a) Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC, AD // BC. Suy ra góc ADH = góc CBK (so le trong) Xét ΔAHD và ΔCKB có: góc AHD = góc KB (= 90° ) AD = BC góc ADH = góc CBK Do đó ΔAHD = ΔCKB (cạnh huyền - góc nhọn) Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng) Vì AH ⊥ BD, CK ⊥ BD nên AH // CK Xét tứ giác AHCK có: AH = CK, AH // CK Do đó tứ giác AHCK là hình bình hành(đpcm). b) Vì AHCK là hình bình hành(cmt ) nên I là trung điểm của AC. Vì ABCD là hình bình hành nên AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường. Do đó I là trung điểm của BD suy ra IB = ID(đpcm).

Chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành: Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC. E là trung điểm của AD => AE = ED = 1/2 AD F là trung điểm của BC => BF = FC = 1/2 BC Do AD = BC nên 1/2 AD = 1/2 BC => ED = BF Xét tứ giác EBFD có: ED = BF (cmt) ED // BF (do AD // BC) => EBFD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) b) Chứng minh ba điểm E, O, F thẳng hàng: Vì ABCD là hình bình hành và O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm của AC và BD. Vì EBFD là hình bình hành (cmt) và O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm của EF. Do đó, ba điểm E, O, F thẳng hàng

Ta có:N là trung điểm AB, M là trung điểm AC => NM // BC và NM = 1/2 BC (tính chất) P là trung điểm GB, Q là trung điểm GC => PQ // BC và PQ = 1/2 BC (tính chất) Do đó: NM // PQ ,NM = PQ = 1/2 BC Vậy tứ giác PQMN là hình bình hành vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD. Vì B là trung điểm của AE nên AB = BE = 1/2 AE Vì C là trung điểm của DF nên CD = CF = 1/2 DF Suy ra AE = DF, AE // DF (do AB // CD) Suy ra tứ giác AEFD là hình bình hành. Vì AB = BE = CD = CF và AB // CD nên BE = CF và BE // CF Suy ra tứ giác ABFC là hình bình hành. b) Gọi O là trung điểm của BC. Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại O và OA = OF Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt DE tại O và OA = OF Suy ra O là trung điểm của AF, DE, BC. Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau tại O.

Xét ΔOAM và ΔOCN có: OA = OC (do O là trung điểm của AC) góc AOM = góc CON (đối đỉnh) góc OAM = góc OCN (so le trong) Do đó ΔOAM = ΔOCN (g.c.g) Suy ra OM = ON (hai cạnh tương ứng) Xét tứ giác MBND có: OM = ON (cmt) OB = OD (do O là trung điểm của BD) Suy ra tứ giác MBND là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

Xét ΔOAM và ΔOCN có: OA = OC (do O là trung điểm của AC) góc AOM = góc CON (đối đỉnh) góc OAM = góc OCN (so le trong) Do đó ΔOAM = ΔOCN (g.c.g) Suy ra OM = ON (hai cạnh tương ứng) Xét tứ giác MBND có: OM = ON (cmt) OB = OD (do O là trung điểm của BD) Suy ra tứ giác MBND là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).