1. Xác định tâm O: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.
2. Tính chất hình bình hành ABCD: Vì ABCD là hình bình hành, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó:
3. • \(O A = O C\)
   • \(O B = O D\)
4. Xét hai tam giác \(\Delta A O H\) và \(\Delta C O K\):
5. • Ta có \(\angle A O H = \angle C O K\) vì đây là hai góc đối đỉnh.
   • Ta có \(\angle A H O = 9 0^{\circ}\) và \(\angle C K O = 9 0^{\circ}\) theo giả thiết \(A H \bot B D\) và \(C K \bot B D\).
   • Ta đã có \(O A = O C\) từ bước 2.
   • Xét \(\Delta A O H\) và \(\Delta C O K\), ta có các yếu tố: một cạnh (\(O A = O C\)) và hai góc kề với cạnh đó không hoàn toàn tương ứng. Tuy nhiên, ta có hai góc bằng nhau và một cặp cạnh bằng nhau, với góc vuông là một trong các góc.
   • Chúng ta có thể sử dụng trường hợp bằng nhau cạnh-góc-góc (c.g.g) hoặc góc-góc-cạnh (g.g.c) nếu góc đó không kề với cạnh. Trong trường hợp này, \(\angle A H O\) và \(\angle C K O\) là hai góc vuông. Ta có \(O A = O C\).
   • Xét \(\Delta A O H\) và \(\Delta C O K\):
   • • \(\angle A O H = \angle C O K\) (đối đỉnh)
     • \(\angle A H O = \angle C K O = 9 0^{\circ}\) (giả thiết)
     • \(O A = O C\) (O là trung điểm AC)
     • Do đó, \(\Delta A O H = \Delta C O K\) (theo trường hợp góc-góc-cạnh, với cạnh \(O A\) và \(O C\) đối diện với góc vuông).
6. Suy ra từ sự bằng nhau của hai tam giác: Từ \(\Delta A O H = \Delta C O K\), ta suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau:
7. • \(O H = O K\)
   • \(A H = C K\)
8. Chứng minh AHCK là hình bình hành:
9. • Ta đã chứng minh được \(O H = O K\), nghĩa là O là trung điểm của đoạn thẳng HK.
   • Ta cũng có \(O A = O C\), nghĩa là O là trung điểm của đoạn thẳng AC.
   • Tứ giác AHCK có hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại O, và O là trung điểm của cả hai đường chéo đó.
   • Do đó, tứ giác AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành: tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

b) Gọi I là trung điểm của HK. Chứng minh \(I B = I D\).

Lời giải:

Ta cần chứng minh \(I B = I D\). Điều này có nghĩa là I cách đều hai điểm B và D.

1. Kết quả từ phần a): Từ phần a), chúng ta đã chứng minh được AHCK là hình bình hành. Điều này suy ra hai đường chéo AC và HK của nó cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, O là trung điểm của HK, tức là \(O H = O K\).
2. Vị trí điểm I: Theo giả thiết của bài toán này, I là trung điểm của HK.
3. Sự trùng nhau của I và O: Vì cả O và I đều là trung điểm của cùng một đoạn thẳng HK, nên hai điểm này phải trùng nhau. Tức là, \(I \equiv O\).
4. Chứng minh \(I B = I D\): Vì \(I \equiv O\), việc chứng minh \(I B = I D\) tương đương với việc chứng minh \(O B = O D\).
5. Tính chất hình bình hành ABCD: Ta đã biết ABCD là hình bình hành. Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, O là trung điểm của BD, suy ra \(O B = O D\).
6. Kết luận: Vì \(I \equiv O\) và \(O B = O D\), nên \(I B = O B\) và \(I D = O D\). Do đó, ta có \(I B = I D\).

Đặt toạ độ cho hình bình hành cho gọn:
\(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } B \left(\right. a , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } D \left(\right. 0 , b \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } C \left(\right. a , b \left.\right)\) (với \(a , b \neq 0\)).

Vì \(E\) là trung điểm của \(A D\) nên

\(E \left(\right. 0 , \frac{b}{2} \left.\right) .\)

Vì \(F\) là trung điểm của \(B C\) nên

\(F \left(\right. a , \frac{b}{2} \left.\right) .\)

a) Chứng minh \(E B F D\) là hình bình hành

Tính các vectơ cạnh:

\(\overset{\rightarrow}{E B} = B - E = \left(\right. a , \textrm{ }\textrm{ } 0 \left.\right) - \left(\right. 0 , \frac{b}{2} \left.\right) = \left(\right. a , \textrm{ }\textrm{ } - \frac{b}{2} \left.\right) ,\) \(\overset{\rightarrow}{D F} = F - D = \left(\right. a , \frac{b}{2} \left.\right) - \left(\right. 0 , b \left.\right) = \left(\right. a , \textrm{ }\textrm{ } - \frac{b}{2} \left.\right) .\)

Vậy \(\overset{\rightarrow}{E B} = \overset{\rightarrow}{D F}\) ⇒ \(E B \parallel D F\) và \(E B = D F\).

Tương tự

\(\overset{\rightarrow}{B F} = F - B = \left(\right. 0 , \frac{b}{2} \left.\right) , \overset{\rightarrow}{E D} = D - E = \left(\right. 0 , \frac{b}{2} \left.\right) ,\)

nên \(\overset{\rightarrow}{B F} = \overset{\rightarrow}{E D}\) ⇒ \(B F \parallel E D\) và \(B F = E D\).

Do đó hai cặp cạnh đối của tứ giác \(E B F D\) song song (và bằng) ⇒ \(E B F D\) là hình bình hành.

b) Chứng minh \(E , \textrm{ } O , \textrm{ } F\) thẳng hàng

Trong toạ độ trên, giao điểm hai đường chéo \(O\) của hình bình hành là trung điểm của cả \(A C\) và \(B D\). Ta có

\(O \&\text{nbsp}; \text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; A C \Rightarrow O \left(\right. \frac{a}{2} , \frac{b}{2} \left.\right) .\)

Ta đã có \(E \left(\right. 0 , \frac{b}{2} \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } F \left(\right. a , \frac{b}{2} \left.\right)\). Cả ba điểm \(E , \textrm{ }\textrm{ } O , \textrm{ }\textrm{ } F\) đều có tung độ \(\frac{b}{2}\) nên thẳng hàng theo phương ngang. Vậy \(E , O , F\) thẳng hàng.

Ta biết \(O\) là giao điểm hai đường chéo nên \(O\) là trung điểm của \(A C\).

• Xét tam giác \(A B C\): \(O\) là trung điểm của \(A C\), \(F\) là trung điểm của \(B C\). Theo định lí đường nối trung điểm trong tam giác, đoạn \(O F\) là đường nối hai trung điểm ⇒ \(O F \parallel A B\).
• Xét tam giác \(A D C\): \(O\) là trung điểm của \(A C\), \(E\) là trung điểm của \(A D\). Tương tự, \(O E\) là đường nối hai trung điểm ⇒ \(O E \parallel D C\).

Nhưng trong hình bình hành \(A B C D\) ta có \(A B \parallel D C\). Vậy \(O F \parallel A B\) và \(O E \parallel D C\) cùng song song với một đường thẳng \(A B\) nên \(O F\) và \(O E\) là hai đường thẳng cùng đi qua \(O\) và cùng song song với \(A B\) ⇒ chúng trùng nhau. Do đó \(E , O , F\) thẳng hàng.

1. Trong \(\Delta A B C\), M là trung điểm AC và N là trung điểm AB. Theo định lý đường trung bình, ta có \(M N \parallel B C\) và \(M N = \frac{1}{2} B C\).
2. Trong \(\Delta G B C\), P là trung điểm GB và Q là trung điểm GC. Theo định lý đường trung bình, ta có \(P Q \parallel B C\) và \(P Q = \frac{1}{2} B C\).
3. Từ hai điều trên, suy ra \(M N \parallel P Q\) và \(M N = P Q\).
4. Do đó, tứ giác PQMN là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau).

Gọi \(A B C D\) là hình bình hành. Chọn hệ trục toạ độ sao cho

\(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , B \left(\right. a , 0 \left.\right) , D \left(\right. 0 , b \left.\right) , C \left(\right. a , b \left.\right)\)

(đây là vị trí thường dùng cho hình bình hành: \(A B\) nằm ngang, \(A D\) nằm dọc theo trục phụ).

Theo bài, lấy \(E\) sao cho \(B\) là trung điểm của \(A E\). Vì vậy toạ độ \(E\) thỏa

\(\left(\right. \frac{0 + x_{E}}{2} , \frac{0 + y_{E}}{2} \left.\right) = \left(\right. a , 0 \left.\right) .\)

Suy ra \(x_{E} = 2 a , \textrm{ }\textrm{ } y_{E} = 0\). Vậy \(E \left(\right. 2 a , 0 \left.\right)\).

Tương tự, lấy \(F\) sao cho \(C\) là trung điểm của \(D F\). Ta có

\(\left(\right. \frac{0 + x_{F}}{2} , \frac{b + y_{F}}{2} \left.\right) = \left(\right. a , b \left.\right) .\)

Suy ra \(x_{F} = 2 a , \textrm{ }\textrm{ } y_{F} = b\). Vậy \(F \left(\right. 2 a , b \left.\right)\).

a) Chứng minh \(A E F D\) và \(A B F C\) là hình bình hành

Xét tứ giác \(A E F D\) với toạ độ điểm:

\(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } E \left(\right. 2 a , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } F \left(\right. 2 a , b \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } D \left(\right. 0 , b \left.\right) .\)

Ta thấy vector \(\overset{\rightarrow}{A E} = \left(\right. 2 a , 0 \left.\right)\) và \(\overset{\rightarrow}{D F} = \left(\right. 2 a , 0 \left.\right)\) nên \(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{\rightarrow}{D F}\) (cùng hướng và cùng độ dài). Đồng thời \(\overset{\rightarrow}{A F} = \left(\right. 2 a , b \left.\right)\) và \(\overset{\rightarrow}{D E} = \left(\right. 2 a , - b \left.\right)\) — hai cặp cạnh đối nhau song song (thực ra đủ là một cặp đối bằng nhau song song là được). Vì tứ giác có hai cạnh đối song song (và bằng) nên \(A E F D\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A B F C\) với toạ độ:

\(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } B \left(\right. a , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } F \left(\right. 2 a , b \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } C \left(\right. a , b \left.\right) .\)

Ta có \(\overset{\rightarrow}{A B} = \left(\right. a , 0 \left.\right)\) và \(\overset{\rightarrow}{F C} = \left(\right. a , 0 \left.\right)\), do đó \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{F C}\). Ngoài ra \(\overset{\rightarrow}{B F} = \left(\right. a , b \left.\right)\) và \(\overset{\rightarrow}{C A} = \left(\right. - a , - b \left.\right)\) tương ứng (hai cặp cạnh đối song song). Vậy \(A B F C\) cũng là hình bình hành.

(Quan sát trực quan: điểm \(E\) nằm trên đường thẳng \(A B\) mở rộng, và \(F\) nằm trên \(C D\) mở rộng, vì \(A B \parallel C D\) nên các cạnh tương ứng song song — điều này cũng dẫn tới kết luận trên mà không cần tính toạ độ.)

b) Chứng minh các trung điểm của \(A F , \textrm{ }\textrm{ } D E , \textrm{ }\textrm{ } B C\) trùng nhau

Tính trung điểm từng đoạn:

• Trung điểm của \(A F\):
  \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } F \left(\right. 2 a , b \left.\right)\) ⇒ trung điểm là \(\left(\right. \frac{0 + 2 a}{2} , \frac{0 + b}{2} \left.\right) = \left(\right. a , \frac{b}{2} \left.\right)\).
• Trung điểm của \(D E\):
  \(D \left(\right. 0 , b \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } E \left(\right. 2 a , 0 \left.\right)\) ⇒ trung điểm là \(\left(\right. \frac{0 + 2 a}{2} , \frac{b + 0}{2} \left.\right) = \left(\right. a , \frac{b}{2} \left.\right)\).
• Trung điểm của \(B C\):
  \(B \left(\right. a , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } C \left(\right. a , b \left.\right)\) ⇒ trung điểm là \(\left(\right. \frac{a + a}{2} , \frac{0 + b}{2} \left.\right) = \left(\right. a , \frac{b}{2} \left.\right)\).

Tất cả ba trung điểm đều trùng tại cùng điểm \(\left(\right. a , \frac{b}{2} \left.\right)\). Vậy các trung điểm của \(A F , \textrm{ }\textrm{ } D E , \textrm{ }\textrm{ } B C\) trùng nhau.

Trong hình bình hành \(A B C D\), hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\). Do đó \(O\) là trung điểm của \(A C\) và trung điểm của \(B D\).

Vì \(O\) là trung điểm của \(A C\), ta có:

\(O A = O C .\)

Hai điểm \(M\) và \(N\) nằm trên đường thẳng đi qua \(O\), trong đó \(M \in A B\) và \(N \in C D\).
Do \(A B \parallel C D\), hai tam giác \(O A M\) và \(O C N\) là hai tam giác đồng dạng theo góc – góc vì:

• \(\hat{O A M} = \hat{O C N}\) (so le trong),
• \(\hat{O M A} = \hat{O N C}\) (đối đỉnh).

Vì đồng dạng theo tỉ số 1 (vì \(O A = O C\)), suy ra hai tam giác bằng nhau:

\(\triangle O A M = \triangle O C N .\)

Suy ra MBND là hình bình hành

Từ hai tam giác trên bằng nhau, ta có:

• \(\hat{O M B} = \hat{O N D}\) (góc tương ứng),
• \(\hat{O M B}\) và \(\hat{O N D}\) là góc trong cùng phía trên hai đường thẳng \(M B\) và \(N D\).

Hai góc trong cùng phía bằng nhau ⇒

\(M B \parallel N D .\)

Tương tự, ta cũng chứng minh được:

\(B N \parallel M D .\)

Vì tứ giác \(M B N D\) có hai cặp cạnh đối song song nên

tứ giác MNBD là hbh

a) Chứng minh AEFD và AECF là hình bình hành

Tứ giác AEFD

• \(E\) là trung điểm của \(A B\) ⇒ \(A E = E B\).
• \(F\) là trung điểm của \(C D\) ⇒ \(C F = F D\).

Trong hình bình hành \(A B C D\):

• \(A B \parallel C D\).

Vì \(E\) là trung điểm của \(A B\), \(F\) là trung điểm của \(C D\) ⇒ đoạn thẳng \(E F\) song song với \(A D\) (tính chất đường trung bình trong hình thang, hoặc dùng: nếu nối hai trung điểm của hai cạnh song song thì đoạn nối song song với hai cạnh ấy).

Ta có:

• \(E F \parallel A D\),
• \(A E = D F\) (vì AE = EB và DF = FC, mà EB = FC do hai tam giác ABC và DCB bằng nhau – hai cạnh kề song song và chung cạnh BC).

Vậy hai cặp cạnh đối của AEFD song song ⇒ AEFD là hình bình hành.

Tứ giác AECF

Ta xét:

• \(E\) là trung điểm \(A B\),
• \(F\) là trung điểm \(C D\).

Trong hình bình hành \(A B C D\), ta có \(A D \parallel B C\).

Xét hai tam giác:

• \(\triangle A E F\) và \(\triangle C F E\).

Ta biết:

• \(A E = E B\) và \(C F = F D\),
• \(A B \parallel C D\) ⇒ góc tại E và F tương ứng bằng nhau,
• \(A C\) cắt hai cạnh song song ⇒ tạo các góc so le trong bằng nhau.

Suy ra:

• \(A E \parallel C F\),
• \(A F \parallel E C\).

Vì tứ giác \(A E C F\) có hai cặp cạnh đối song song ⇒ AECF là hình bình hành.

b) Chứng minh EF = AD và AF = EC

• Trong phần a) ta đã có:
• • \(E F \parallel A D\) và hai đoạn này là đường trung bình của hai tam giác có đáy là AD
    ⇒ EF = AD.
• Tương tự trong tứ giác AECF là hình bình hành:
• • Hai cạnh đối bằng nhau ⇒ AF = EC.

Nhân dịp kỉ niệm ngày thành lập trường, lớp em đã có một chuyến tham quan về nguồn đến thăm các di tích lịch sử trong vùng. Sáng sớm hôm đó, cả lớp háo hức tập trung tại cổng trường, mỗi người đều mang theo ba lô nhỏ và nụ cười rạng rỡ. Trên đường đi, thầy cô vừa giới thiệu, vừa kể những câu chuyện về lịch sử, giúp chúng em hiểu rõ hơn về truyền thống quê hương.

Khi đến di tích, em được tận mắt nhìn thấy những hiện vật cổ, những bức tượng, những bia đá ghi dấu một thời hào hùng. Cảm giác tự hào dâng trào trong lòng khi biết bao thế hệ cha ông đã hy sinh để bảo vệ đất nước. Chúng em còn được tham gia các trò chơi tập thể và chụp nhiều bức ảnh lưu giữ kỉ niệm.

Chuyến đi không chỉ giúp em học hỏi thêm kiến thức lịch sử mà còn gắn kết tình bạn, tạo ra nhiều kỉ niệm khó quên. Em cảm thấy biết ơn thầy cô đã tổ chức một hoạt động vừa bổ ích, vừa vui vẻ, để mỗi học sinh có cơ hội trải nghiệm và cảm nhận giá trị của quá khứ.

Nếu muốn, mình có thể viết phiên bản ngắn gọn hơn, khoảng 5–7 dòng, vẫn đầy đủ trải nghiệm và cảm xúc, để bạn dùng đăng tập san cho gọn. Bạn có muốn mình làm không?

Bạn đã nói:

ChatGPT đã nói:

Chắc chắn! Dưới đây là phiên bản dài hơn, chi tiết hơn, khoảng 18–20 dòng, kể lại chuyến tham quan với nhiều trải nghiệm và cảm xúc:

Chuyến tham quan về nguồn đầy ý nghĩa

Nhân dịp kỉ niệm ngày thành lập trường, lớp em được thầy cô tổ chức một chuyến tham quan về nguồn, ghé thăm các di tích lịch sử trong vùng. Sáng sớm hôm đó, cả lớp tập trung đầy đủ, tinh thần ai cũng háo hức. Trên đường đi, chúng em vừa ngắm cảnh núi non, vừa nghe thầy cô kể những câu chuyện về lịch sử, về các anh hùng đã hy sinh để bảo vệ quê hương, đất nước.

Khi đến nơi, trước mắt em là những di tích cổ kính với các hiện vật, bia đá và tượng đài ghi dấu bao thế hệ cha ông. Em xúc động khi đứng trước những bia tưởng niệm, tưởng nhớ những con người đã hy sinh để giữ gìn hòa bình cho dân tộc. Chúng em còn được thăm từng căn nhà cổ, nghe thuyết minh về các sự kiện lịch sử quan trọng, và tự tay ghi lại những hình ảnh đẹp của di tích.

Ngoài việc học hỏi kiến thức, lớp em còn tham gia các trò chơi tập thể, cùng nhau ghi lại những bức ảnh lưu niệm. Tiếng cười rộn rã vang khắp khu di tích, khiến chuyến đi trở nên sinh động và đáng nhớ hơn bao giờ hết. Em còn nhớ cảm giác ngồi dưới tán cây, nhâm nhi nước uống, trò chuyện cùng các bạn về những câu chuyện lịch sử vừa học, lòng tràn đầy tự hào về quê hương.

Chuyến tham quan không chỉ giúp em hiểu rõ hơn về quá khứ hào hùng của dân tộc mà còn gắn kết tình bạn trong lớp. Em cảm thấy biết ơn thầy cô đã tổ chức một chuyến đi vừa bổ ích, vừa vui vẻ, để mỗi học sinh có cơ hội trải nghiệm, chiêm nghiệm và cảm nhận giá trị của lịch sử. Những kỉ niệm này chắc chắn sẽ còn lưu lại trong tim em suốt những năm tháng học trò.

Câu 1. Bài thơ Cảnh ngày hè được viết theo thể thơ thất ngôn bát cú Đường luật.

Câu 2. Những hình ảnh thiên nhiên được nhắc đến trong bốn dòng thơ đầu là:

• Cây hoè xanh rợp bóng,
• Cây thạch lựu đỏ,
• Hoa sen hồng tỏa hương,
• Không gian ngày hè rộng mở, tươi mát.

Câu 3. Tác dụng của biện pháp đảo ngữ trong hai câu:

• “Lao xao chợ cá làng ngư phủ,
  Dắng dỏi cầm ve lầu tịch dương”

→ Việc đưa từ “lao xao”, “dắng dỏi” lên đầu câu nhấn mạnh âm thanh rộn ràng, sinh động của cuộc sống. Nhờ vậy, cảnh ngày hè không tĩnh lặng mà trở nên đầy sức sống, gần gũi với đời thường.

Câu 4. Trong hai câu cuối, tác giả bộc lộ tấm lòng yêu nước thương dân: mong có cây đàn vua Thuấn để gảy khúc Nam phong, cầu cho dân giàu đủ, muôn nơi an khang, hạnh phúc.

Câu 5. Chủ đề của bài thơ: Ca ngợi bức tranh thiên nhiên ngày hè tươi đẹp, sinh động và bộc lộ tấm lòng nhân nghĩa, yêu nước, thương dân của Nguyễn Trãi.

• Căn cứ: Cảnh thiên nhiên ngày hè (cây cối, hoa lá, âm thanh, sắc màu) được khắc họa rực rỡ, đồng thời ở cuối bài thơ tác giả gửi gắm ước nguyện “dân giàu đủ khắp đòi phương”.

Câu 6.

Từ niềm vui giản dị mà Nguyễn Trãi tìm thấy trong thiên nhiên ngày hè, em rút ra rằng trong cuộc sống hôm nay, mỗi người cần biết giữ cho mình tinh thần lạc quan, an nhiên. Niềm vui không chỉ đến từ những điều lớn lao, mà còn nằm ngay trong những khoảnh khắc đời thường: một buổi sáng trong lành, một bông hoa nở, hay tiếng chim hót. Khi biết tận hưởng những điều bình dị quanh mình, chúng ta sẽ thấy lòng nhẹ nhõm, yêu đời hơn. Đồng thời, giữ tinh thần lạc quan giúp ta vượt qua khó khăn, sống có ý nghĩa và trân trọng cuộc sống hiện tại.

a) Tính \(\hat{C}\)

Dữ kiện:

• Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), tức là \(\hat{A} = 90^{\circ}\).​
• \(\hat{B} = 50^{\circ}\).​

Giải:

Vì tổng ba góc trong một tam giác bằng \(180^{\circ}\), ta có:​

\(\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}\)

Thay \(\hat{A} = 90^{\circ}\) và \(\hat{B} = 50^{\circ}\):​

\(90^{\circ} + 50^{\circ} + \hat{C} = 180^{\circ}\) \(\hat{C} = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}\)

Kết luận: \(\hat{C} = 40^{\circ}\).​

b) Chứng minh \(B E\) là tia phân giác của góc \(\hat{B}\)

Dữ kiện:

• \(H\) là điểm trên \(B C\) sao cho \(H B = B A\).​
• \(H E \bot B C\) tại \(H\), và \(E \in A C\).​

Chứng minh:

Xét hai tam giác vuông:

• Tam giác \(A B E\) vuông tại \(A\).​
• Tam giác \(H B E\) vuông tại \(H\).​

Hai tam giác này có:​

• Cạnh huyền chung \(B E\).​
• Cạnh vuông \(A B = H B\) (do \(H\) là điểm trên \(B C\) sao cho \(H B = B A\)).​
• Góc vuông tại \(A\) và \(H\).​

Áp dụng định lý cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta suy ra:​

\(\triangle A B E = \triangle H B E\)

Do đó, \(\hat{B A E} = \hat{H B E}\)

Vì \(H E \bot B C\), ta có \(\hat{H B E} = \hat{B A E}\).​

Kết luận: \(B E\) là tia phân giác của góc \(\hat{B}\).​

c) Chứng minh rằng \(I\) là trung điểm của \(K C\)

Dữ kiện:

• \(K\) là giao điểm của \(B A\) và \(H E\).​
• \(B E\) cắt \(K C\) tại \(I\).​

Chứng minh:

• Từ câu b), ta biết rằng \(B E\) là tia phân giác của góc \(\hat{B}\).​
• Trong tam giác vuông \(A B C\), \(B E\) là đường phân giác của góc vuông \(\hat{B}\), nên \(B E\) chia cạnh \(B C\) thành hai đoạn có tỷ lệ bằng nhau:​

\(\frac{B I}{I C} = \frac{A B}{A C}\)

• Vì \(A B = A C\) (do tam giác vuông cân tại \(A\)), ta có:​

\(\frac{B I}{I C} = 1\)

• Do đó, \(B I = I C\), suy ra \(I\) là trung điểm của \(K C\).​

Kết luận: \(I\) là trung điểm của \(K C\).

Bước 1: Viết biểu thức của \(f \left(\right. a \left.\right)\) và \(f \left(\right. b \left.\right)\)

• \(f \left(\right. a \left.\right) = \frac{100}{a} + 10\)
• \(f \left(\right. b \left.\right) = \frac{100}{b} + 10\)

Bước 2: Cộng \(f \left(\right. a \left.\right)\) và \(f \left(\right. b \left.\right)\)

Bước 3: Biểu thức tổng của \(\frac{100}{a} + \frac{100}{b}\)

Ta có:

Vì \(a + b = 1\), ta có thể tính được:

Vậy:

Bước 4: Sử dụng điều kiện \(a + b = 1\)

Dễ dàng thấy từ điều kiện \(a + b = 1\), ta có thể viết lại biểu thức \(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right)\) như sau:

Bước 5: Kết luận

Để \(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = 1\), ta phải có:

Giải phương trình này:

Kết luận:

Để \(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = 1\), các giá trị \(a\) và \(b\) phải thỏa mãn điều kiện \(a + b = 1\) và \(a b = - \frac{100}{19}\).