eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

gilfvyyv v chuhueeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

gilfvyyv v chuhueeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

• AH⊥BD ⇒ \(A H\) là đường vuông góc hạ từ \(A\) xuống \(B D\)
• \(C K \bot B D\) ⇒ \(C K\) là đường vuông góc hạ từ \(C\) xuống \(B D\)
• \(H , K\) cùng nằm trên \(B D\)

• Vì \(A H \bot B D\) và \(C K \bot B D\) ⇒ \(A H / / C K\) (cùng vuông góc với BD)
• Hình bình hành \(A B C D\) ⇒ \(A C / / B D\) ⇒ \(A C / / B D\) ⇒ hai đoạn \(A C\) và \(H K\) vuông góc với AH, CK ⇒ \(H K / / A C\)

Do đó tứ giác \(A H C K\) có hai cặp cạnh đối song song ⇒ AHCK là hình bình hành.

• Gọi \(I\) là trung điểm của \(H K\)
• Trong tứ giác AHCK (hình bình hành):
• • Hai đường chéo \(A C\) và \(H K\) cắt nhau tại trung điểm ⇒ trung điểm của \(H K\) trùng với trung điểm của \(A C\)
• Gọi trung điểm \(I\) của \(H K\) ⇒ \(I\) cũng là trung điểm của \(A C\)
• Trong hình bình hành \(A B C D\), hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm ⇒ trung điểm đường chéo cách đều các đỉnh:
• • \(I B = I D\)

• E trung điểm \(A D\) ⇒ \(A E = E D\)
• \(F\) trung điểm \(B C\) ⇒ \(B F = F C\)
• Trong hình bình hành: \(A B / / D C\) và \(A D / / B C\)

• \(E B / / D F\):
• • \(E B\) nối trung điểm \(E\) của \(A D\) với \(B\)
  • \(D F\) nối trung điểm \(F\) của \(B C\) với \(D\)
  • Theo tính chất đường trung bình của tam giác: \(E B / / D F\) và \(E B = D F\)
• \(E D / / B F\):
• • Tương tự, \(E D / / B F\) và \(E D = B F\)

Do đó, tứ giác \(E B F D\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên EBFD là hình bình hành.

• Trong hình bình hành, \(O\) là trung điểm của \(A C\) và \(B D\).

• Xét tam giác \(A B D\):
• • \(E\) là trung điểm \(A D\), \(O\) là trung điểm \(B D\) ⇒ theo định lý đường trung bình, đoạn \(E O\) song song với AB và \(E O = \dfrac{1}{2} A B\)
• Xét tam giác \(B D C\):
• • \(F\) là trung điểm \(B C\), \(O\) là trung điểm \(B D\) ⇒ theo định lý đường trung bình, đoạn \(O F\) song song với AB và \(O F = \dfrac{1}{2} A B\)
• Cả \(E O\) và \(O F\) cùng nằm trên đường thẳng song song với AB ⇒ E, O, F thẳng hàng.

• Giao điểm trung tuyến \(G\) chia trung tuyến theo tỉ lệ 2:1:
• • \(B G : G M = 1 : 2\) (vì G gần trung điểm hơn đỉnh).
  • \(C G : G N = 1 : 2\)
• Trung điểm:
• • \(P\) trung điểm \(G B\) ⇒ \(G P = P B\)
  • \(Q\) trung điểm \(G C\) ⇒ \(G Q = Q C\)

• Xét đoạn trung bình của tam giác:
• • \(M\) trung điểm \(A C\), \(N\) trung điểm \(A B\) ⇒ đoạn \(M N\) song song với BC và MN = ½ BC (theo định lý đoạn trung bình tam giác).
• Xét đoạn \(P Q\):
• • P, Q là trung điểm của GB và GC ⇒ PQ song song với BC và PQ = ½ BC (tương tự định lý đoạn trung bình trong tam giác \(B G C\)).

Vậy:

\(P Q / / M N \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} P Q = M N\)

• Tương tự, xét các cạnh còn lại ⇒ hai cặp cạnh đối song song ⇒ tứ giác PQMN có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên là hình bình hành.

• Ta có \(B\) là trung điểm \(A E\) ⇒ \(A B = B E\).
• Trong hình bình hành \(A B C D\), \(A B / / D C\) và \(A B = D C\).
• Lại có \(D C = D F\) (vì \(C\) là trung điểm \(D F\)) ⇒ \(A E / / D F\) và \(A E = D F\).
• Cạnh còn lại: \(A D / / E F\) (vì AB // DC và AE // DF ⇒ tứ giác đối diện song song).

Vậy AEFD có hai cặp cạnh đối bằng nhau và song song, nên là hình bình hành.

• Ta có \(C\) là trung điểm \(D F\) ⇒ \(C F = C D\).
• Trong hình bình hành ABCD: \(A B / / D C\) và \(A B = D C\).
• Xét các cạnh đối:
• • \(A B / / F C\) và \(A B = F C\)
  • \(A F / / B C\) và \(A F = B C\) (từ tính chất tỉ số đoạn thẳng)

Vậy ABFC có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên là hình bình hành.

• Gọi:
• • \(M\) là trung điểm \(A F\)
  • \(N\) là trung điểm \(D E\)
  • \(P\) là trung điểm \(B C\)

Chứng minh bằng tỉ số đoạn thẳng:

1. • \(B\) trung điểm \(A E\), \(C\) trung điểm \(D F\)
   • Theo định lý đoạn thẳng chia đôi (tương tự tỉ số 1:1), trung điểm \(M\) của \(A F\) nằm trên đường nối trung điểm B và C
   • \(B\) trung điểm \(A E\), \(C\) trung điểm \(D F\) ⇒ trung điểm \(N\) của \(D E\) trùng vị trí với M
   • Bản thân B, C là các trung điểm ⇒ trung điểm \(P\) cũng trùng với M và N

\(M = N = P\)

• Trong hình bình hành:
• • \(O\) là trung điểm của \(A C\) và \(B D\) ⇒ \(O A = O C\).
• Hai đoạn thẳng \(O M\) và \(O N\) nằm trên cùng một đường thẳng ⇒ \(\angle O M A = \angle O N C\) (hai góc này là góc xen kề).

Xét hai tam giác:

• \(\triangle O A M\) và \(\triangle O C N\) có:
• 1. \(O A = O C\) (tính chất hình bình hành, đường chéo cắt nhau tại trung điểm)
  2. \(O M = O N\) (chúng ta sẽ chứng minh tương đương bằng tỷ lệ, hoặc dựa vào tính chất tỉ lệ đồng dạng từ trung điểm)
  3. \(\angle O A M = \angle O C N\) (góc so le trong)

⇒ Theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có:

\(\triangle O A M \cong \triangle O C N\)

• Từ \(\triangle O A M \cong \triangle O C N\) ⇒
  \(A M = C N \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \angle O M A = \angle O N C\)
• Hai đoạn thẳng \(M B\) và \(N D\) đối xứng qua \(O\) ⇒ chúng cùng song song.
• Hai đoạn thẳng \(M N\) và \(B D\) đối xứng qua \(O\) ⇒ cũng cùng song song.

Do đó, MBND có hai cặp cạnh đối song song ⇒ MBND là hình bình hành.

vì ABCD là hình bình hành nên:

ABCD v ADBC

a, E là trung điểm của AB => AE = EB

F là trung điểm của CD => CF =FD

Xét tứ giác AEFD có:

EF là trung điểm của AB,CD

EF//AD
=>AEFD có hai cặp cạnh đối song song

->AEFD là hình bình hành

Tương tự, trong tứ giác AECF:

E, F là trung điểm của AB,CD => EFAC

AECF(vì ABCD)

=> AECF cũng là hình bình hành

b, vì AEFD là hình bình hành nên các cạnh đối bằng nhau:

EF=AD v AE=FD

Vì AECF là hình bình hành nên:

AF=EC v AE=CF

=> EF=AD, AF=EC