a) Các kết quả có thể xảy ra là: \(1\); \(2\); \(3\); \(4\); ... ; \(18\); \(19\); \(20\).

b) Có \(3\) kết quả thuận lợi cho biến cố \(T\) là \(1 , 8 , 15\).

Vậy \(P \left(\right. T \left.\right) = \frac{3}{20} = 0 , 15\).

b) Tỉ lệ phần trăm đại biểu sử dụng được ít nhất \(2\) ngoại ngữ là:

\(32 \% + 12 \% + 8 \% + 6 \% = 58 \%\).

c) Ý kiến đó đúng vì:
+ Tỉ lệ đại biểu sử dụng được \(3\) ngôn ngữ của \(1\) năm trước là: \(24 , 5 \%\).
+ Tỉ lệ đại biểu sử dụng được \(3\) ngôn ngữ của năm nay là:

\(12 \% + 8 \% + 6 \% = 26 \% > 24 , 5 \%\).

ần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[\right. 60 ; 70 \left.\right)\) là \(f_{\left[\right. 60 ; 70 \left.\right)} = \frac{n_{\left[\right. 60 ; 70 \left.\right)}}{N} = \frac{10}{40} . 100 \% = 25 \%\).

Xét biến cố \(A\): "Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho \(3\)".

Ta có các trường hợp thuận lợi để biến cố \(A\) xảy ra là : \(3\); \(6\).

Vậy \(n \left(\right. A \left.\right) = 2\)

Suy ra xác suất của biến cố \(A\) là \(P \left(\right. A \left.\right) = \frac{n \left(\right. A \left.\right)}{n_{P}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

a) Thay \(x = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\)

\(A = \frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{1}{4}} + 1} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{1}{6}\)

Vậy với \(x = \frac{1}{4}\) thì giá trị của biểu thức \(A = \frac{1}{6}\)

b) \(B = \frac{3}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{1 - \sqrt{x}} + \frac{x + 5}{x - 1}\)

\(= \frac{3}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{x + 5}{\left(\right. \sqrt{x} + 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right)}\)

\(= \frac{3 \sqrt{x} - 3 - \sqrt{x} - 1 + x + 5}{\left(\right. \sqrt{x} + 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right)}\)

\(= \frac{x + 2 \sqrt{x} + 1}{\left(\right. \sqrt{x} + 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right)}\)

\(= \frac{\left(\right. \sqrt{x} + 1 \left.\right)^{2}}{\left(\right. \sqrt{x} + 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right)}\)

\(= \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}\)

Vậy \(B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}\) (đpcm)

c) Ta có

\(P = A . B = \frac{x}{\sqrt{x} + 1} . \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{x}{\sqrt{x} - 1}\).

\(P \leq 4\)

\(\frac{x}{\sqrt{x} - 1} \leq 4\)

\(\frac{x}{\sqrt{x} - 1} - 4 \leq 0\)

\(\frac{x - 4 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 1} \leq 0\)

\(\frac{\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)^{2}}{\sqrt{x} - 1} \leq 0\)

TH1: \(\frac{\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)^{2}}{\sqrt{x} - 1} = 0\)

\(\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)^{2} = 0\)

\(x = 4\) (tm).

TH2: \(\frac{\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)^{2}}{\sqrt{x} - 1} < 0\)

\(\sqrt{x} - 1 < 0\) (do \(\sqrt{x} - 2 \left.\right)^{2} \geq 0\))

\(\sqrt{x} < 1\)

\(x < 1\).

Kết hợp với \(x \geq 0 , x \neq 1\) ta có \(0 \leq x < 1\)và \(x = 4\) thì \(P \leq 4\).

Gọi số xe theo dự định là \(x\) chiếc (\(x \in \mathbb{N}^{*}\))

Lượng hàng mỗi xe phải chở theo kế hoạch là: \(\frac{120}{x}\) (tấn)

Do lúc sắp khởi hành đội được bổ sung thêm \(5\) chiếc xe cùng loại nên suy ra: số xe thực tế chở là: \(x + 5\) (chiếc)

Lượng hàng mỗi xe phải chở theo thực tế là: \(\frac{120}{x + 5}\) (tấn)

Theo bài ra ta có phương trình:

\(\frac{120}{x}\) - \(\frac{120}{x + 5} = 2\)

Biến đổi đưa về phương trình: \(x^{2} + 5 x - 300 = 0\)

Giải phương trình được \(x_{1} = 15\), \(x_{2} = - 20\)

\(x = - 20\) không thỏa mãn (loại)

\(x = 15\) (thỏa mãn)

Vậy số xe ban đầu là \(15\) xe.

Gọi số tiền điện hộ gia đình bác An trả trong 7/2024 là \(x\) (nghìn đồng), \(\left(\right. 0 < x < 500 \left.\right)\).

Gọi số tiền tiền điện hộ gia đình bác Bình trả trong tháng 7 năm 2024 là \(y\) (nghìn đồng), \(\left(\right. 0 < y < 500 \left.\right)\).

Số tiền điện hộ gia đình bác An được giảm trong tháng 8 năm 2024 là: \(15 \% x\) (nghìn đồng)

Số tiền điện hộ gia đình bác Bình được giảm trong tháng 8 năm 2024 là: \(10 \% y\) (nghìn đồng)

Theo đề bài ta có hệ phương trình:\(\left{\right. & x + y = 500 \left(\right. 1 \left.\right) \\ & 0 , 15 x + 0 , 1 y = 65 \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right)\) suy ra \(y = 500 - x \left(\right. 3 \left.\right)\)

Thay \(\left(\right. 3 \left.\right)\) vào \(\left(\right. 2 \left.\right)\) ta được \(0 , 15 x + 0 , 1 \left(\right. 500 - x \left.\right) = 65\)

\(0 , 05 x = 15\)

\(x = 300\) (nhận).

Thay \(x = 300\) vào \(\left(\right. 3 \left.\right)\) ta được \(y = 200\) (nhận)

Vậy số tiền điện hộ gia đình bác Bình trả trong tháng 7 là \(200\) nghìn đồng, gia đình bác An trả trong tháng 7 là \(300\) nghìn đồng.

Có \(\Delta^{'} = \left[\right. - \left(\right. m - 3 \left.\right) \left]\right.^{2} - 1. \left[\right. - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) \left]\right. = \left(\right. m - 3 \left.\right)^{2} + 2 m - 2\)

\(\Delta^{'} = m^{2} - 4 m + 7 = \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} + 3 > 0 , \forall m\)

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\)

Theo định lí Viète, ta có: \(x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = 2 \left(\right. m - 3 \left.\right) ; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right)\)

Ta có: \(T = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2}\)

\(T = \left[\right. - 2 \left(\right. m - 3 \left.\right) \left]\right.^{2} - 2 \left[\right. - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) \left]\right.\)

\(T = 4 m^{2} - 20 m + 32 = \left(\right. 2 m - 5 \left.\right)^{2} + 7 \geq 7\)

Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(T\) bằng \(7\) khi \(m = \frac{5}{2}\)

Vậy \(m = \frac{5}{2}\) là giá trị cần tìm.

Bán kính đáy bể hình trụ là: \(R = d : 2 = 4 : 2 = 2\) m

Thể tích của bể theo mẫu 2 là: \(V_{2} = \pi . R^{2} . h_{2} = \pi 2^{2} . 2 \approx 25 , 13\) m³

Vì \(V_{2} > V_{1}\) nên người đó nên chọn xây theo mẫu thiết kế số 2 để có được bể dự trữ nước là nhiều nhất.