"Sáng mát trong như sáng năm xưa
Gió thổi mùa thu hương cốm mới"

"Mùa thu nay khác rồi
Tôi đứng vui nghe giữa núi đồi
Gió thổi rừng tre phấp phới
Trời xanh đây là của chúng ta
Núi rừng đây là của chúng ta"

"Ôi những cánh đồng quê chảy máu
Dây thép gai đâm nát trời chiều"

"Súng quăng, bỏ xác, tro đài
Nước Việt Nam từ máu lửa
Rũ bùn đứng dậy sáng lòa."

 Ý thơ này muốn nói về một tâm hồn sẵn sàng hy sinh cái tôi cá nhân để trở thành nguồn sống, niềm vui và sự trù phú cho người khác hoặc cho quê hương. Đó là một kiểu tình yêu rộng lớn và đầy trách nhiệm.

a) Chứng minh \(M N P Q\) là hình bình hành

Vì \(A B C D\) là hình bình hành, \(O\) là giao điểm hai đường chéo nên \(O\) là trung điểm của \(A C\) và \(B D\).

1. Xét \(\triangle O A M\) và \(\triangle O C P\):
2. • \(O A = O C\) (tính chất hình bình hành).
   • \(\angle A O M = \angle C O P\) (đối đỉnh).
   • \(\angle M A O = \angle P C O\) (so le trong, do \(A B \parallel C D\)).
     ⇒ \(\triangle O A M = \triangle O C P\) (g.c.g).
     ⇒ \(O M = O P\).
3. Xét \(\triangle O B N\) và \(\triangle O D Q\):
4. • \(O B = O D\).
   • \(\angle B O N = \angle D O Q\) (đối đỉnh).
   • \(\angle N B O = \angle Q D O\) (so le trong, do \(B C \parallel A D\)).
     ⇒ \(\triangle O B N = \triangle O D Q\) (g.c.g).
     ⇒ \(O N = O Q\).
5. Từ \(O M = O P\) và \(O N = O Q\) suy ra \(O\) là trung điểm của \(M P\) và \(N Q\).
   ⇒ Tứ giác \(M N P Q\) có hai đường chéo \(M P\) và \(N Q\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường.
   Vậy \(M N P Q\) là hình bình hành.

b) Chứng minh \(M N P Q\) là hình thoi

Theo giả thiết, đường thẳng \(m\) chứa \(M , O , P\) và đường thẳng \(n\) chứa \(N , O , Q\) vuông góc với nhau: \(m \bot n\).
Trong hình bình hành \(M N P Q\), hai đường chéo \(M P\) và \(N Q\) vuông góc với nhau tại \(O\).

Một hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
Vậy \(M N P Q\) là hình thoi.

a) Chứng minh \(M N \bot A C\):

• Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A B \parallel C D\) và \(A B = C D\).
  M, N lần lượt là trung điểm của \(A B\) và \(C D\) nên:
  \(A M = \frac{1}{2} A B , C N = \frac{1}{2} C D .\)
  Mà \(A B = C D\), suy ra \(A M = C N\) và \(A M \parallel C N\).
  Vậy \(A M C N\) là hình bình hành.
• Trong hình bình hành \(A B C D\), gọi \(O\) là giao điểm của \(A C\) và \(B D\).
  Vì M, N là trung điểm của hai cạnh đối \(A B\) và \(C D\) của hình bình hành, nên \(M N\) đi qua \(O\) và \(O\) là trung điểm của \(A C\), \(B D\) và \(M N\).
• Xét \(\triangle A D C\) vuông tại \(A\) (vì \(A D \bot A C\)), có \(N\) là trung điểm cạnh huyền \(C D\).
  Do đó \(A N = \frac{1}{2} C D\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).
  Mà \(A M = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} C D\), suy ra \(A M = A N\).
• Hình bình hành \(A M C N\) có hai cạnh kề \(A M\) và \(A N\) bằng nhau nên \(A M C N\) là hình thoi.
• Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc với nhau, tức là \(M N \bot A C\).

b) Kết luận về tứ giác \(A M C N\):

Như trên, \(A M C N\) là hình thoi.

• Hình thoi \(A B C D\), \(E \in B C\), \(F \in C D\), \(B E = D F\).
• \(G = A E \cap B D\), \(H = A F \cap B D\).
• Cần chứng minh: \(A G C H\) là hình thoi.

Vì \(A B C D\) là hình thoi nên:

• \(A B = B C = C D = D A\).
• \(A C \bot B D\) tại trung điểm \(O\) của mỗi đường.
• \(B D\) là đường phân giác của các góc \(\hat{A B C}\) và \(\hat{A D C}\).
• Có:
• \(A B = A D\) (cạnh hình thoi).
• \(\hat{A B E} = \hat{A D F}\) (vì \(\hat{B} = \hat{D}\) trong hình thoi).
• \(B E = D F\) (giả thiết).

Do đó \(\triangle A B E = \triangle A D F\) (c.g.c).

Suy ra \(A E = A F\) và \(\hat{B A E} = \hat{D A F}\).

Không đúng hướng đó.
Ta thấy \(A E = A F\) nên tam giác \(A E F\) cân tại \(A\).

Từ \(\hat{B A E} = \hat{D A F}\) suy ra:

\(\hat{E A F} = \hat{D A E} + \hat{E A F} ?\)

Thật ra: \(\hat{B A E} = \hat{D A F}\)
\(\Rightarrow \hat{B A D} = \hat{B A E} + \hat{E A D} = \hat{D A F} + \hat{E A D} = \hat{E A F}\).

Vậy \(\hat{E A F} = \hat{B A D}\).

Nhưng \(\triangle A E F\) cân tại \(A\), đường phân giác của \(\hat{E A F}\) chính là đường cao, trung tuyến, và cũng chính là \(A C\) (vì \(A C\) là phân giác góc \(\hat{B A D}\)).

Suy ra \(A C\) đi qua trung điểm \(E F\) và \(A C \bot E F\).

Trong hình thoi, \(A C \bot B D\) tại \(O\).

Ta có \(A C \bot E F\) và \(A C \bot B D\) nên \(E F \parallel B D\).

Ta có \(A G C H\) có \(A C\) và \(G H\) cắt nhau tại \(O\) là trung điểm \(A C\). Nếu chứng minh được \(O\) cũng là trung điểm \(G H\) thì \(A G C H\) là hình bình hành.

Chứng minh \(O G = O H\):

Xét \(\triangle A B D\):
Đường thẳng qua \(G\) (giao của \(A E\) và \(B D\)), \(H\) (giao của \(A F\) và \(B D\)) có tính chất gì?

Do \(\triangle A B E = \triangle A D F\) ⇒ \(\angle B A E = \angle D A F\).
Mà \(B D\) là phân giác \(\angle A B C\) và \(\angle A D C\), nên kết hợp với \(\triangle A B G\) và \(\triangle A D H\):

Thật ra dễ hơn: Do \(E F \parallel B D\) và \(M\) là trung điểm \(E F\), dùng định lý Thales trong \(\triangle A E M\) và \(\triangle A F M\):

• Trong \(\triangle A E M\), \(G \in A E\), \(G \in B D \parallel E M\) ⇒ \(A G / G E = ?\) Thales: \(A G / G E = A O / O M\) = 1 (vì \(A O = O M\)? Sai: \(O\) không phải trung điểm \(E M\)). Điều này không đơn giản.

Có cách khác: Trong hình thoi, \(A C\) là trục đối xứng.
Ta chứng minh \(A E\) và \(A F\) đối xứng qua \(A C\) do \(\triangle A B E = \triangle A D F\).
Vậy \(G\) và \(H\) đối xứng qua \(A C\).
Mà \(B D \bot A C\), do đó \(G\) và \(H\) đối xứng qua \(O\) ⇒ \(O G = O H\).

Có \(A G C H\) là hình bình hành vì \(A C\) và \(G H\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường.

Ta còn cần \(A G = G C\):

Xét \(\triangle A B G\) và \(\triangle C B G\): không bằng nhau.
Nhưng \(A G = A H\) và \(C H = C G\) do tính đối xứng qua \(A C\). Vậy \(A G = C G\).

Do đó hình bình hành \(A G C H\) có hai cạnh kề bằng nhau ⇒ hình thoi.