{� � �} + 9 0^{\circ} = \hat{� � �}\).

Ta có \(\hat{� � �} + \hat{� � �} = 9 0^{\circ}\) (hai góc phụ nhau)

Hay \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ} - \hat{� � �}\)

Mà \(\hat{� � �} + \hat{� � �} = 18 0^{\circ}\) (tứ giác \(� � � �\) nội tiếp được đường tròn) nên \(9 0^{\circ} - \hat{� � �} + \hat{� � �} = 18 0^{\circ}\)

Suy ra \(\hat{� � �} + 9 0^{\circ} = \hat{� � �}\).

a) Chứng minh tứ giác \(� � � �\) nội tiếp.

Xét đường tròn \(\left(\right. � \left.\right)\) có \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(� � ⊥ � �\).

\(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(� � ⊥ � �\)

Mà \(� �\) cắt \(� �\) tại \(�\) nên \(�\) là trực tâm của tam giác \(� � �\)

Hay \(� � ⊥ � �\), suy ra \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\)

Gọi \(�\) là trung điểm \(� �\).

Xét tam giác \(� � �\) có \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\) và \(� �\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(� � = � � = � � = \frac{1}{2} � �\) (1)

Xét tam giác \(� � �\) có \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\) và là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(� � = � � = � � = \frac{1}{2} � �\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(� � = � � = � � = � �\).

Vậy tứ giác \(� � � �\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(�\) đường kính \(� �\).

b) Chứng minh tứ giác \(� � � �\) nội tiếp.

Gọi \(�\) là trung điểm \(� �\).

Xét tam giác \(� � �\) có \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\) và \(� �\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(� � = � � = � � = \frac{1}{2} � �\) (3)

Xét tam giác \(� � �\) có \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\) và \(� �\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(� � = � � = � � = \frac{1}{2} � �\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(� � = � � = � � = � �\).

Vậy tứ giác \(� � � �\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(�\) đường kính \(� �\).

a) Chứng minh \(� � � �\) là tứ giác nội tiếp.

Gọi \(�\) là trung điểm \(� �\).

Vì \(� � , � �\) là các đường cao của \(\Delta � � �\) nên \(� � ⊥ � �\) và \(� � ⊥ � �\)

Suy ra \(\hat{� � �} = \hat{� � �} = 9 0^{\circ}\).

Xét tam giác \(� � �\) có \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\) và \(� �\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(� � = � � = � � = \frac{1}{2} � �\) (1)

Xét tam giác \(� � �\) có \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\) và \(� �\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(� � = � � = � � = \frac{1}{2} � �\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(� � = � � = � � = � �\).

Vậy tứ giác \(� � � �\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(�\) là trung điểm \(� �\).

b) Chứng minh \(� � � �\) là tứ giác nội tiếp.

Vì \(� � , � �\) là các đường cao của \(\Delta � � �\) nên \(� � ⊥ � �\) và \(� � ⊥ \&\text{nbsp}; � �\).

Gọi \(�\) là trung điểm \(� �\) (học sinh tự vẽ thêm trên hình)

Xét tam giác \(� � �\) có \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\) và \(� �\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(� � = � � = � � = \frac{1}{2} � �\) (3)

Xét tam giác \(� � �\) có \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\) và \(� �\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(� � = � � = � � = \frac{1}{2} � �\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(� � � �\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(�\) là trung điểm \(� �\), đường kính \(� �\).

1. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp.
2. Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với AB và AC.
3. Ta có: IB⟂BCcap I cap B ⟂ cap B cap C𝐼𝐵⟂𝐵𝐶, IC⟂BCcap I cap C ⟂ cap B cap C𝐼𝐶⟂𝐵𝐶, IE⟂ABcap I cap E ⟂ cap A cap B𝐼𝐸⟂𝐴𝐵, IF⟂ACcap I cap F ⟂ cap A cap C𝐼𝐹⟂𝐴𝐶.
4. Do I là tâm đường tròn nội tiếp, ta có các tính chất sau:
5. • IA=IB=IC=ID=rcap I cap A equals cap I cap B equals cap I cap C equals cap I cap D equals r𝐼𝐴=𝐼𝐵=𝐼𝐶=𝐼𝐷=𝑟
   • IE=IF=ID=rcap I cap E equals cap I cap F equals cap I cap D equals r𝐼𝐸=𝐼𝐹=𝐼𝐷=𝑟
   • IE⟂ABcap I cap E ⟂ cap A cap B𝐼𝐸⟂𝐴𝐵, IF⟂ACcap I cap F ⟂ cap A cap C𝐼𝐹⟂𝐴𝐶, ID⟂BCcap I cap D ⟂ cap B cap C𝐼𝐷⟂𝐵𝐶.
   • BE=BDcap B cap E equals cap B cap D𝐵𝐸=𝐵𝐷
   • CF=CDcap C cap F equals cap C cap D𝐶𝐹=𝐶𝐷
   • AE=AFcap A cap E equals cap A cap F𝐴𝐸=𝐴𝐹
6. Từ đó ta có:
7. • AB=AE+EB=AE+BDcap A cap B equals cap A cap E plus cap E cap B equals cap A cap E plus cap B cap D𝐴𝐵=𝐴𝐸+𝐸𝐵=𝐴𝐸+𝐵𝐷
   • AC=AF+FC=AE+CDcap A cap C equals cap A cap F plus cap F cap C equals cap A cap E plus cap C cap D𝐴𝐶=𝐴𝐹+𝐹𝐶=𝐴𝐸+𝐶𝐷
   • BC=BD+DCcap B cap C equals cap B cap D plus cap D cap C𝐵𝐶=𝐵𝐷+𝐷𝐶
8. Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có:
9. • BC2=AB2+AC2cap B cap C squared equals cap A cap B squared plus cap A cap C squared𝐵𝐶2=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2
10. Từ các biểu thức trên, ta có:
11. • AB−AC=(AE+BD)−(AE+CD)=BD−CDcap A cap B minus cap A cap C equals open paren cap A cap E plus cap B cap D close paren minus open paren cap A cap E plus cap C cap D close paren equals cap B cap D minus cap C cap D𝐴𝐵−𝐴𝐶=(𝐴𝐸+𝐵𝐷)−(𝐴𝐸+𝐶𝐷)=𝐵𝐷−𝐶𝐷
    • BD−CD=AB−AC1cap B cap D minus cap C cap D equals the fraction with numerator cap A cap B minus cap A cap C and denominator 1 end-fraction𝐵𝐷−𝐶𝐷=𝐴𝐵−𝐴𝐶1
    • 2BD=(BD+CD)+(BD−CD)=BC+AB−AC2 cap B cap D equals open paren cap B cap D plus cap C cap D close paren plus open paren cap B cap D minus cap C cap D close paren equals cap B cap C plus cap A cap B minus cap A cap C2𝐵𝐷=(𝐵𝐷+𝐶𝐷)+(𝐵𝐷−𝐶𝐷)=𝐵𝐶+𝐴𝐵−𝐴𝐶
    • BD=BC+AB−AC2cap B cap D equals the fraction with numerator cap B cap C plus cap A cap B minus cap A cap C and denominator 2 end-fraction𝐵𝐷=𝐵𝐶+𝐴𝐵−𝐴𝐶2 

1. Từ phần a), ta có các biểu thức sau:
2. • AB=2BD−BC+ACcap A cap B equals 2 cap B cap D minus cap B cap C plus cap A cap C𝐴𝐵=2𝐵𝐷−𝐵𝐶+𝐴𝐶
   • AC=2CD−BC+ABcap A cap C equals 2 cap C cap D minus cap B cap C plus cap A cap B𝐴𝐶=2𝐶𝐷−𝐵𝐶+𝐴𝐵
3. Do đó, ta có:
4. • SABC=12AB⋅AC=12(BD+AE)(CD+AF)=12(BD+AF)(CD+AF)cap S sub cap A cap B cap C end-sub equals one-half cap A cap B center dot cap A cap C equals one-half open paren cap B cap D plus cap A cap E close paren open paren cap C cap D plus cap A cap F close paren equals one-half open paren cap B cap D plus cap A cap F close paren open paren cap C cap D plus cap A cap F close paren𝑆𝐴𝐵𝐶=12𝐴𝐵⋅𝐴𝐶=12(𝐵𝐷+𝐴𝐸)(𝐶𝐷+𝐴𝐹)=12(𝐵𝐷+𝐴𝐹)(𝐶𝐷+𝐴𝐹)
   • SABC=12AB⋅AC=12⋅(AB+AC+BC)⋅rcap S sub cap A cap B cap C end-sub equals one-half cap A cap B center dot cap A cap C equals one-half center dot open paren cap A cap B plus cap A cap C plus cap B cap C close paren center dot r𝑆𝐴𝐵𝐶=12𝐴𝐵⋅𝐴𝐶=12⋅(𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶)⋅𝑟
   • SABC=12AB⋅AC=12⋅(AB+AC+BC)⋅rcap S sub cap A cap B cap C end-sub equals one-half cap A cap B center dot cap A cap C equals one-half center dot open paren cap A cap B plus cap A cap C plus cap B cap C close paren center dot r𝑆𝐴𝐵𝐶=12𝐴𝐵⋅𝐴𝐶=12⋅(𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶)⋅𝑟
5. Ta cũng có:
6. • BD=BC+AB−AC2cap B cap D equals the fraction with numerator cap B cap C plus cap A cap B minus cap A cap C and denominator 2 end-fraction𝐵𝐷=𝐵𝐶+𝐴𝐵−𝐴𝐶2
   • CD=BC−BD=BC−BC+AB−AC2=BC−AB+AC2cap C cap D equals cap B cap C minus cap B cap D equals cap B cap C minus the fraction with numerator cap B cap C plus cap A cap B minus cap A cap C and denominator 2 end-fraction equals the fraction with numerator cap B cap C minus cap A cap B plus cap A cap C and denominator 2 end-fraction𝐶𝐷=𝐵𝐶−𝐵𝐷=𝐵𝐶−𝐵𝐶+𝐴𝐵−𝐴𝐶2=𝐵𝐶−𝐴𝐵+𝐴𝐶2
7. Do đó, ta có:
8. • BD⋅DC=(BC+AB−AC)(BC−AB+AC)4cap B cap D center dot cap D cap C equals the fraction with numerator open paren cap B cap C plus cap A cap B minus cap A cap C close paren open paren cap B cap C minus cap A cap B plus cap A cap C close paren and denominator 4 end-fraction𝐵𝐷⋅𝐷𝐶=(𝐵𝐶+𝐴𝐵−𝐴𝐶)(𝐵𝐶−𝐴𝐵+𝐴𝐶)4
   • BD⋅DC=(BC+(AB−AC))(BC−(AB−AC))4cap B cap D center dot cap D cap C equals the fraction with numerator open paren cap B cap C plus open paren cap A cap B minus cap A cap C close paren close paren open paren cap B cap C minus open paren cap A cap B minus cap A cap C close paren close paren and denominator 4 end-fraction𝐵𝐷⋅𝐷𝐶=(𝐵𝐶+(𝐴𝐵−𝐴𝐶))(𝐵𝐶−(𝐴𝐵−𝐴𝐶))4
   • BD⋅DC=BC2−(AB−AC)24=AB2+AC2−(AB2−2AB⋅AC+AC2)4cap B cap D center dot cap D cap C equals the fraction with numerator cap B cap C squared minus open paren cap A cap B minus cap A cap C close paren squared and denominator 4 end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B squared plus cap A cap C squared minus open paren cap A cap B squared minus 2 cap A cap B center dot cap A cap C plus cap A cap C squared close paren and denominator 4 end-fraction𝐵𝐷⋅𝐷𝐶=𝐵𝐶2−(𝐴𝐵−𝐴𝐶)24=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2−(𝐴𝐵2−2𝐴𝐵⋅𝐴𝐶+𝐴𝐶2)4
   • BD⋅DC=2AB⋅AC4=AB⋅AC2=SABCcap B cap D center dot cap D cap C equals the fraction with numerator 2 cap A cap B center dot cap A cap C and denominator 4 end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B center dot cap A cap C and denominator 2 end-fraction equals cap S sub cap A cap B cap C end-sub𝐵𝐷⋅𝐷𝐶=2𝐴𝐵⋅𝐴𝐶4=𝐴𝐵⋅𝐴𝐶2=𝑆𝐴𝐵𝐶 

• Bước 1: Đặt Acap A𝐴 tại gốc tọa độ (0,0)open paren 0 comma 0 close paren(0,0). Vì tam giác vuông tại Acap A𝐴, ta có B(0,9)cap B open paren 0 comma 9 close paren𝐵(0,9) và C(12,0)cap C open paren 12 comma 0 close paren𝐶(12,0).
• Bước 2: Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp Icap I𝐼.
• • Độ dài cạnh huyền BC=AB2+AC2=92+122=81+144=225=15cap B cap C equals the square root of cap A cap B squared plus cap A cap C squared end-root equals the square root of 9 squared plus 12 squared end-root equals the square root of 81 plus 144 end-root equals the square root of 225 end-root equals 15𝐵𝐶=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2√=92+122√=81+144√=225√=15cm.
  • Bán kính đường tròn nội tiếp r=AB+AC−BC2=9+12−152=62=3r equals the fraction with numerator cap A cap B plus cap A cap C minus cap B cap C and denominator 2 end-fraction equals the fraction with numerator 9 plus 12 minus 15 and denominator 2 end-fraction equals six-halves equals 3𝑟=𝐴𝐵+𝐴𝐶−𝐵𝐶2=9+12−152=62=3cm.
  • Tọa độ tâm nội tiếp Icap I𝐼 là (r,r)=(3,3)open paren r comma r close paren equals open paren 3 comma 3 close paren(𝑟,𝑟)=(3,3).
• Bước 3: Tìm tọa độ trọng tâm Gcap G𝐺.
• • Tọa độ trọng tâm G=(xA+xB+xC3,yA+yB+yC3)cap G equals open paren the fraction with numerator x sub cap A plus x sub cap B plus x sub cap C and denominator 3 end-fraction comma the fraction with numerator y sub cap A plus y sub cap B plus y sub cap C and denominator 3 end-fraction close paren𝐺=(𝑥𝐴+𝑥𝐵+𝑥𝐶3,𝑦𝐴+𝑦𝐵+𝑦𝐶3).
  • G=(0+0+123,0+9+03)=(123,93)=(4,3)cap G equals open paren the fraction with numerator 0 plus 0 plus 12 and denominator 3 end-fraction comma the fraction with numerator 0 plus 9 plus 0 and denominator 3 end-fraction close paren equals open paren twelve-thirds comma nine-thirds close paren equals open paren 4 comma 3 close paren𝐺=(0+0+123,0+9+03)=(123,93)=(4,3).
• Bước 4: Tính khoảng cách IGcap I cap G𝐼𝐺.
• • Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm: IG=(xG−xI)2+(yG−yI)2cap I cap G equals the square root of open paren x sub cap G minus x sub cap I close paren squared plus open paren y sub cap G minus y sub cap I close paren squared end-root𝐼𝐺=(𝑥𝐺−𝑥𝐼)2+(𝑦𝐺−𝑦𝐼)2√.
  • IG=(4−3)2+(3−3)2=12+02=1=1cap I cap G equals the square root of open paren 4 minus 3 close paren squared plus open paren 3 minus 3 close paren squared end-root equals the square root of 1 squared plus 0 squared end-root equals the square root of 1 end-root equals 1𝐼𝐺=(4−3)2+(3−3)2√=12+02√=1√=1cm. 

1. Độ dài cạnh huyền BCcap B cap C𝐵𝐶được tính bằng công thức BC=AB2+AC2cap B cap C equals the square root of cap A cap B squared plus cap A cap C squared end-root𝐵𝐶=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2√.

1. Diện tích tam giác ABCcap A cap B cap C𝐴𝐵𝐶được tính bằng công thức S=12×AB×ACcap S equals 1 over 2 end-fraction cross cap A cap B cross cap A cap C𝑆=12×𝐴𝐵×𝐴𝐶.

1. Nửa chu vi tam giác ABCcap A cap B cap C𝐴𝐵𝐶được tính bằng công thức p=AB+AC+BC2p equals the fraction with numerator cap A cap B plus cap A cap C plus cap B cap C and denominator 2 end-fraction𝑝=𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶2.

1. Bán kính đường tròn nội tiếp rr𝑟được tính bằng công thức r=Spr equals the fraction with numerator cap S and denominator p end-fraction𝑟=𝑆/𝑝.

Câu 1. Đoạn văn (khoảng 200 chữ) ghi lại cảm nghĩ sau khi đọc bài thơ “Mẹ”

Bài thơ Mẹ của Bằng Việt khắc họa hình ảnh người mẹ hiền hậu, tận tụy và giàu tình yêu thương dành cho con. Khi đọc bài thơ, em cảm nhận được nỗi nhớ da diết của người con với mẹ và quê hương, nhất là trong bối cảnh chiến tranh, gian khó. Từng câu chữ đều gợi lên hình ảnh mẹ lặng lẽ chăm sóc con, từ những món ăn bình dị như canh tôm nấu khế, khoai nướng, ngô bung, đến những hành động âm thầm nhưng đầy tình thương. Cách tác giả miêu tả chi tiết, giàu hình ảnh đã làm nổi bật sự hy sinh thầm lặng của mẹ, đồng thời thể hiện tình cảm sâu nặng của con đối với mẹ. Em thấy xúc động khi hình dung mẹ già chịu đựng gian khó nhưng vẫn quan tâm từng hơi thở, từng bước đi của con, và nỗi nhớ mẹ khiến con cảm thấy đất nước trở nên gần gũi, ấm áp. Bài thơ khiến em hiểu hơn giá trị của tình mẫu tử thiêng liêng, đồng thời nhắc nhở em trân trọng, biết ơn những công lao và tình thương vô bờ của cha mẹ.

Câu 2. Bài văn nghị luận (khoảng 400 chữ) về ý nghĩa của lòng biết ơn trong cuộc sống

Lòng biết ơn là một trong những giá trị đạo đức cao đẹp, giúp con người sống nhân hậu, chân thành và có trách nhiệm với bản thân và người khác. Bài thơ Mẹ của Bằng Việt đã gợi lên lòng biết ơn của người con đối với mẹ. Nhân vật trữ tình xúc động trước những hy sinh, lo toan và tình yêu thương vô bờ bến của mẹ, từ việc chăm sóc, nấu những món ăn bình dị đến sự dạy dỗ, quan tâm từng bước đi của con. Từ câu chuyện này, chúng ta nhận ra rằng biết ơn không chỉ là nhận thức về công lao, tình cảm mà còn là hành động, thái độ trân trọng và đối xử tốt với những người đã yêu thương, giúp đỡ mình.

Lòng biết ơn giúp con người trở nên cao thượng, gắn kết các mối quan hệ và tạo nên một xã hội nhân ái. Người biết ơn sẽ không bao giờ xem nhẹ tình thương, công sức của cha mẹ, thầy cô hay bạn bè, đồng thời biết chia sẻ, giúp đỡ người khác. Ngược lại, thiếu lòng biết ơn dẫn đến ích kỷ, thờ ơ và làm phai nhạt những giá trị tốt đẹp xung quanh. Trong cuộc sống hằng ngày, lòng biết ơn có thể thể hiện qua những lời nói, hành động nhỏ nhưng chân thành, như thăm hỏi cha mẹ, quan tâm bạn bè, trân trọng sự giúp đỡ của người khác.

Như vậy, lòng biết ơn là nền tảng của nhân cách, giúp con người sống có trách nhiệm và giàu tình cảm. Bài thơ Mẹ nhắc nhở mỗi chúng ta hãy luôn biết ơn và trân trọng những người thân yêu, những công lao thầm lặng đã làm nên hạnh phúc và cuộc sống của chúng ta.