a) Có \(\hat{P B} \bot A C\) (gt)
\(P B \parallel A C\)

\(\Rightarrow A \lambda B y\) (chỗ này chữ hơi khó đọc, chắc ý là \(A\) thuộc đường thẳng \(B y\))
\(\Rightarrow \hat{A M B} = 90^{\circ}\)

Xét \(\triangle M A Q\) và \(\triangle D B M\) có:

\(\)

\(\Rightarrow \triangle M A Q = \triangle Q B M \left(\right. g . c . g \left.\right)\)

\(\Rightarrow \hat{M B Q} = \hat{M A Q} = 90^{\circ}\) (2 góc phụ)

QAM​=AMB=MBQ​=90∘
\(\Rightarrow\) Tứ giác \(A M B Q\) là hình chữ nhật.

b) Có tứ giác \(A M B A\) là hình chữ nhật (cmt).
Mà \(P\) là trung điểm \(A B\) (gt)
\(\Rightarrow P Q = A B \left(\right. 1 \left.\right)\)

Xét \(\triangle A P B\) vuông tại \(P\) và có \(I P\) là đường trung tuyến
\(\Rightarrow I P = \frac{1}{2} A B \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow P Q = I P\) nên
\(\Rightarrow \triangle P Q I\) cân tại \(P\).

Xét \(\triangle A B C\) có:

\(B M\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(A C\).
Mà \(B M = \frac{1}{2} A C\) (gt)

\(\Rightarrow \triangle A B M\) vuông tại \(B\).

Xét tứ giác \(A B C D\) có:
\(\hat{D A B} = \hat{A B C} = \hat{B C D} = \hat{D} = 90^{\circ}\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác \(A B C D\) là hình chữ nhật.

Vì \(I\) là trung điểm \(A C\) nên:

I chia AC thaˋnh hai đoạn ba˘ˋng nhau: AI=IC.

Điểm \(D\) thuộc tia \(H I\) và \(I H = I D\) nên \(I\) cũng là trung điểm của \(H D\).

Suy ra:
Do \(I\) là trung điểm của \(A C\) và cũng là trung điểm của \(H D\), nên hai đoạn thẳng \(A C\) và \(H D\) song song và bằng nhau (tính chất trung điểm trong hình học):

AC∥HD,AC=HD.

Cạnh \(A H\) sẽ song song và bằng cạnh \(C D\) (vì \(A H C D\) là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song).

Vậy \(A H C D\) là hình bình hành.

Vì \(A H\) là đường cao của tam giác \(A B C\), nên \(A H \bot B C\).

Do \(H\) nằm trên đoạn \(B C\), nên \(A H \bot H C\).

Trong tứ giác \(A H C D\), tại điểm \(H\), các cạnh \(A H\) và \(H C\) vuông góc với nhau.

Một hình bình hành mà có một góc vuông thì đó là hình chữ nhật.

\(\overset{}{\overset{}{}}\)