1) \(\hat{B A E} = \hat{E A C}\) (giả thiết). (1)

Vì \(A B\) // \(E F\) nên \(\hat{B A E} = \hat{A E F}\) (hai góc so le trong). (2)

Vì \(A E\) // \(F I\) nên \(\hat{E A C} = \hat{I F C}\) (hai góc đồng vị). (3)

Vì \(A E\) // \(F I\) nên \(\hat{A E F} = \hat{E F I}\) (hai góc so le trong). (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: \(\hat{B A E} = \hat{E A C} = \hat{A E F} = \hat{I F C} = \hat{E F I}\).

2) Từ chứng minh trên, ta có: \(\hat{E F I} = \hat{I F C}\) mà \(F I\) là tia nằm giữa hai tia \(F E\) và \(F C\).

Vậy \(F I\) là tia phân giác của \(\hat{E F C}\).

a) Vì xy song song với mn nên góc xAB bằng góc ABm, và góc BAy bằng góc ABn (do là các góc đồng vị).

Khi hai góc bằng nhau, các tia phân giác của chúng tạo thành một góc vuông.

Do đó, hai tia phân giác của góc xAB và góc ABm cắt nhau tại điểm C tạo thành góc vuông tại đỉnh A, tức là AC vuông góc với AD.

Tương tự, hai tia phân giác của góc BAy và góc ABn cắt nhau tại điểm D cũng tạo thành góc vuông tại đỉnh B, nên BC vuông góc với BD.

b) Từ kết quả trên, ta có AC vuông góc với AD và BC vuông góc với BD.

Mà hai đường thẳng cùng vuông góc với hai đường thẳng khác thì song song với nhau.

Vì vậy, AD song song với BC, và AC song song với BD.

c) Từ kết quả AC vuông góc với AD, tam giác ACD có góc tại đỉnh C bằng chín mươi độ, tức là góc ACB là góc vuông.

Tương tự, từ BC vuông góc với BD, tam giác BDC có góc tại đỉnh D bằng chín mươi độ, tức là góc BDA là góc vuông.

Giả sử hai đường thẳng cắt nhau tại điểm \(O\), tạo thành hai góc đối đỉnh là góc \(A O B\) và góc \(C O D\). Vì là góc đối đỉnh nên góc \(A O B\) bằng góc \(C O D\).

Gọi \(O t\) là tia phân giác của góc \(A O B\), tức là tia \(O t\) chia góc \(A O B\) thành hai góc bằng nhau: góc \(A O t\) bằng góc \(t O B\). Tương tự, gọi \(O t^{'}\) là tia phân giác của góc \(C O D\), khi đó góc \(C O t^{'}\) bằng góc \(t^{'} O D\).

Do góc \(A O B\) bằng góc \(C O D\), nên các góc tạo bởi hai tia phân giác cũng bằng nhau, cụ thể là góc \(A O t\) bằng góc \(C O t^{'}\), và góc \(t O B\) bằng góc \(t^{'} O D\).

Hai tia phân giác \(O t\) và \(O t^{'}\) cùng xuất phát từ điểm \(O\), nằm trong hai góc đối đỉnh và tạo với nhau các góc bằng nhau ở hai phía đối ngược của điểm \(O\). Vì vậy, hai tia này nằm trên cùng một đường thẳng nhưng hướng ngược nhau.

Do đó, ta kết luận: hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh là hai tia đối nhau.\(\)

Giả sử hai đường thẳng cắt nhau tại điểm \(O\), tạo thành hai góc đối đỉnh:

Ta có:

góc AOB = góc COD

\(\)