Question 1:
He asked the villagers how often earthquakes occurred in that region.

Question 2:
They told me that I could find a wide range of beauty products in their store.

Question 1:
He asked the villagers how often earthquakes occurred in that region.

Question 2:
They told me that I could find a wide range of beauty products in their store.

Question 1:
He asked the villagers how often earthquakes occurred in that region.

Question 2:
They told me that I could find a wide range of beauty products in their store.

Living a healthy lifestyle brings many advantages. First, it helps us stay strong and avoid diseases. Eating healthy food and exercising regularly make our body fit and energetic. Second, a healthy lifestyle helps reduce stress and improve our mood. When we sleep well and relax, we feel happier and more confident. Finally, good health helps us study and work better every day.

Living a healthy lifestyle brings many advantages. First, it helps us stay strong and avoid diseases. Eating healthy food and exercising regularly make our body fit and energetic. Second, a healthy lifestyle helps reduce stress and improve our mood. When we sleep well and relax, we feel happier and more confident. Finally, good health helps us study and work better every day.

1. Drink more water, or you will get more acne.
   → If you don’t drink more water, you will get more acne.
2. My sister is going to Sa Pa because she wants to see the terraced fields.
   → My sister wants to see the terraced fields in Sa Pa.
3. If he doesn’t spend time on his phone, he will complete his work.
   → Unless he spends time on his phone, he will complete his work.

a) Chứng minh \(A E D F\) là hình vuông

Chứng minh:

• Vì \(D E \bot A B\) và \(D F \bot A C\), nên các góc \(\hat{A E D} = \hat{A F D} = 90^{\circ}\).
• Xét hai tam giác vuông \(\triangle A D E\) và \(\triangle A D F\):
• • Có \(\hat{E A D} = \hat{F A D}\) (cùng phụ góc ở A của tam giác vuông cân).
  • \(A D\) chung.
    → \(A E = A F\) (theo tính chất tam giác vuông cân tại A).
• Từ đó, \(A E = A F = D E = D F\) (do hai cạnh kề bằng nhau, bốn góc vuông).

⟹ \(A E D F\) là hình vuông.

b) Chứng minh \(E F \parallel B C\)

Chứng minh:

• Vì \(D E \bot A B\), \(D F \bot A C\).
• Mà trong tam giác vuông cân tại A: \(A B \bot A C\) và \(B C\) là đường thẳng qua hai điểm chân vuông.
• Khi đó, hai đường thẳng song song với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông cân sẽ song song với cạnh huyền.
• Do \(D E \parallel A B\) và \(D F \parallel A C\) (cùng vuông góc với các đường tương ứng), ta có:
  ⟹ \(E F \parallel B C\).

c) Qua \(E\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(M F\) tại \(N\). Chứng minh \(\hat{A N D} = 90^{\circ}\)

Phân tích:

• \(M\) là trung điểm \(B C\) ⇒ \(M A\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác vuông cân tại A.
  ⟹ \(M A \bot B C\).
• Do \(E F \parallel B C\), suy ra \(M A \bot E F\).
• \(E\) thuộc \(E F\), còn \(M F\) là đoạn nối từ \(M\) đến \(F\).
• Kẻ qua \(E\) đường vuông góc \(M F\), cắt \(A D\) tại \(N\).

Ta có \(A D\) trùng phương với \(M A\), và \(M A \bot E F \parallel B C\).
⟹ Đường vuông góc \(M F\) qua \(E\) cũng vuông góc với \(A D\).
⟹ \(\hat{A N D} = 90^{\circ}\).

a) Chứng minh \(A D M E\) là hình chữ nhật

Ta có:

• \(\triangle A B C\) vuông tại \(A\) ⇒ \(A B \bot A C\).
• \(M D \bot A B\) và \(M E \bot A C\).

⟹ \(A D \parallel M E\) và \(A E \parallel M D\).

→ Tứ giác \(A D M E\) có hai cặp cạnh đối song song.

Vì \(A D \bot A E\) (do \(A B \bot A C\)), nên \(A D M E\) là hình chữ nhật.

✅ Kết luận: \(A D M E\) là hình chữ nhật.

b) Tứ giác \(A M B I\) là hình gì?

• \(D\) là trung điểm của \(I M\).
  ⇒ \(I M = 2 \times M D\).
• Từ (a) ta biết \(M D \bot A B\) tại \(D\).
  ⇒ \(I M \bot A B\) (vì \(I M \parallel M D\)).

→ \(A M B I\) có hai cạnh đối song song và vuông góc (\(A M \parallel B I\), \(A M \bot A B\)).

⟹ \(A M B I\) là hình chữ nhật.

✅ Kết luận: \(A M B I\) là hình chữ nhật.

c) Điều kiện để \(A M B I\) là hình vuông

Hình chữ nhật \(A M B I\) là hình vuông khi có thêm:

\(A M = A B .\)

Ta biết \(M\) là trung điểm của \(B C\) trong tam giác vuông tại \(A\).

Theo tính chất tam giác vuông:

\(A M = \frac{1}{2} B C .\)

Mà \(B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}\).

→ \(A M = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} .\)

Để \(A M = A B\):

\(\frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = A B .\) \(\Rightarrow A B^{2} + A C^{2} = 4 A B^{2} \Rightarrow A C^{2} = 3 A B^{2} .\)

✅ Điều kiện: \(A C = A B \sqrt{3}\).

d) Chứng minh \(P Q \bot A M\)

• \(A H\) là đường cao trong \(\triangle A B C\) ⇒ \(A H \bot B C\).
• \(H P \bot A B\), \(H Q \bot A C\).

Khi đó, \(P , Q\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(H\) đến hai cạnh góc vuông của tam giác \(A B C\).

→ Hai đường \(P Q\) và \(A M\) đều là các đường trung bình của hai tam giác vuông có chung cạnh huyền \(B C\).

⇒ \(P Q \bot A M\).

✅ Kết luận: \(P Q \bot A M\).

a) Chứng minh \(A D M E\) là hình chữ nhật

Ta có:

• \(\triangle A B C\) vuông tại \(A\) ⇒ \(A B \bot A C\).
• \(M D \bot A B\) và \(M E \bot A C\).

⟹ \(A D \parallel M E\) và \(A E \parallel M D\).

→ Tứ giác \(A D M E\) có hai cặp cạnh đối song song.

Vì \(A D \bot A E\) (do \(A B \bot A C\)), nên \(A D M E\) là hình chữ nhật.

✅ Kết luận: \(A D M E\) là hình chữ nhật.

b) Tứ giác \(A M B I\) là hình gì?

• \(D\) là trung điểm của \(I M\).
  ⇒ \(I M = 2 \times M D\).
• Từ (a) ta biết \(M D \bot A B\) tại \(D\).
  ⇒ \(I M \bot A B\) (vì \(I M \parallel M D\)).

→ \(A M B I\) có hai cạnh đối song song và vuông góc (\(A M \parallel B I\), \(A M \bot A B\)).

⟹ \(A M B I\) là hình chữ nhật.

✅ Kết luận: \(A M B I\) là hình chữ nhật.

c) Điều kiện để \(A M B I\) là hình vuông

Hình chữ nhật \(A M B I\) là hình vuông khi có thêm:

\(A M = A B .\)

Ta biết \(M\) là trung điểm của \(B C\) trong tam giác vuông tại \(A\).

Theo tính chất tam giác vuông:

\(A M = \frac{1}{2} B C .\)

Mà \(B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}\).

→ \(A M = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} .\)

Để \(A M = A B\):

\(\frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = A B .\) \(\Rightarrow A B^{2} + A C^{2} = 4 A B^{2} \Rightarrow A C^{2} = 3 A B^{2} .\)

✅ Điều kiện: \(A C = A B \sqrt{3}\).

d) Chứng minh \(P Q \bot A M\)

• \(A H\) là đường cao trong \(\triangle A B C\) ⇒ \(A H \bot B C\).
• \(H P \bot A B\), \(H Q \bot A C\).

Khi đó, \(P , Q\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(H\) đến hai cạnh góc vuông của tam giác \(A B C\).

→ Hai đường \(P Q\) và \(A M\) đều là các đường trung bình của hai tam giác vuông có chung cạnh huyền \(B C\).

⇒ \(P Q \bot A M\).

✅ Kết luận: \(P Q \bot A M\).

a) Chứng minh \(A D M E\) là hình chữ nhật

Ta có:

• \(\triangle A B C\) vuông tại \(A\) ⇒ \(A B \bot A C\).
• \(M D \bot A B\) và \(M E \bot A C\).

⟹ \(A D \parallel M E\) và \(A E \parallel M D\).

→ Tứ giác \(A D M E\) có hai cặp cạnh đối song song.

Vì \(A D \bot A E\) (do \(A B \bot A C\)), nên \(A D M E\) là hình chữ nhật.

✅ Kết luận: \(A D M E\) là hình chữ nhật.

b) Tứ giác \(A M B I\) là hình gì?

• \(D\) là trung điểm của \(I M\).
  ⇒ \(I M = 2 \times M D\).
• Từ (a) ta biết \(M D \bot A B\) tại \(D\).
  ⇒ \(I M \bot A B\) (vì \(I M \parallel M D\)).

→ \(A M B I\) có hai cạnh đối song song và vuông góc (\(A M \parallel B I\), \(A M \bot A B\)).

⟹ \(A M B I\) là hình chữ nhật.

✅ Kết luận: \(A M B I\) là hình chữ nhật.

c) Điều kiện để \(A M B I\) là hình vuông

Hình chữ nhật \(A M B I\) là hình vuông khi có thêm:

\(A M = A B .\)

Ta biết \(M\) là trung điểm của \(B C\) trong tam giác vuông tại \(A\).

Theo tính chất tam giác vuông:

\(A M = \frac{1}{2} B C .\)

Mà \(B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}\).

→ \(A M = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} .\)

Để \(A M = A B\):

\(\frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = A B .\) \(\Rightarrow A B^{2} + A C^{2} = 4 A B^{2} \Rightarrow A C^{2} = 3 A B^{2} .\)

✅ Điều kiện: \(A C = A B \sqrt{3}\).

d) Chứng minh \(P Q \bot A M\)

• \(A H\) là đường cao trong \(\triangle A B C\) ⇒ \(A H \bot B C\).
• \(H P \bot A B\), \(H Q \bot A C\).

Khi đó, \(P , Q\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(H\) đến hai cạnh góc vuông của tam giác \(A B C\).

→ Hai đường \(P Q\) và \(A M\) đều là các đường trung bình của hai tam giác vuông có chung cạnh huyền \(B C\).

⇒ \(P Q \bot A M\).

✅ Kết luận: \(P Q \bot A M\).