Gọi véctơ OA = véctơ a , véctơ OB= véctơ b, véctơ OC = véctơ c, véctơ OE = véctơ e, véctơ OF = véctơ f

Trọng tâm G của tam giác ABC là véctơ OG = véctơ a+ véctơ b+véctơ c / 3

Và của tam giác AEF là

véctơ OG = véctơ a+véctơ e+véctơ f / 3

- Hai biểu thức bằng nhau nên

vecto a+ véctơ b+ véctơ c=véctơ a+véctơ e+ véctơ f =>véctơ b+véctơ c= véctơ e + véctơ f

Suy ra véctơ BE = véctơ e- véctơ b= véctơ c-véctơ f= véctơ FC

Vậy véctơ BE = véctơ FC

Gọi véctơ OA = véctơ a , véctơ OB = véctơ b , véctơ OC = vect c

- Tọa độ vectơ của trực tâm: véctơ OH = véctơ a+ véctơ b+ véctơ c

- Điểm D là giao tia AO với đường tròn tại phía đối diện A nên D là điểm đối diện của A qua O, tức véctơ OD = - véctơ OA = - véctơ a.

- Tính hai vectơ cần so sánh:

véctơ HB = véctơ OB - véctơ OH

= véctơ b-( véctơ a+ véctơ b+ véctơ c) =-véctơ a - véctơ c

véctơ CD = véctơ OD -véctơ OC

=(- véctơ a)- véctơ c=- véctơ a- véctơ c.

Vậy véctơ HB = véctơ CD

- B là điểm đối xứng của B qua O nên véctơ OB =- véctơ OB =- véctơ b

- Với gốc tại O, toạ độ vectơ của trực tâm H là : véctơ OH = véctơ OA+ véctơ OB + véctơ OC = véctơ a+ véctơ b+ véctơ c

véctơ AH = véctơ OH - véctơ OA

= ( véctơ a + véctơ b + véctơ c ) - véctơ a

= véctơ b + véctơ c

véctơ BC = véctơ OH - véctơ OB

= véctơ c - ( - véctơ b)

= véctơ b + véctơ c

Vậy véctơ AH = véctơ BC

- E và F là trung điểm của CA và AB nên đoạn EF là đường trung bình trong tam giác ABC. Do đó EF song song với BC và DF = 1/2 BC

- D là trung điểm của BC nên véctơ CD cũng có độ dài bằng 1/2 BC và cùng hướng với BC (từ C về D)

Vậy véctơ EF và véctơ CD song song, có cùng độ dài và cùng hướng ⇒ chúng bằng nhau:
véctơ EF = véctơ CD

véctơ AB = véctơ DC

véctơ BC = véctơ AD