đt△  x + 4y - 2 = 0 => y = -\(\frac{1}{4}\)x + \(\frac{1}{2}\)

Đt d có dạng y = ax + b vì (d) //Δ nên a =  -\(\frac{1}{4}\); b # \(\frac{1}{2}\)

đt (d) có dạng y = \(- \frac{1}{4}\) x + b ⇒x+ 4y - 4b = 0

Khoảng cách từ A(-2;3) đến đường thẳng (d) là :

d(A;d) = \(\frac{\mid - 2 + 4.3 - 4 b \mid}{\sqrt{1^{2} + 4^{2}}}\) = 3 

              | 10 - 4b| = 3\(\sqrt{17}\)

              10-  4b = 3\(\sqrt{17}\)

               b =  \(\frac{10 - 3 \sqrt{17}}{4}\)

               4b - 10 = 3\(\sqrt{17}\)

                b = \(\frac{10 + 3 \sqrt{17}}{4}\)

pt đt d thỏa mãn đề bài là:

     y = - \(\frac{1}{4}\) x + \(\frac{10 - 3 \sqrt{17}}{4}\)    hoặc  y = \(- \frac{1}{4}\) x + \(\frac{10 + 3 \sqrt{17}}{4}\)

a) A(3;-5) ; B(1;0)

=> \(\overset{\rightarrow}{A B} \left(\right. - 2 ; 5 \left.\right)\)

Gọi C(x;y) tọa độ cần tìm

khi đó \(\overset{\rightarrow}{O C} \left(\right. x ; y \left.\right)\)

 \(\overset{\rightarrow}{O C} = - 3 \overset{\rightarrow}{A B} \Leftrightarrow \left{\right. x = - 3. \left(\right. - 2 \left.\right) = 6 \\ y = - 3.5 = - 15\)

Vậy C(6;-15)

ĐKXĐ : \(\left{\right. 2 x^{2} + 5 \geq 0 \\ x^{2} - x + 11 \geq 0 \Leftrightarrow \forall x \in R\)

\(\sqrt{2 x^{2} + 5} = \sqrt{x^{2} - x + 11}\)

<=> 2x² + 5 = x² - x + 11 

<=> x² + x - 6 = 0

<=> (x - 2)(x + 3) = 0

<=> \(\left[\right. x = 2 \\ x = - 3\)

Tập nghiệm phương trình S = {2;-3}

Để nhà sản xuất không bị lỗ thì \(P \left(\right. x \left.\right) \leq 170 x\) \(\Leftrightarrow x^{2} + 30 x + 3300 \leq 170 x\) \(\Leftrightarrow x^{2} - 140 x + 3300 \leq 0\) \(\Leftrightarrow \left(\right. x - 110 \left.\right) \left(\right. x - 30 \left.\right) \leq 0\)

Đặt \(f \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. x - 110 \left.\right) \left(\right. x - 30 \left.\right)\). Ta lập bảng xét dấu:

 Vậy \(f \left(\right. x \left.\right) \leq 0 \Leftrightarrow x \in \left[\right. 30 ; 110 \left]\right.\). Do đó, để nhà sản xuất không bị lỗ thì số sản phẩm được sản xuất trong đoạn \(\left[\right. 30 ; 110 \left]\right.\).

1. Kích thước của hình chữ nhật bên trong: Chiều dài là \(25\) cm và chiều rộng là \(17\) cm.
2. Kích thước của khung ảnh lớn: Với chiều rộng viền là \(x\), chiều dài và chiều rộng của khung ảnh sẽ là:
3. • Chiều dài: \(25 + 2 x\)
   • Chiều rộng: \(17 + 2 x\)
4. Diện tích của cả khung ảnh:
   \(A = \left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right)\)
   Chúng ta cần phương trình này không vượt quá diện tích tối đa là \(513\) cm²:
   \(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right) = 513\)
5. Giải phương trình:
   \(25 \cdot 17 + 50 x + 34 x + 4 x^{2} = 513\)
   \(425 + 84 x + 4 x^{2} = 513\)
   \(4 x^{2} + 84 x + 425 - 513 = 0\)
   \(4 x^{2} + 84 x - 88 = 0\)
6. Rút gọn phương trình:
   \(x^{2} + 21 x - 22 = 0\)
7. Giải phương trình bậc hai bằng công thức:
   \(x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}\)
   trong đó \(a = 1\), \(b = 21\), và \(c = - 22\):
   \(x = \frac{- 21 \pm \sqrt{2 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - 22 \left.\right)}}{2 \cdot 1}\)
   \(= \frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 88}}{2}\)
   \(= \frac{- 21 \pm \sqrt{529}}{2}\)
   \(= \frac{- 21 \pm 23}{2}\)
8. Tính toán hai nghiệm:
9. • Nghiệm 1:
     \(x = \frac{2}{2} = 1\)
   • Nghiệm 2:
     \(x=\frac{- 44}{2}=-22\left(khônghợplệvìxkhôngâm\right)\)

Kết luận:

Vậy độ rộng viền khung ảnh tối đa mà bạn Hà có thể làm là \(x = 1\) cm.

a)cos⁡α=(a12​+b12​)(a22​+b22​)​a1​a2​+b1​b2​​
\(c o s ⁡ \alpha = \frac{3 \cdot 5 + 4 \cdot \left(\right. - 12 \left.\right)}{\sqrt{\left(\right. 3^{2} + 4^{2} \left.\right) \left(\right. 5^{2} + \left(\right. - 12 \left.\right)^{2} \left.\right)}}\)
\(= \frac{15 - 48}{\sqrt{\left(\right. 9 + 16 \left.\right) \left(\right. 25 + 144 \left.\right)}}\)
\(= \frac{- 33}{\sqrt{25 \cdot 169}} = \frac{- 33}{65}\)

Kết quả a:

\(c o s ⁡ \alpha = \frac{- 33}{65}\)

b)

−a1/b1=-4/3​

1. Hệ số góc của đường thẳng vuông góc với \(\Delta\):
   \(m_{1} = \frac{4}{3}\)
2. Viết phương trình dạng tổng quát:
   \(y - y_{0} = m_{1} \left(\right. x - x_{0} \left.\right)\)
   với \(\left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\) là điểm tiếp xúc. Điểm tiếp xúc sẽ nằm trên đường tròn, nên ta cần tìm điểm đó.
3. Tính tọa độ tâm và bán kính:
   Tâm \(T \left(\right. 3 , - 2 \left.\right)\) và bán kính \(R = 6\) (vì \(\left(\right. x - 3 \left.\right)^{2} + \left(\right. y + 2 \left.\right)^{2} = 36\))
4. Phương trình đường thẳng tiếp xúc tại điểm \(P\) có tọa độ \(\left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\) sẽ có dạng:
   \(\left(\right. y + 2 \left.\right) = \frac{4}{3} \left(\right. x - 3 \left.\right)\)
   Thay \(y\) vào phương trình đường tròn \(\left(\right. C \left.\right)\):
   \(\left(\right. x - 3 \left.\right)^{2} + \left(\left(\right. \left(\right. \frac{4}{3} \left(\right. x - 3 \left.\right) - 2 \left.\right) \left.\right)\right)^{2} = 36\)
5. Giải phương trình để tìm \(x_{0}\) và \(y_{0}\):
   Giải phương trình trên sẽ cho ta điểm tiếp xúc \(\left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\).
6. Từ tọa độ \(P \left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\), viết phương trình đường thẳng vuông góc với \(\Delta\) và có dạng:
   \(y - y_{0} = \frac{4}{3} \left(\right. x - x_{0} \left.\right)\)

a) Tinh delta của f(x)

Delta f(x) = b^2 - 4ac=m2−6m−19

Để \(f \left(\right. x \left.\right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), cần \(\Delta \leq 0\):
\(m^{2} - 6 m - 19 \leq 0\)

Giải phương trình \(m^{2} - 6 m - 19 = 0\):
\(m = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 76}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{6 \pm 4 \sqrt{7}}{2} = 3 \pm 2 \sqrt{7}\)

Từ đó, khoảng nghiệm thỏa mãn là:
\(m \in \left(\right. 3 - 2 \sqrt{7} , 3 + 2 \sqrt{7} \left.\right)\)

b) Bình phương 2 vế ta có

2x2−8x+4=(x−2)2
\(= x^{2} - 4 x + 4\)
\(2 x^{2} - 8 x + 4 - x^{2} + 4 x - 4 = 0\)
\(x^{2} - 4 x = 0\)
\(x \left(\right. x - 4 \left.\right) = 0\)
\(x = 0 \text{ho}ặ\text{c} x = 4\)

1. • Với \(x = 0\): Không thỏa mãn.
   • Với \(x = 4\): Thỏa mãn.

Vậy nghiệm là:
\(x = 4\)