Ta có:N là trung điểm AB, M là trung điểm AC => NM // BC và NM = 1/2 BC (tính chất) P là trung điểm GB, Q là trung điểm GC => PQ // BC và PQ = 1/2 BC (tính chất) Do đó: NM // PQ ,NM = PQ = 1/2 BC Vậy tứ giác PQMN là hình bình hành vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

a) Chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành: Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC. E là trung điểm của AD => AE = ED = 1/2 AD F là trung điểm của BC => BF = FC = 1/2 BC Do AD = BC nên 1/2 AD = 1/2 BC => ED = BF Xét tứ giác EBFD có: ED = BF (cmt) ED // BF (do AD // BC) => EBFD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) b) Chứng minh ba điểm E, O, F thẳng hàng: Vì ABCD là hình bình hành và O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm của AC và BD. Vì EBFD là hình bình hành (cmt) và O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm của EF. Do đó, ba điểm E, O, F thẳng hàng.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC, AD // BC. Suy ra góc ADH = góc CBK (so le trong) Xét ΔAHD và ΔCKB có: góc AHD = góc KB = 90° AD = BC góc ADH = góc CBK Do đó ΔAHD = ΔCKB (cạnh huyền - góc nhọn) Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng) Vì AH ⊥ BD, CK ⊥ BD nên AH // CK Xét tứ giác AHCK có: AH = CK, AH // CK Do đó tứ giác AHCK là hình bình hành. b) Vì AHCK là hình bình hành nên I là trung điểm của AC. Vì ABCD là hình bình hành nên AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường. Do đó I là trung điểm của BD suy ra IB = ID.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD. Vì B là trung điểm của AE nên AB = BE = 1/2 AE Vì C là trung điểm của DF nên CD = CF = 1/2 DF Suy ra AE = DF, AE // DF (do AB // CD) Suy ra tứ giác AEFD là hình bình hành. Vì AB = BE = CD = CF và AB // CD nên BE = CF và BE // CF Suy ra tứ giác ABFC là hình bình hành. b) Gọi O là trung điểm của BC. Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại O và OA = OF Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt DE tại O và OA = OF Suy ra O là trung điểm của AF, DE, BC. Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau tại O.

Xét ΔOAM và ΔOCN có: OA = OC (do O là trung điểm của AC) góc AOM = góc CON (đối đỉnh) góc OAM = góc OCN (so le trong) Do đó ΔOAM = ΔOCN (g.c.g) Suy ra OM = ON (hai cạnh tương ứng) Xét tứ giác MBND có: OM = ON (cmt) OB = OD (do O là trung điểm của BD) Suy ra tứ giác MBND là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD. E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD Suy ra AE = BE = 1/2 AB; CF = DF = 1/2 CD Suy ra AE = BE = CF = DF. Xét tứ giác AEFD có: AE // DF (vì AB // CD); AE = DF Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành. Xét tứ giác AECF có: AE // CF (vì AB // CD); AE = CF Do đó tứ giác AECF là hình bình hành. b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD. Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.