Gọi \(A C \cap B D = O , S O \cap M N = I , A I \cap S C = P\).

\(A N ⊥ \left(\right. S C D \left.\right) \Rightarrow A N ⊥ S C\) và \(A M ⊥ \left(\right. S B C \left.\right) \Rightarrow A M ⊥ S C\).

Do đó: \(S C ⊥ \left(\right. A M N \left.\right)\) hay \(S C ⊥ \left(\right. A M P N \left.\right)\).

Suy ra: \(\left(\right. S B , \left(\right. A M N \left.\right) \left.\right) = \left(\right. S M , \left(\right. A M P N \left.\right) \left.\right) = \hat{S M P}\).

Ta có: \(S M = \frac{S A^{2}}{S B} = \frac{2 a^{2}}{\sqrt{2 a^{2} + a^{2}}} = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}\);

\(S P = \frac{S A^{2}}{S C} = \frac{2 a^{2}}{\sqrt{2 a^{2} + 2 a^{2}}} = a\).

Nên \(sin ⁡ \hat{S M P} = \frac{S P}{S M} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow \hat{S M P} = 6 0^{\circ}\).

Ta có $d({C}';(AC{B}' ) )$$=d(B;(AC{B}' ) )$

Xét tứ diện \(B . A C B^{'}\) có

 +) \(B A = B C = B B^{'} = 1\) nên điểm \(B\) nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta A C B^{'}\).

Suy ra \(B O ⊥ \left(\right. A C B^{'} \left.\right)\) tại tâm \(O\) của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta A C B^{'}\).

+) \(\hat{C B B^{'}} = 6 0^{\circ}\), \(\hat{B^{'} B A} = \hat{A B C} = 12 0^{\circ}\) nên áp dụng định lí cosin trong tam giác \(\Delta B^{'} B A\) và \(\Delta A B C\) ta có \(A B^{'} = A C = \sqrt{3}\).

\(d \left(\right. B ; \left(\right. A C B^{'} \left.\right) \left.\right) = B O = B A^{2} - R^{2}\) với \(R\) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\Delta A C B^{'}\).

\(S_{\Delta A C B^{'}} = \frac{A B^{'} . C B^{'} . A C}{4 R} = \frac{A H . B^{'} C}{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{4 R} = \frac{\sqrt{3 - \frac{1}{4}}}{2}\)

\(\Leftrightarrow R = \frac{3}{\sqrt{11}}\)

\(\Rightarrow B O = \sqrt{1 - \frac{9}{11}} = \sqrt{\frac{2}{11}} = \frac{\sqrt{22}}{11}\)

\(\Rightarrow d \left(\right. C^{'} ; \left(\right. A C B^{'} \left.\right) \left.\right) = \frac{\sqrt{22}}{11}\).

Gọi số tiền bạn Bình rút ra hàng tháng là \(x\) (triệu đồng) \(\left(\right. x > 0 \left.\right)\), số tiền ban đầu là \(P\)(triệu đồng), \(\left(\right. P > 0 \left.\right)\), lãi suất tiền gửi hàng tháng là \(r\), \(\left(\right. r > 0 \left.\right)\).

Lãi suất nhận được sau tháng thứ nhất là: \(P . r\) (triệu đồng).

Số tiền cuối tháng thứ nhất sau khi rút còn lại: \(P_{1} = P \left(\right. 1 + r \left.\right) - x\) (triệu đồng).

Lãi suất nhận được sau tháng thứ nhất là: \(P_{1} . r\) (triệu đồng).

Số tiền cuối tháng thứ nhất sau khi rút còn lại:

\(P_{2} = P_{1} \left(\right. 1 + r \left.\right) - x = P \left(\left(\right. 1 + r \left.\right)\right)^{2} - x \left(\right. 1 + r \left.\right) - x\) (triệu đồng).

Cứ như thế, số tiền còn lại sau \(n\) tháng là:

\(P_{n} = P \left(\left(\right. 1 + r \left.\right)\right)^{n} - x \left(\left(\right. 1 + r \left.\right)\right)^{n - 1} - x \left(\left(\right. 1 + r \left.\right)\right)^{n - 2} - . . . . - x \left(\right. 1 + r \left.\right) - x\)

\(P_{n} = P \left(\left(\right. 1 + r \left.\right)\right)^{n} - x . \frac{\left(\left(\right. 1 + r \left.\right)\right)^{n} - 1}{r}\) (triệu đồng).

Sau \(48\) tháng, số tiền vừa hết khi và chỉ khi

\(P_{n} = 0\)

\(\Leftrightarrow P \left(\left(\right. 1 + r \left.\right)\right)^{48} - x . \frac{\left(\left(\right. 1 + r \left.\right)\right)^{48} - 1}{r} = 0\)

\(\Leftrightarrow 200 \left(\left(\right. 1 , 0045 \left.\right)\right)^{48} - x . \frac{\left(\left(\right. 1 , 0045 \left.\right)\right)^{48} - 1}{0 , 0045} = 0\)

\(\Leftrightarrow x \approx 4 , 642\) (triệu đồng).

 Gọi \(O\) là giao điểm của \(A C\) và \(B D\).

Ta có \(\left{\right. & A A^{'} \cap A O = A \\ & A A^{'} , A O \subset \left(\right. A O A^{'} \left.\right) \\ & \&\text{nbsp}; B D ⊥ A O \\ & B D ⊥ A A^{'}\)

\(\Rightarrow B D ⊥ \left(\right. A O A^{'} \left.\right)\)

\(\Rightarrow A^{'} O ⊥ B D\). \(\left(\right.\)vì \(A^{'} O\) nằm trong \(\left(\right. A A^{'} O \left.\right) \left.\right)\).

Khi đó \(\left(\right. \left(\right. A^{'} B D \left.\right) , \left(\right. A B C D \left.\right) \left.\right) = \left(\right. A^{'} O , A O \left.\right) = \hat{A^{'} O A} = 30 ^{\circ}\).

Vẽ \(A H ⊥ A^{'} O\) tại \(H\).

Ta có \(B D ⊥ \left(\right. A O A^{'} \left.\right) \Rightarrow \left(\right. A^{'} B D \left.\right) ⊥ \left(\right. A O A^{'} \left.\right)\).

Khi đó \(\left{\right. & \left(\right. A O A^{'} \left.\right) ⊥ \left(\right. A^{'} B D \left.\right) \\ & \left(\right. A O A^{'} \left.\right) \cap \left(\right. A^{'} B D \left.\right) = A^{'} O \\ & A H ⊥ A^{'} O\)

\(\Rightarrow A H ⊥ \left(\right. A^{'} B D \left.\right) \Rightarrow d \left(\right. A , \left(\right. A^{'} B D \left.\right) \left.\right) = A H\).

\(A C = B D = 2 a \Rightarrow A O = a\),

\(A H = A O . sin ⁡ \hat{A O A^{'}} = a . sin ⁡ 30 ^{\circ} = \frac{a}{2}\).

Vậy \(d \left(\right. A , \left(\right. A^{'} B D \left.\right) \left.\right) = \frac{a}{2}\).

Sau khi xếp miếng bìa lại ta được hình lập phương \(A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}\) cạnh \(4 \sqrt{5}\), \(O\) là tâm của \(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}\).

Gọi \(M , N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(A B , A^{'} B^{'} .\)

\(\Rightarrow M N = A A^{'} = 4 \sqrt{5}\),

\(O M = \frac{1}{2} A^{'} D^{'} = 2 \sqrt{5}\).

Lại có: \(\left{\right. & A B ⊥ O M \\ & A B ⊥ M N\)

\(\Rightarrow A B ⊥ O N\)

\(\Rightarrow d \left(\right. O , A B \left.\right) = O N\)

\(= \sqrt{O M^{2} + M N^{2}} = 10\).

Hướng dẫn giải:

 Gọi \(H = A C \cap B D\). Vì \(S A = S B = S C = S D\) nên \(H A = H B = H C = H D\)

\(\Rightarrow A B C D\) là hình chữ nhật và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống \(\left(\right. A B C D \left.\right)\)

Giả sử \(A B = a\). Đặt \(A D = x\). Khi đó

\(S_{A B C D} = a x .\)

\(A H = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{A B^{2} + B C^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}{2} .\)

\(S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{2 a^{2} - \frac{a^{2} + x^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{7 a^{2} - x^{2}}}{2} .\)

Ta có

\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}\)

\(= \frac{1}{3} . \frac{\sqrt{7 a^{2} - x^{2}}}{2} . a x\)

\(= \frac{a x \sqrt{7 a^{2} - x^{2}}}{6} \leq \frac{1}{6} . a . \frac{\left(\right. x^{2} + 7 a^{2} - x^{2} \left.\right)}{2}\)

\(\Rightarrow V_{S . A B C D} \leq \frac{7 a^{3}}{12} .\)

Dấu xảy ra khi \(x = \sqrt{7 a^{2} - x^{2}}\) hay \(x = \frac{a \sqrt{14}}{2}\).

Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là \(\frac{7 a^{3}}{12}\) khi \(x = \frac{a \sqrt{14}}{2}\).

Hướng dẫn giải:

 Gọi \(H = A C \cap B D\). Vì \(S A = S B = S C = S D\) nên \(H A = H B = H C = H D\)

\(\Rightarrow A B C D\) là hình chữ nhật và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống \(\left(\right. A B C D \left.\right)\)

Giả sử \(A B = a\). Đặt \(A D = x\). Khi đó

\(S_{A B C D} = a x .\)

\(A H = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{A B^{2} + B C^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}{2} .\)

\(S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{2 a^{2} - \frac{a^{2} + x^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{7 a^{2} - x^{2}}}{2} .\)

Ta có

\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}\)

\(= \frac{1}{3} . \frac{\sqrt{7 a^{2} - x^{2}}}{2} . a x\)

\(= \frac{a x \sqrt{7 a^{2} - x^{2}}}{6} \leq \frac{1}{6} . a . \frac{\left(\right. x^{2} + 7 a^{2} - x^{2} \left.\right)}{2}\)

\(\Rightarrow V_{S . A B C D} \leq \frac{7 a^{3}}{12} .\)

Dấu xảy ra khi \(x = \sqrt{7 a^{2} - x^{2}}\) hay \(x = \frac{a \sqrt{14}}{2}\).

Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là \(\frac{7 a^{3}}{12}\) khi \(x = \frac{a \sqrt{14}}{2}\).

Hướng dẫn giải:

 Gọi \(H = A C \cap B D\). Vì \(S A = S B = S C = S D\) nên \(H A = H B = H C = H D\)

\(\Rightarrow A B C D\) là hình chữ nhật và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống \(\left(\right. A B C D \left.\right)\)

Giả sử \(A B = a\). Đặt \(A D = x\). Khi đó

\(S_{A B C D} = a x .\)

\(A H = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{A B^{2} + B C^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}{2} .\)

\(S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{2 a^{2} - \frac{a^{2} + x^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{7 a^{2} - x^{2}}}{2} .\)

Ta có

\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}\)

\(= \frac{1}{3} . \frac{\sqrt{7 a^{2} - x^{2}}}{2} . a x\)

\(= \frac{a x \sqrt{7 a^{2} - x^{2}}}{6} \leq \frac{1}{6} . a . \frac{\left(\right. x^{2} + 7 a^{2} - x^{2} \left.\right)}{2}\)

\(\Rightarrow V_{S . A B C D} \leq \frac{7 a^{3}}{12} .\)

Dấu xảy ra khi \(x = \sqrt{7 a^{2} - x^{2}}\) hay \(x = \frac{a \sqrt{14}}{2}\).

Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là \(\frac{7 a^{3}}{12}\) khi \(x = \frac{a \sqrt{14}}{2}\).