Chứng minh BD =CE Xét ∆ABD và ∆ACE - AB = AC (do ∆<ABC cân tại A) - ∆A chung - AD = AE (do D là trung điểm của AC,E là trung điểm của AB, và AB=AC Vậy ∆ABD=∆ACE (c.g.c) Suy ra BD =CE (hai cạnh tương ứng) Chứng minh tam giác GBC là tam giác cân: Vì BD =CE (chứng minh trên), suy ra 2/3 BD = 2/3 CE Mà BG = 2/3 BD và CG = 2/3 CE (tính chất đường trung tuyến trong tam giác) Suy ra BG = CG Vậy ∆GBC cân tại G.

Chứng minh GD + GE >1/2 BC Ta có GD=1/3BDvà GE=1/3CE (tính chất đường trung tuyến trong tam giác) Suy ra GĐ=GE (do BD = CE) Xét ∆GDE, ta có GD+GE (bất đẳng thức tam giác) Vì D là trung điểm của AC và E là trung điểm của AB, nên DE là đường trung bình của ∆ABC Suy ra DE=1/2BC Do đó, GD+ GE > 1/2 BC

Gọi I là trung điểm của BG. Khi đó, BI=IG=1/2BG. Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG=2/3BM. Suy ra BI=IG=1/2.2/3BM=1/3BM Xét tam giác BGC, ta có BG+CG>BC. Vì BG=2/3BM và CG=2/3CN nên 2/3 BM + 2/3CN > BC suy ra BM + CN > 3/2 BC Vậy, BM + CN > 3/2 BC

Vì tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM cũng là đường cao.Suy ra AM vuông góc với BC.Vì G nằm trên AM,ta có AG vuông góc với BC

Vậy AG vuông góc với BC

Chứng minh BG = GM và CG = GN vì G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có BG = 2GD và CG

Theo giả thiết DM = DG và EN = EG

Suy ra BG=2GD=GD+GD=GD+DM=GM

Tương tự

CG = 2GE = GE + GE +EN=GN

Vậy BG=GM và CG=GN

Chứng minh MN = BN và MN //BC Ta có BG = GM và CG = GN (chứng minh trên)

Suy ra MG=BG=2GD và ng = CG = 2GE do đó MD = GD = 1/2 BG và NE= EG = 1/2 CG

Xét tam giác MGN,ta có

MG/BG=BG/BC=1 và NG/CG=CG/CG=1

Suy ra MG/BG = NG/CG=1

Xét tam giác GBC và GMN,ta có

CM/CB=CN/CC=1

∆MGN=∆BGC ( đối đỉnh)

Suy ra ∆GMN = ∆ GBC ( c.g.c)

Do đó MN/BC=GM/CB=1,suy ra MN=BC

Và ∆GMN=∆GBC suy ra MN//BC

Vì tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM cũng là đường cao.Suy ra AM vuông góc với BC.Vì G nằm trên AM,ta có AG vuông góc với BC

Vậy AG vuông góc với BC