a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành, nên O là trung điểm của AC và BD.

Xét △AOM và △COP:

• ∠OAM = ∠OCP (so le trong, AB//CD)

• OA = OC (O là trung điểm của AC)

• ∠AOM = ∠COP (đối đỉnh)

⇒ △AOM = △COP (g.c.g)

⇒ OM = OP (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự, ta có △QOD = △NOB (g.c.g)

⇒ OQ = ON (hai cạnh tương ứng)

Vì OM = OP và OQ = ON, suy ra O là trung điểm của MP và QN.

Do đó, MNPQ là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

b) Chứng minh MNPQ là hình thoi.

Vì m ⟂ n tại O, suy ra ∠MON = 90^{\circ }.

Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo MP và QN vuông góc với nhau.

Vậy, MNPQ là hình thoi.

a) Chứng minh MN ⟂ AC.

• Vì ABCD là hình bình hành, ta có AD ∥ BC và AD = BC.

• Mà AD ⟂ AC (giả thiết), suy ra BC ⟂ AC.

• M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD, nên AM = \frac{1}{2}AB và CN = \frac{1}{2}CD.

• Vì ABCD là hình bình hành, AB = CD, suy ra AM = CN.

• Xét ΔAMC và ΔCNA:

◦ AM = CN (chứng minh trên)

◦ ∠MAC = ∠NCA = 90^{\circ }

◦ AC chung

• Vậy ΔAMC = ΔCNA (c.g.c)

• Suy ra ∠ACM = ∠CAN.

• Gọi O là giao điểm của AC và MN.

• Trong ΔAON, ta có ∠OAN + ∠ANO = 90^{\circ } (do ∠ANO = ∠MNO).

• Mà ∠OAN = ∠ACM, suy ra ∠ACM + ∠MNO = 90^{\circ }.

• Vậy ∠AOM = 90^{\circ }, hay MN ⟂ AC.

b) Tứ giác AMCN là hình gì?

• AM ∥ CN (do AB ∥ CD).

• AM = CN (chứng minh trên).

• Vậy tứ giác AMCN là hình bình hành.

• Mà MN ⟂ AC (chứng minh trên), suy ra AMCN là hình thoi.

Vì ABCD là hình thoi nên BC = CD và ∠B = ∠D.

Ta có BE = DF (giả thiết). Suy ra BC-BE = CD-DF, tức là CE = CF.

Xét △ABE và △ADF có:

• AB = AD (tính chất hình thoi)

• ∠B = ∠D (tính chất hình thoi)

• BE = DF (giả thiết)

Suy ra △ABE = △ADF (c.g.c). Do đó, ∠BAE = ∠DAF.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình thoi nên AC là phân giác của ∠BAD.

Suy ra ∠BAO = ∠DAO.

Ta có \angle GAH=\angle BAE+\angle EAF+\angle FAC=\angle BAE+\\ \angle FAC=\angle DAF+\angle FAC=\angle DAC=\angle CAO

Vì AC là phân giác của ∠GAH nên AGCH là hình thoi (tính chất đường chéo của hình thoi).