Hình bình hành \(AMBQ\) có một góc vuông tại \(M\) (\(\angle AMB=90^{\circ }\)).\(P\) là trung điểm của \(AB\), và \(MP\) cắt \(AC\) tại \(Q\). Xét \(\triangle ABQ\), theo định lý Thales đảo hoặc tính chất đường trung bình trong tam giác, nếu \(MP\) là đường nối trung điểm \(P\) của \(AB\) và \(Q\) trên \(AC\), thì \(M\) phải nằm trên đường thẳng qua \(B\) song song với \(AQ\) (hay \(AC\)). Điều này đã được cho là đúng (\(By\parallel AC\)). Do \(P\) là trung điểm của \(AB\) và \(Q\) là giao điểm của \(MP\) và \(AC\), ta có \(P\) cũng là trung điểm của \(MQ\) (tính chất đường chéo hình bình hành nếu ta xét \(AMBQ\) là hình bình hành). Ta có \(AM\parallel BQ\) và \(BM\parallel AQ\) (do \(By\parallel AC\)). Vậy tứ giác \(AMBQ\) là hình bình hành. Hình bình hành \(AMBQ\) có một góc vuông tại \(M\) (\(\angle AMB=90^{\circ }\)).

Trong tam giác \(ABC\), \(BM=\frac{1}{2}AC\) và \(M\) là trung điểm của \(AC\). Điều này có nghĩa là trung tuyến \(BM\) bằng một nửa cạnh đối diện \(AC\). Theo tính chất của tam giác vuông, nếu trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông tại đỉnh đối diện với cạnh đó. Do đó, tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), nghĩa là \(\^{B}=90^{\circ }\). Ta có tứ giác \(ABCD\) là hình thang vuông với \(\^{A}=\^{D}=90^{\circ }\). Từ bước 1, ta có thêm \(\^{B}=90^{\circ }\). Tổng các góc trong một tứ giác là \(360^{\circ }\), nên góc còn lại \(\^{C}=360^{\circ }-\^{A}-\^{B}-\^{D}=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }\). Tứ giác \(ABCD\) có bốn góc đều bằng \(90^{\circ }\)

Theo giả thiết, \(I\) là trung điểm của \(AC\) và \(IH=ID\) (hay \(I\) cũng là trung điểm của \(HD\)). Tứ giác \(AHCD\) có hai đường chéo \(AC\) và \(HD\) cắt nhau tại trung điểm \(I\) của mỗi đường. Do đó, \(AHCD\) là hình bình hànhTheo giả thiết, \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\), suy ra \(AH\perp BC\) tại \(H\). Trong hình bình hành \(AHCD\), góc \(\widehat{AHC}=90^{\circ }\) (vì \(AH\perp HC\), mà \(H\) nằm trên \(BC\)).Hình bình hành \(AHCD\) có một góc vuông (\(\widehat{AHC}=90^{\circ }\)). Do đó, \(AHCD\) là hình chữ nhật