Ta có:

x₁,x₂ là n° của:

x²+2014x+2=0

x₃,x₄ là n° của: 

x₂+2025x+2=0

Theo vi ét:

x₁+x₂=-2024; x₁x₂ =2

x₃+x₄=-2025; x₃x₄=2

A = (x₁ + x₃)(x₂ − x₃)(x₁ + x₄)(x₂ − x₄)

A = [(x₁ + x₃)(x₁ + x₄)] · [(x₂ − x₃)(x₂ − x₄)] Xét từng nhóm: Ta có: (x₁ + x₃)(x₁ + x₄) = x₁² + x₁(x₃ + x₄) + x₃x₄ = x₁² + x₁(-2025) + 2 = x₁² - 2025x₁ + 2

Vì x₁là n°của:

x²+2024x+2=0 

=> x₁²=-2024x₁-2

Thay vào :

= (-2024x₁ - 2) - 2025x₁ + 2 = -4049x₁

Tương tự: (x₂ − x₃)(x₂ − x₄) = x₂² - x₂(x₃ + x₄) + x₃x₄ = x₂² + 2025x₂ + 2

Mà: x²₂=-2024x₂-2

=>=(-2024x₂-2)+2025x₂+2

=x₂

Suy ra: A = (-4049x₁)·(x₂) = -4049(x₁x₂) = -4049·2 = -8098

Xét pt: x² -2(m +1)x +2m-2=0 

a, ta có : ∆=[2(m+1]² - 4(2m-2)

=4(m+1)²-8m+8 

=4(m²+2m+1-2m+2)

=4(m²+3)>0  

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b, Gọi x₁ ,x₂ là 2 n°

x₁+x₂=2(m+1) 

x₁x₂=2m-2

Vì x₁ là n° nên :

x₁²-2(m+1)x₁+2m-2=0

=>x₁²=2(m+1)x₁-(m-2)

Thay vào b:

B=x₁²+2(m+1)x₂+2m-2

=[2(m+1)x₁-(2m-2)]+2(m+1)x₂+2m-2

=2(m+1).(x₁+x₂)

=(m+1).2(m+1)

=4(m+1)²

x²-mx-1=0

a, Ta có: Δ =m²+4>0 với mọi m ⇒ Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁x₂ Theo hệ thức Vi-ét: x₁+x₂=m x₁.x₂=-1 Vì x₁x₂=-1<0 ⇒x₁x₂ trái dấu.

b,

Ta có: A = x₁² +x₁-1/x₁ - x²₂+x₂-1 /x₂  Biến đổi: A = (x₁+1-1/x₁ )-(x₂ +1-1/x₂ ) = (x₁-x₂)-(1/x₁-1/x₂) = (x₁-x₂) - x₂-x₁/x₂.x₁ = (x₁-x₂)+ x₂-x₁/x₂.x₁ = (x₁-x₂).(1+1/x₂.x₁) Mà x₁x₂=-1 ⇒ 1+1/x₁x₂ =1-1=0 ⇒ A = 0

Đặt hệ trục tọa độ vuông góc Oxy sao cho: A(0;0), B(9;0), C(0;12). Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên: BC = √(AB² + AC²) = √(9² + 12²) = 15 (cm)

Bán kính đường tròn nội tiếp: r = (AB + AC - BC) / 2 = (9 + 12 - 15)/2 = 3 Vì tam giác vuông tại A nên: I(r; r) ⇒ I(3;3)

Trọng tâm: G = ( (xA + xB + xC)/3 ; (yA + yB + yC)/3 ) ⇒ G = ( (0+9+0)/3 ; (0+0+12)/3 ) = (3;4) 

IG=√(3+3)²+(4-3)² ⇒ IG = 1 (cm)

Vậy độ dài IG = 1 cm

Xét ∆ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pythagore ta có:

BC²   = AB²  + AC²  

BC²  = 6² + 8² = 36 + 64 = 100

BC = √100= 10 (cm)

Bán kính đường tròn nội tiếp:

r = AB + AC - BC/ 2

r =6 + 8 - 10/2.

r = 4/2= 2 (cm)

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r = 2 cm.

Gọi số người thành phố Gia Nghĩa dự định xét nghiệm được trong mỗi giờ là x (người). Điều kiện: x thuộc N .     ​Thời gian dự định để xét nghiệm xong 1000 người là:  1000/x  (giờ). ​Năng suất thực tế (số người xét nghiệm được trong một giờ) là: x + 50 (người). ​Thời gian thực tế để xét nghiệm xong 1000 người là: 1000/x + 50 (giờ).

 1000/x  -  1000/x + 50 = 1

Quy đồng và khử mẫu phương trình: 1000(x + 50) - 1000x/x(x + 50) =  x(x + 50)/x(x + 50).

1000x + 50000 - 1000x = x² + 50x

x²   + 50x - 50000 = 0

∆' = 25² - 1 . (-50000) = 625 + 50000 = 50625 > 0. Vì căn bậc 2 của 50625= 225 nên phương trình có hai nghiệm:

​x₁ = -25 + 225 = 200 (Thỏa mãn điều kiện) ​x₂  = -25 - 225 = -250 (Loại)

Vậy theo kế hoạch, mỗi giờ thành phố Gia Nghĩa xét nghiệm được 200 người.

Gọi số bộ quần áo phân xưởng may được mỗi ngày theo kế hoạch là x (bộ). Điều kiện: x thuộc N*

Thời gian dự định để hoàn thành 900 bộ quần áo là:  900/x( ngày)

​Năng suất thực tế mỗi ngày phân xưởng may được là: x + 10 (bộ/ngày). ​Thời gian thực tế để hoàn thành 900 bộ quần áo là:  900/x + 10 (ngày).

Vì phân xưởng hoàn thành kế hoạch trước 3 ngày so với dự định, nên ta có phương trình:

 900/x  -  900/x + 10 = 3

Rút gọn hai vế cho 3 ta có pt:

 300/x  -  300/x + 10 = 1

Quy đồng và khử mẫu:

300(x + 10) - 300x/ x(x + 10) = x(x + 10)/x(x + 10)

300x + 3000 - 300x = x² + 10x

x² + 10x - 3000 = 0

∆' = 5² - 1 . (-3000) = 25 + 3000 = 3025 > 0. Vì căn bậc 2 của 3025 = 55 nên phương trình có hai nghiệm: ​x₁ = -5 + 55 = 50 (Thỏa mãn điều kiện) ​x₂ = -5 - 55 = -60 (Loại) ​

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng may được 50 bộ quần áo.      

Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h). Điều kiện: x > 0. Khi đó, vận tốc của ô tô là x + 9 (km/h).

Thời gian xe máy đi từ Cao Bằng đến Bảo Lạc là:  135/x (giờ). ​Thời gian ô tô đi từ Cao Bằng đến Bảo Lạc là:  135/x + 9 (giờ). ​Đổi: 45 phút = 3/4 giờ 

Vì ô tô đến huyện Bảo Lạc trước xe máy 45 phút nên thời gian đi của ô tô ít hơn thời gian đi của xe máy. Ta có phương trình:

 135/x  - 135/x + 9 = 3/4

Rút gọn hai vế , ta có pt:

45/x - 45/x + 9=1/4

Quy đồng và khử mẫu:

 4 . 45(x + 9) - 4 . 45x / 4x(x + 9)=  x(x + 9)/4x(x + 9).

180(x + 9) - 180x = x²  + 9x

180x + 1620 - 180x = x²  + 9x

x² + 9x - 1620 = 0

∆ = 9² - 4 .1 . (-1620) = 81 + 6480 = 6561. Vì căn bậc 2 của 6561 = 81 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

​x₁  =  -9 + 81/2 = 36 (Thỏa mãn điều kiện) ​x₂ = -9 - 81/2 = -45 (Loại)  Vận tốc của xe máy là 36 km/h. Vận tốc của ô tô là: 36 + 9 =45 km/h.

Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h). Điều kiện: x > 10.

Thời gian dự định của ô tô để đi hết quãng đường AB là: 100/x (giờ).

Vận tốc thực tế của ô tô là: x - 10 (km/h).

Thời gian thực tế của ô tô để đi hết quãng đường AB là: 100/x-10  (giờ).

Đổi: 30 phút = 1/2  giờ.

Vì thực tế xe đến B chậm hơn so với dự định 30 phút, nên ta có phương trình: 100/x-10 - 100/x = 1/2

Quy đồng và khử mẫu phương trình trên:

 200x - 200(x - 10)/2x(x - 10) = x(x - 10)/2x(x - 10)

200x - 200x + 2000 = x² - 10x

x² - 10x - 2000 = 0

Giải phương trình bậc hai: Ta có ∆' = (-5)² - 1. (-2000) = 25 + 2000 = 2025 > 0.

Pt có 2 n° phân biệt . Căn bậc hai của ∆' là căn bậc 2 của 2025  = 45.

Nghiệm của phương trình: ​x₁ = 5 + 45 = 50 (Thỏa mãn điều kiện) ​x₂ = 5 - 45 = -40 (Loại)

Vậy vận tốc dự định của ô tô là 50 km/h. Thời gian dự định ô tô đi trên quãng đường AB là: 100 : 50 = 2 giờ.

Gọi chiều rộng khu vườn là x (m) ⇒ Chiều dài là 3x (m) Vì làm lối đi rộng 1,5 m xung quanh phía trong vườn, nên mỗi chiều bị giảm 2 x 1,5 =3 (m) ⇒ Kích thước phần đất trồng trọt là: Chiều rộng: x-3 Chiều dài: 3x-3 Diện tích phần đất trồng trọt là 4329 m² à , ta có phương trình: (x-3).(3x-3)=4329. Giải phương trình: (x-3).(3x-3)=4329 3x²-12x-4329=0 x²-4x -1440=0 ∆=(-4)²-4.1.1440=16+5760=5776 x=4+76/2=40 Vậy Chiều rộng:40 m Chiều dài:40.3=120m