Gọi AB = x (km), 0 \le x \le 5.

Khi đó B cách chân hải đăng là 5 - x (km).

Chiều cao hải đăng là 1 km nên:

BC = \sqrt{(5 - x)^2 + 1}

Chi phí kéo dây:

2x + 3\sqrt{(5 - x)^2 + 1} = 13

\Leftrightarrow 3\sqrt{(5 - x)^2 + 1} = 13 - 2x

Bình phương hai vế:

9[(5 - x)^2 + 1] = (13 - 2x)^2

Giải ra:

5x^2 - 38x + 65 = 0 \Rightarrow x = 2.6 \; (\text{nhận})

Khi đó:

BC = \sqrt{(5 - 2.6)^2 + 1} = 2.6

Tổng chiều dài dây:

AC = AB + BC = 2.6 + 2.6 = 5.2 \text{ km}

a) Tính \cos \alpha

(với \alpha là góc giữa \Delta và \Delta_1: 12x - 5y + 7 = 0)

Giải:

• VTPT của \Delta: \vec{n}_1 = (3, -4)
• VTPT của \Delta_1: \vec{n}_2 = (12, -5)

\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}

Tính:

\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 3 \cdot 12 + (-4)(-5) = 36 + 20 = 56

|\vec{n}_1| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5

|\vec{n}_2| = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = 13

\cos \alpha = \frac{56}{5 \cdot 13} = \frac{56}{65}

b) Viết phương trình đường thẳng d

(song song với \Delta và tiếp xúc với (C))

Giải:

• Tâm đường tròn: I(-3, 2)
• Bán kính: R = 6

Đường thẳng d song song với \Delta nên có dạng:

d: 3x - 4y + c = 0

Điều kiện tiếp xúc:

\text{Khoảng cách từ } I \text{ đến } d = R

\frac{|3(-3) - 4(2) + c|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 6

\frac{|-9 - 8 + c|}{5} = 6 \Rightarrow |c - 17| = 30

\Rightarrow \begin{cases} c - 17 = 30 \Rightarrow c = 47 \\ c - 17 = -30 \Rightarrow c = -13 \end{cases}