Gọi \(A C \cap B D = O , S O \cap M N = I , A I \cap S C = P\).

\(A N ⊥ \left(\right. S C D \left.\right) \Rightarrow A N ⊥ S C\) và \(A M ⊥ \left(\right. S B C \left.\right) \Rightarrow A M ⊥ S C\).

Do đó: \(S C ⊥ \left(\right. A M N \left.\right)\) hay \(S C ⊥ \left(\right. A M P N \left.\right)\).

Suy ra: \(\left(\right. S B , \left(\right. A M N \left.\right) \left.\right) = \left(\right. S M , \left(\right. A M P N \left.\right) \left.\right) = \hat{S M P}\).

Ta có: \(S M = \frac{S A^{2}}{S B} = \frac{2 a^{2}}{\sqrt{2 a^{2} + a^{2}}} = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}\);

\(S P = \frac{S A^{2}}{S C} = \frac{2 a^{2}}{\sqrt{2 a^{2} + 2 a^{2}}} = a\).

Nên \(sin ⁡ \hat{S M P} = \frac{S P}{S M} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow \hat{S M P} = 6 0^{\circ}\)

Xét tứ diện \(B . A C B^{'}\) có:

+) \(B A = B C = B B^{'} = 1\) nên điểm \(B\) nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta A C B^{'}\).

Suy ra \(B O ⊥ \left(\right. A C B^{'} \left.\right)\) tại tâm \(O\) của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta A C B^{'}\).

+) \(\hat{C B B^{'}} = 6 0^{\circ}\), \(\hat{B^{'} B A} = \hat{A B C} = 12 0^{\circ}\) nên áp dụng định lí cosin trong tam giác \(\Delta B^{'} B A\) và \(\Delta A B C\) ta có \(A B^{'} = A C = \sqrt{3}\).

\(d \left(\right. B ; \left(\right. A C B^{'} \left.\right) \left.\right) = B O = B A^{2} - R^{2}\) với \(R\) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\Delta A C B^{'}\).

\(S_{\Delta A C B^{'}} = \frac{A B^{'} . C B^{'} . A C}{4 R} = \frac{A H . B^{'} C}{2}\)

⇔4R3​3​​=23−41​​​

\(\Leftrightarrow R = \frac{3}{\sqrt{11}}\)

\(\Rightarrow B O = \sqrt{1 - \frac{9}{11}} = \sqrt{\frac{2}{11}} = \frac{\sqrt{22}}{11}\)

\(\Rightarrow d \left(\right. C^{'} ; \left(\right. A C B^{'} \left.\right) \left.\right) = \frac{\sqrt{22}}{11}\)

Xét tứ diện \(B . A C B^{'}\) có:

+) \(B A = B C = B B^{'} = 1\) nên điểm \(B\) nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta A C B^{'}\).

Suy ra \(B O ⊥ \left(\right. A C B^{'} \left.\right)\) tại tâm \(O\) của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta A C B^{'}\).

+) \(\hat{C B B^{'}} = 6 0^{\circ}\), \(\hat{B^{'} B A} = \hat{A B C} = 12 0^{\circ}\) nên áp dụng định lí cosin trong tam giác \(\Delta B^{'} B A\) và \(\Delta A B C\) ta có \(A B^{'} = A C = \sqrt{3}\).

\(d \left(\right. B ; \left(\right. A C B^{'} \left.\right) \left.\right) = B O = B A^{2} - R^{2}\) với \(R\) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\Delta A C B^{'}\).

\(S_{\Delta A C B^{'}} = \frac{A B^{'} . C B^{'} . A C}{4 R} = \frac{A H . B^{'} C}{2}\)

⇔4R3​3​​=23−41​​​

\(\Leftrightarrow R = \frac{3}{\sqrt{11}}\)

\(\Rightarrow B O = \sqrt{1 - \frac{9}{11}} = \sqrt{\frac{2}{11}} = \frac{\sqrt{22}}{11}\)

\(\Rightarrow d \left(\right. C^{'} ; \left(\right. A C B^{'} \left.\right) \left.\right) = \frac{\sqrt{22}}{11}\)

- Nguyên lí sắp xếp giảm dần: Trong mỗi lượt duyệt, ta so sánh hai phần tử liền kề. Nếu phần tử đứng trước nhỏ hơn phần tử đứng sau, ta thực hiện tráo đổi vị trí của chúng. Sau mỗi lượt, phần tử nhỏ nhất sẽ "nổi" về cuối dãy.

- Chi tiết các bước mô phỏng

+ Lượt 1: so sánh các cặp từ phải sang trái

++ (2, -3): 2 > -3 (đúng vị trí) -> 2, -3, 9, 2, 8, 6, 10, -3

++ (-3, 9): -3 < 9 (tráo đổi) -> 2, 9, -3, 2, 8, 6, 10, -3

++ (-3, 2): -3 < 2 (tráo đổi) -> 2, 9, 2, -3, 8, 6, 10, -3

++ (-3, 8): -3 < 8 (tráo đổi) -> 2, 9, 2, 8, -3, 6, 10, -3

++ (-3, 6): -3 < 6 (tráo đổi) -> 2, 9, 2, 8, 6, -3, 10, -3

++ (-3, 10): -3 < 10 (tráo đổi) -> 2, 9, 2, 8, 6, 10, -3, -3

++ (-3, -3): -3 = -3 (đúng vị trí)

++ kết quả lượt 1: 2, 9, 2, 8, 6, 10, -3, -3 (số -3 nhỏ nhất đã về cuối)

+ Lượt 2: Tiếp tục với các phần còn lại.

++ (2, 9) tráo đổi -> 9, 2, 2, 8, 6, 10, -3, -3

++ (2, 2) giữ nguyên

++ (2, 8) tráo đổi -> 9, 2, 8, 2, 6, 10, -3, -3

++ (2, 6) tráo đổi -> 9, 2, 8, 6, 2, 10, -3, -3

++ (2, 10) tráo đổi -> 9, 2, 8, 6, 10, 2, -3, -3

++ kết quả lượt 2: 9, 2, 8, 6, 10, 2, -3, -3

+ Lượt 3:

++ (9, 2) giữ nguyên; (2, 8) tráo đổi; (8, 6) giữ nguyên; (6; 10) tráo đổi; (10, 2) giữ nguyên

++ kết quả lượt 3: 9, 8, 2, 10, 6, 2, -3, -3

+ Lượt 4:

++ tiếp tục so sánh và tráo đổi

++ kết quả lượt 4: 9, 8, 10, 2, 6, 2, -3, -3

+ Lượt 5:

++ tiếp tục

++ kết quả lượt 5: 9, 10, 8, 6, 2, 2, -3, -3

+ Lượt 6:

++ (9, 10) tráo đổi -> 10, 9, 8, 6, 2, 2, -3, -3

++ kết quả lượt 6: 10, 9, 8, 6, 2, 2, -3, -3

+ Lượt 7: Các phần tử đã đúng thứ tự giảm dần, không còn sự tráo đổi nào