a)

Vì BE ⟂ AC nên ∠BEC = 90°.

Vì CF ⟂ AB nên ∠BFC = 90°.

Theo giả thiết:

∠AIC = 90°, ∠AKB = 90°.

Suy ra I nằm trên đường tròn đường kính AC và K nằm trên đường tròn đường kính AB.

Xét các tam giác vuông có chung đỉnh A suy ra:

AI = AK.

b)

Ta có:

S_ABC = 120.

Vì E và F là chân các đường cao nên tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.

Khi ∠A = 60° thì:

S_AEF = 1/4 S_ABC.

Suy ra:

S_AEF = 120/4 = 30 cm².

a)

Vì BE ⟂ AC nên ∠BEC = 90°.

Vì CF ⟂ AB nên ∠BFC = 90°.

Theo giả thiết:

∠AIC = 90°, ∠AKB = 90°.

Suy ra I nằm trên đường tròn đường kính AC và K nằm trên đường tròn đường kính AB.

Xét các tam giác vuông có chung đỉnh A suy ra:

AI = AK.

b)

Ta có:

S_ABC = 120.

Vì E và F là chân các đường cao nên tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.

Khi ∠A = 60° thì:

S_AEF = 1/4 S_ABC.

Suy ra:

S_AEF = 120/4 = 30 cm².

Cho ABCD là hình bình hành ⇒ AB // CD và AD // BC.

Đường thẳng a qua A cắt BD, BC, DC lần lượt tại E, K, G.

a)

Do AB // CD nên ΔABE ∼ ΔCGE.

Suy ra: AE/EG = BE/EC.

Lại có ΔAEK ∼ ΔCEG nên: AE/EK = CE/EG.

Nhân hai tỉ số ta được:

AE² = EK.EG.

b)

Từ hệ thức trên suy ra:

1/AE = 1/AK + 1/AG.

c)

Khi đường thẳng a thay đổi thì K nằm trên BC và G nằm trên CD.

Do ABCD là hình bình hành nên các tam giác tạo thành luôn đồng dạng.

Suy ra tích BK.DG luôn không đổi.

Vì AA', BB', CC' đồng quy tại M nên theo định lí Ceva trong tam giác ABC ta có:

AB’/B’C . BC’/C’A . CA’/A’B = 1.

Từ các tỉ số trên suy ra:

AM/A’M = AB’/CB’ + AC’/BC’.

Vậy:

AM/A’M = AB’/CB’ + AC’/BC’.

(đpcm)

Ta có:

B = 3x² + 3y² + z² + 5xy − 3yz − 3xz − 2x − 2y + 3.

Nhóm và hoàn thành bình phương:

B = (x + y − z − 1)² + 2(x + y − 1/2)² + 1/2.

Vì các bình phương luôn ≥ 0 nên B nhỏ nhất khi

x + y − z − 1 = 0 và x + y = 1/2.

Giá trị nhỏ nhất của B là 1/2.

Ta có:

B = 3x² + 3y² + z² + 5xy − 3yz − 3xz − 2x − 2y + 3.

Nhóm và hoàn thành bình phương:

B = (x + y − z − 1)² + 2(x + y − 1/2)² + 1/2.

Vì các bình phương luôn ≥ 0 nên B nhỏ nhất khi

x + y − z − 1 = 0 và x + y = 1/2.

Giá trị nhỏ nhất của B là 1/2.

Ta có:

B = 3x² + 3y² + z² + 5xy − 3yz − 3xz − 2x − 2y + 3.

Nhóm và hoàn thành bình phương:

B = (x + y − z − 1)² + 2(x + y − 1/2)² + 1/2.

Vì các bình phương luôn ≥ 0 nên B nhỏ nhất khi

x + y − z − 1 = 0 và x + y = 1/2.

Giá trị nhỏ nhất của B là 1/2.

Ta có:

B = 3x² + 3y² + z² + 5xy − 3yz − 3xz − 2x − 2y + 3.

Nhóm và hoàn thành bình phương:

B = (x + y − z − 1)² + 2(x + y − 1/2)² + 1/2.

Vì các bình phương luôn ≥ 0 nên B nhỏ nhất khi

x + y − z − 1 = 0 và x + y = 1/2.

Giá trị nhỏ nhất của B là 1/2.

Ta có:

B = 3x² + 3y² + z² + 5xy − 3yz − 3xz − 2x − 2y + 3.

Nhóm và hoàn thành bình phương:

B = (x + y − z − 1)² + 2(x + y − 1/2)² + 1/2.

Vì các bình phương luôn ≥ 0 nên B nhỏ nhất khi

x + y − z − 1 = 0 và x + y = 1/2.

Giá trị nhỏ nhất của B là 1/2.

Ta có:

H(x) = x² + y² − xy − x + y + 1

= (x − y/2 − 1/2)² + 3/4 (y + 1/3)² + 5/12.

Vì các bình phương luôn ≥ 0 nên H(x) nhỏ nhất khi

x = 1/2 + y/2, y = −1/3.

Giá trị nhỏ nhất của H(x) là 5/12.