tam giác ABC cân tại A

=> góc CAB = góc ACB

Mà BQ,CP phân giác

=>góc ABQ = góc QBC = góc ACP = góc PCB(1)

=> góc OCB = góc OBC (theo 1)

=> tam giác OBC cân tại O đpCM

Vì CP,BQ là tia phân giác

=> O giao của 3 đường phân giác trong tam giác ABC

=> O là trọng tâm tam giác ABC

=> điểm O cách đều 3 cạnh AB , BC, CA đpCM

=> AO cũng là tia phân giác của góc BAC

vì tam giác ABC cân tại A

tia phân giác là đường trung tuyến và là đường cao

=> Đường thẳng AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với nó đpCM

Xét tam giác CPA và tam giác BQA có :

+) góc A chung

+) AB = AC( tam giác ABC cân tại A)

+) góc PCA = góc QBA (1)

=> tam giác CPA = tam giác BQA (gcg)

=> CP=BQ (2 cạnh tương ứng) đpCM

=> AP = AQ ( 2 cạnh tương ứng) (2)

=> tam giác APQ cân tại A đpCM

Xét tam giác AOD và tam giác COB có:

+) OC = OA

+) OB=OD

+) góc O chung

=> tam giác AOD = tam giác COB (cgc)

=> AD = BC ( 2 cạnh tương ứng) đpCM

=> góc OCB = góc CAD ( 2 góc tương ứng ) (1)

=> góc OBC = góc ODA ( 2 góc tương úng ) (*)

+) góc ODC = góc ODA + góc ADC = 180o (2 góc kề bù)

và góc OBA = góc OBC + góc CBA = 180o (2 góc kề bù)

=> góc ODC = góc OBA  = 180o

mà góc OBC = góc ODA (theo *)

=> góc CBA = góc ADC (2)

+) OA = OB+BA

+) OC = OD+DC

Và OA = OC;OB=OD

=> BA = CD (3)

Xét tam giác EBA và tam giác EDC có:

+)góc BAE = góc DCE (2)

+) AB = CD (3)

+) góc DCE = góc BAE (1)

=> tam giác EBA = tam giác EDC (gcg) đpCM

=>EB = ED( 2 cạnh tương ứng) (4)

Xét tam giác EOB và tam giác EOD có:

+) OE chung

+) OB = OD (gt)

+) EB = ED (4)

=> tam giác EOB = tam giác EOD (ccc)

+) góc EOB = góc EOD ( 2 góc tương ứng)

=>OE là phân giác góc BOD đpCM

Xét tam giác IOE và tam giác IOF có:

+) IOE = IOF (Om phân giác xOy)

+) OI chung

+) góc IEO = góc IFO =90o

=> tam giác IOE = tam giác IFO (gcg) đpCM

=> OE =OF ( 2 cạnh tương ứng) (1)

Gọi giao EF và Om là K

Xét tam giác KEO và tam giác KFO có

+) OK chung

+) OE = OF ( theo 1)

+) góc KOE = góc KOF (OI phân giác )

=> tam giác KEO = tam giác KFO (cgc)

=> góc EKO = góc FKO ( 2 góc tương ứng) (2)

Mà góc EKO + góc FKO = 180o( 2 góc kề bù)

Thay (2) vào

=> 2 góc FKO = 180o

=> góc FKO = 180o/2=90o

=> EF song song OI

=> EF song song Am đpCM

Vậy a) $△IOE=△IOF$.

b) $EF\perp Om$..

cho IE vuông góc AD

AD là phân giác góc BAC

=> góc BAD = góc DAC = 1/2 góc BAC = 120 x 1/2 = 60

+)  góc BAC +  góc CAH = 180 ( 2 góc kề bù )

=> góc CAH = 180-120 =60

=>góc DAI = góc AIH =60o

Xét tam giác IEA và tam giác AHI có:

+) góc EAI = góc IAH = 60o

+)  góc IEA = góc AHI =90o( vuông góc )

+AI chung

=> tam giác IEA = tam giác AHI (gcg)

=>IH =IE ( 2 cạnh tương ứng) (1)

Xét tam giác IED và tam giác ADK có:

+) góc EDI = góc KDI ( DI phân giác góc ADC)

+)  góc IED = góc ADK =90o( vuông góc )

+DI chung

=> tam giác IED = tam giác AKD (gcg)

=>IK =IE ( 2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) =>IH=IE=IK

=>IH = IK đpCM

Vậy $IH=IK$.

Đường thảng vuông góc với BC tại trung điểm của nó

=> đường thẳng đó là đường trung trực của cạnh BC

Vì giao của đường trung trực đó với tia phân giác góc A ở D 

=> D nằm trên đường trung trực của BC

=>DB = BC   (1)

H,K chân đường vuông góc hạ từ D xuống lần lượt AB,AC

=> góc AHD = góc ACD = 90o

Xét tam giác AHD và tam giác AKD có:

+) AD chung

+) góc HAD = góc KAD ( AD phân giác góc HAK )

=> tam giác AHD = tam giác AKD (cạnh huyền - góc nhọn)

=> HD =  HK ( 2 cạnh tương ứng) (2)

+) H,K chân đường vuông góc hạ từ D xuống lần lượt AB,AC

=> góc DHB = góc DKC

Xét tam giác DHB và tam giác DKC có:

+) HD = HC ( theo 2)

+) HB = HC (theo 1)

=> tam giác DHB = tam giác DKC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

=> BH = CK ( 2 cạnh tương ứng) đpCM

Vậy $BH=CK$.